例析圓的證明與計算問題的突破

初中數學中與圓有關的知識多且零碎，學習的過程中應注重運用思維導圖進行梳理，理順知識點之間的內在邏輯聯系，形成系統知識體系.在此基礎上聚焦證明問題、計算問題，通過探尋不同習題情境的證明、解題思路，積累應用經驗，提高解題技能.

1證明與計算角度問題的突破

解決與圓有關的證明與計算角度問題，需要根據題干創設的情境及要證明的內容及時聯系圓對應的知識點與一些常見幾何圖形的性質，特別應注重運用平行線的性質、三角形的內角和、等腰三角形、等邊三角形等知識.

例1如圖 1，Δ A B C 為等腰三角形， A B=A C ，以腰 A B 為直徑的半圓 O ，和 B C，A C 分別交于點 ，連接 A D，O E，O D，E D .

（1）求證： B D=C D .

（2）若 ，求弧DE所對的圓心角大小；

（3）求 ∠ E D C 的大小.

（1）證明：因為 A B 是半圓 O 的直徑，則 ∠ A D B= ，即 A D⊥ B C. 又 A B=A C ，則 B D=C D

（2）解：由 A B=A C ，得 ∠ A B C= ，于是 結合（1）可知 ∠ B A D= ，則 ，所以弧 D E 所對的圓心角為 ，

（3）解：由 O E=O D ，得 ∠ O E D= ，

由 ，得 又O B=O D ，則 ，所以

點評：該題主要考查等腰三角形與圓性質的靈活應用.在突破的過程中，應根據經驗，合理作出輔助線，以更清晰地展現線段、角度之間的關系.

2證明與計算線段長度問題的突破

與圓有關的證明與計算線段長度問題在初中數學中較為常見[2.當題干中所給的已知條件較為特殊時應注重轉化，通過證明三角形全等、三角形相似探尋角度、線段之間的相等關系，化陌生為熟悉，迅速找到突破思路.

例2如圖2，圓 O 的半徑為1，A B，A C 是圓 O 中長度相等的兩條弦， B O 的延長線和 A C 交于點 D .連接 O A，O C

（1）證明： ∠ A B O=∠ A C O （2）求 的值；

（3）記 分別為 Δ A O B，Δ A O D，Δ C O D 的面積，若 ，求 O D 的長.

解析：（1）證明略.

（2）由（1）得 ∠ A B O=∠ A C O 由 O A=O C ，得 ∠ O A D=∠ A C O ，則 ∠ O A D=∠ A B O 又 ∠ A D O= ∠ B D A ，所以 Δ O A D～Δ A B D ，則 AD，即AD2= B D≌ O D ，故

（3）由 ，設 ，則 ，

由 ，易得 ，即 ，整理得 ，解得 （舍去）.又 O B=1 ，則

，故OD

點評：該題第一問容易證明.第二問、第三問難度較大，需要通過證明三角形相似和三角形全等進行線段、面積的等量代換，并進行嚴謹的推理、計算.

3證明與計算三角形面積問題的突破

突破證明與計算三角形面積需要具體問題具體分析，其中在證明三角形形狀及線段之間的相等關系時，需要結合幾何圖形的性質進行逆向推理，通過證明三角形全等進行等量代換.求三角形面積時，需要在明確三角形形狀的基礎上求出對應線段的長度，運用三角形面積計算公式進行計算.

例3如圖3，在五邊形ABCDE中， ，B D 平分 ∠ A B C ，其中點 A ，B，C，D 剛好是圓 O 上的四個點.

（1）求證： Δ A C D 為等邊三角形；

（2）當 時， A C=2 ，求 Δ A D E 面積的最大值.

（1）證明：由 BD平分 ∠ A B C ，則得 由圓周角定理的推論可得 ， ，則Δ A C D 中，由三角形的內角和為 易得 ∠ A D C= ，故 Δ A C D 為等邊三角形.

（2）解：設 Δ A D E 的外心為 點 M ，連接 A M，M D ，則 A M= M D ，如圖4.

由 ，得 ，易得點E 的軌跡是以 M 為圓心， 為半徑的圓.

取 A D 的中點為 N ，則 M N=1. 當 N，M，E 三點共線時， Δ A D E 的面積最大，此時 Δ A D E 為等腰三角形， E N 為該三角形的高， ，即為 Δ A D E 面積的最大值.

點評：該題第二問難度較大，需要基于對題意的理解判斷出點 E 的運動軌跡是一個圓，并準確判斷出面積為最大時三角形的形狀，而后運用已知條件線段關系、角度關系計算出結果.

4證明與計算周長問題的突破

證明與計算幾何圖形的周長在初中數學中屢見不鮮.其中證明問題主要考查圓及一些幾何圖形的性質，需要牢記并靈活應用對應線段、角度關系.計算幾何圖形的周長，尤其是與圓相關的幾何圖形的周長，需要確定圓的半徑及對應的圓心角大小.

例4如圖 5，A B 是圓 O 的直徑， C D 是弦，連接 A C，A D ，O D ，其中 A C=C D ， D A 平分∠ C D O ，過點 B 作 C D 延長線的垂線，垂足為點 E .

（1）求證： B E 是圓 O 的切線；

（2）當 A B=12 時，求圖中陰影部分的周長之和.

（1）證明：由 A O=O D ，得 ∠ O A D=∠ O D A .由 DA平分 ∠ C D O ，得 ∠ C D A=∠ O D A ，則 ∠ C D A= ∠ O A D ，所以 C D//A B .由 B E⊥ C D ，得 ，則 ，即 B E⊥ A B ，故 B E 是圓 O 的切線.

（2）解：連接 B D，O C ，如圖6.由 A C=C D ，可得 ∠ C A D=

∠ C D A 又 ∠ C D A=∠ O D A ，所

以 ∠ C A D=∠ O D A ，則 A C//O D

由（1）可得 C D//O A ，所以四邊形

AODC為平行四邊形.又 A O=

O D ，則四邊形AODC為菱形.又 A O=C O ，則 Δ A O C ，Δ C O D 均為等邊三角形，所以 ∠ C A O=∠ C O A= 又 O D=O B ，則 Δ D O B 也為等邊三角形.易得弧 A C 與弧 B D 相等，所以兩弧的長度之和為

由 ，得

綜上可知，陰影部分的周長為

點評：該題第二問難度稍大，求解的過程中需要明確陰影部分的周長由幾段線段構成，而后結合角度及線段的關系計算得出，

綜上所述，圓的證明與計算問題情境多變，通過分析不同問題情境的突破思路，可以看出在解答相關問題時既要注重圓的性質的利用，又要注重聯系常見的幾何圖形的性質.當然，根據需要還應作出對應的輔助線，以更好地揭示線段、角度關系[2].

參考文獻：

[1]莊國陽.初中數學“圓”的常見考查題型分析J.數理天地（初中版），2024（20）：12-13.

[2]林越.初中數學圓中最值問題解題技巧的探究J].數理化解題研究，2023（32）：44-46.