三步化解反比例函數與一次函數圖象共存難題

在剛結束反比例函數內容的教學后，通過解題訓練很快就發現有一類問題學生仍難解決，即反比例函數與一次函數圖象的共存問題.其實，這類問題比較難解決是很多學生難以解決與函數有關問題的一個縮影.考慮到該類問題在歷年中考多有體現，所以本文中嘗試研究其化解方法.

1疑難問題呈現

學生難解決的問題：

如圖所示，函數 y=k（x-1） 與函數 的圖象在同一坐標系中的大致位置應為（ ）.

A. ①② B. ①③ C.②③ D ②④

本題是反比例函數與一次函數的綜合應用問題，是典型的函數圖象共存問題，主要考查了反比例和一次函數的圖象及其性質，難度較大.如果沒有掌握方法與技巧，這類問題極易混淆，因而難以選擇.

2拋問引思

學生是學習的主體，只有讓學生參與知識探究的整個過程，這樣的學習才更高效.基于這一點，筆者在分析與探究這類問題的解決方法時，先拋出了一系列的問題讓學生思考，試圖帶領著學生一起思考、一起探究.

師：這是哪兩種函數圖象的共存問題？生：一次函數和反比例函數.

師：你是如何發現的？

生1：觀察四個圖形發現的.

生2：從它們的解析式發現的.

師：非常好.那么它們的解析式有何特點？

生2：一次函數解析式是 y=k x+b ，而 y=k（x-1） 可以轉化為 y=k x-k ，這里的一k就是 是非常標準的反比例函數解析式.

師：那么兩個函數中的 k 是一樣的嗎？

生：是一樣的.

生3：是一樣的，也就是一次函數中的 k 和反比例函數中的k值相等.

師：既然如此，那么一次函數中的 k 和反比例函數中的k、一次函數中的都有怎樣的幾何意義呢？這些幾何意義又對我們解題有什么幫助呢？

生：思考.....

筆者拋出的一系列問題，有效激發了學生的思維.在最后一個問題提出后，學生進人了深思，并將 k，b 的幾何意義與函數圖象結合起來進行分析.最后，有四個同學分別對這四個圖形產生了如下理解：

學生A：在圖 ① 中，如果先分析反比例函數的圖象，那么根據其過第一、三象限即可知 kgt;0 一次函數y=k（x-1）=k x-k 的圖象從左到右上升，說明 kgt; 0，這與反比例函數中的 k 相符.直線又與 y 軸交于正半軸，說明 -kgt;0 ，此時分析出 klt;0 ，與之前的分析矛盾.根據“一次函數中的 k 和反比例函數中的 k 值相等”，所以圖 ① 中兩個函數圖象不可共存.

學生B：在圖 ② 中，如果也先分析反比例函數圖象，那么根據其過第一、三象限即可知 kgt;0 一次函數y=k（x-1）=k x-k 的圖象從左到右上升，說明 kgt; 0，這與反比例函數中的 k 相符.直線又與 y 軸交于負半軸，說明 -klt;0 ，此時分析出 kgt;0 ，與之前的分析相符.所以圖 ② 中兩個函數圖象可以共存.

學生C：在圖 ③ 中，如果首先分析反比例函數圖象，那么可以根據它過第二、四象限得到 klt;0. 這時，觀察一次函數 y=k（x-1）=k x-k 的圖象發現，它是一條從左到右向下傾斜的直線，說明 klt;0 ，這與反比例函數中的 k 相符.同時，直線又與 y 軸交于正半軸，說明 -kgt;0 ，于是分析出 klt;0. 至此，并未得出任何矛盾的結果，所以圖 ③ 中的兩個函數圖象可共存.

學生D：與前三位同學的方法相同，先分析圖 ④ 中反比例函數圖象，后分析一次函數圖象.通過反比例函數圖象分析得到 klt;0 ，但一次函數圖象竟與 y 軸負半軸相交，由 -kgt;0 得到它應該與 y 軸正半軸相交，最后由該矛盾知圖 ④ 中兩個函數圖象不可共存.

3方法總結與驗證

通過筆者不斷拋出的問題與學生逐漸深入的思考，特別是最后四個學生的自主分析，解決這類問題的方法其實已經非常清楚.筆者和學生遂將方法共同總結如下：先選分析對象，然后根據圖象分析k，b的矛盾之處.如果存在矛盾之處，則說明圖象不可共存；如果不存在矛盾之處，則說明圖象可共存.

從總結的方法不難看出，這種方法有三個步驟：首先，選擇對象并分析對象中 k 或 b 的情況；然后，分析另一個圖象中 k 或b的情況；最后，將前兩步中分析的 k 或 b 的情況進行對比，如果矛盾則不可共存，如果不矛盾則可共存.

所以，該方法也可簡化如下：

選對象，作分析；

看另支，也分析；

將之對比找矛盾.

那么，這種方法是否對解決反比例函數與一次函數圖象共存問題真實有效？不妨用2022年的一道中考題來驗證：

（2022·濱州）在同一平面直角坐標系中，函數 y=k x+1 與 為常數且 k≠0 的圖象大致是（ ）.

解析：A選項中先分析直線，它從左到右往上升，所以 kgt;0. 直線與 y 軸交于點（0，1），與解析式相符.然后看反比例函數圖象，發現 kgt;0 時， -klt;0 ，故圖象經過第二、四象限，相符.所以，A選項中的圖象可共存.B選項明顯錯誤，一是直線與 y 軸的交點畫錯，二是如果反比例函數圖象經過第二、四象限，那么直線應從左向右逐漸上升.同理，C選項和D選項都錯誤.故選：A.

4反思與啟示

與學生共同分析與探討后，這類問題的解決方法得到了總結與驗證.從這一連串的過程中，筆者悟出了以下幾點：

首先，反比例函數與一次函數圖象的共存問題分析是基于一個事實，即其中的 k 或 b 的值相同.也就是在反比例函數中 kgt;0 ，那么一次函數圖象中的 k 也必然大于0.

其次，通過與學生共同分析與探討，不僅增強了學生的自信，也加強了師生之間的交流.尤為重要的是，學生實現了在“做”中“學”，在學中交流與反思，形成了較好的學習氛圍，也較好地培養了學習習慣[2]。

最后，啟示日后的課堂教學要以學生為中心，尤其是像這類抽象的問題，應給予學生更多的時間和機會交流與探討[3]

綜上所述，用三步就可以解決反比例函數與一次函數圖象共存問題.必要的是，在日常教學中要讓學生進行鞏固訓練，將該方法掌握得更加牢固，這對他們的學習非常有利.

參考文獻：

[1]李石輝.培養初中生的數學核心素養策略探究—以“反比例函數與一次函數的綜合應用求三角形的面積問題”為例[J].少男少女，2020，4（3）：4-5.

[2]莫貧旺.一次函數和反比例函數綜合問題解法研究[]]中學教學參考，2020（5）：22-23.

[3]高麗娟.“三定法”教你輕松搞定函數圖象共存問題[]]中學數學，2022（14）：92-93.