由易到難，層層遞進(jìn)，尋找解決中考題的方法

中考試題追求素養(yǎng)立意，注重對學(xué)生“三會”的考查，為平時的教學(xué)方向提供了指導(dǎo)性作用.筆者將以2023年濰坊中考數(shù)學(xué)第20題的教學(xué)為例，將此題進(jìn)行拆解，由易到難，尋找本質(zhì)，歸納方法，給學(xué)生搭建破解試題的橋梁和解題的方向.

1原題呈現(xiàn)

（2023年濰坊中考第20題）如圖1，工匠師傅準(zhǔn)備從六邊形的鐵皮 A B C D E F 中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖1所示.經(jīng)測量， A B//D E ， A B 與D E 之間的距離為 2m，A B=

3 m， ， ∠ C=∠ F= 是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當(dāng)M H 的長度為多少時，矩形鐵皮MNGH的面積最大？最大面積是多少？

2試題分析

本試題的情境貼近學(xué)生實際，意在考查學(xué)生“三會”，結(jié)合本題可以理解為“思模、建模、用模”，而如何建模是此題的難點所在.

3教學(xué)實施

3.1立足教材，尋本質(zhì)

下面提供青島版九年級數(shù)學(xué)上冊教材上的一道例題的教學(xué)思路.

問題1如圖2，在三角形ABC中， P N//B C，A D⊥ B C 于點 D .若 ， B C=12cm ， ，試求線段 D E 的長度.

師生活動：學(xué)生利用相似三角形對應(yīng)線段成比例求線段的長度已經(jīng)較為熟悉，在教學(xué)教材例題（問題2）前，教師先拋出問題1，學(xué)生獨立完成，為后續(xù)問題的解決搭好橋梁.

教學(xué)說明：此題意在訓(xùn)練學(xué)生的“雙基”，提取題目中的基本圖形“A”字圖.解決問題1的本質(zhì)就是通過“A”字圖中的相似三角形的性質(zhì)得到線段 D E 的長度，為遷移運用來解決簡單的實際問題做好鋪墊.

問題2如圖3，有一塊銳角三角形余料 A B C ，它的邊 B C=12cm ，高 .現(xiàn)要用它裁出一個正方形工件，使正方形的一邊在BC上，其余的兩個頂點分別在 ，A C 上，求裁出的正方形工件的面積是多少？

師生活動：學(xué)生知道“求正方形工件的面積”只需先“求正方形的邊長”，老師追問“你用什么樣的方法求正方形的邊長？”學(xué)生有了問題1的解題經(jīng)驗后，會感覺此題的難度降低了，能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為求圖3中線段 D E 的長度，具體方法不再贅述.

教學(xué)說明：解決問題2的本質(zhì)仍然是通過相似三角形求定值線段的長，然后利用面積公式求得正方形的面積.有了問題1的鋪墊，學(xué)生不僅能輕松解決例題，還拓展了思維，進(jìn)一步探尋了題目背后的本質(zhì).

3.2變式訓(xùn)練，找方法

問題3如圖4，有一塊銳角三角形余料 A B C ，它的邊BC為 12cm ，高 A D 為 8cm 現(xiàn)要用它裁出一個矩形工件PQMN，使矩形的一邊在BC上，其余的兩個頂點分別在 ，AC上.如何裁剪才能使裁出的矩形面積最大？最大面積是多少？

師生活動：本題中由于 P，N 是位于 A B ， A C 上的動點，因此導(dǎo)致了矩形的長和寬為兩個不固定的值即為兩個變量，這提升了問題難度.教師適時引導(dǎo)既然長和寬為變量，那它們之間是不是存在一定的關(guān)系？如何找到它們之間的關(guān)系？由問題2能得到什么啟發(fā)？

學(xué)生通過 Δ A P N～Δ A B C ，列出比例式 AD，進(jìn)一步代換為 ，得到 P N=12- .然后，將矩形PQMN的面積表示為 P N×

教師繼續(xù)引導(dǎo)，不妨設(shè) D E=x ，矩形 P Q M N 的面積為 s ，則 ，當(dāng) x= 時，裁出的矩形面積最大為 ·

教學(xué)說明：學(xué)生在體驗了問題1和問題2后，已經(jīng)基本掌握了利用相似三角形的性質(zhì)求定值線段的長以及由定值線段所圍成矩形的面積問題.由于問題3所涉及的矩形的長和寬是兩個變量，因此需要用相似三角形的性質(zhì)找到矩形長和寬這兩個變量間的關(guān)系，將其中的一個變量用另一個變量來表示，根據(jù)面積公式構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”——二次函數(shù)，然后求得面積的最大值.通過本問題的解決，學(xué)生總結(jié)梳理尋找變量間關(guān)系的方法以及構(gòu)建模型的方法.

3.3真題演練，提能力

（2023年濰坊中考數(shù)學(xué)第20題）如圖1，當(dāng)MH的長度為多少時，矩形鐵皮MNGH的面積最大？最大面積是多少？

師生活動：欲求“矩形鐵皮MNGH”的最大面積，應(yīng)怎樣分析呢？學(xué)生基于前面的經(jīng)驗，首先分析矩形的長和寬是否為變量，然后尋找這兩個量間的關(guān)系.教師適時指導(dǎo)，學(xué)生通過小組合作解決.下面呈現(xiàn)學(xué)生的幾種解題方法.

解法1：如圖5，設(shè) M H= ，作 F P⊥ M H ，垂足為 P ，則四邊形AMPF為矩形.

所以 A F=P M=1m H P=（x-1）m，A M=P F.

由 ，得

，即 ，則Δ P F H 為等腰直角三角形.

所以 P F=H P=（x-1）m 則 A M=（x-1）m 同理，可知 B N=（x-1）m 所以 M N=A B-A M-B N=（5-2x）m.

所以 5x ，由題意知 1？x？2 ，所以當(dāng) 時，矩形鐵皮MNGH的面積最大，最大面積為

其他解法不再給出詳細(xì)過程，請讀者自已研究.

解法4：如圖6，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)求得 E（1，2），F(xiàn)（0，1） C（3，1），D（2，2） 的坐標(biāo)，設(shè)直線 E F 或 C D 的解析式為 y=k x+b ，求出 E F 或C D 的直線關(guān)系式，從而表

示出矩形MNGH的面積，構(gòu)建模型——二次函數(shù)，求得最值.

教學(xué)說明：學(xué)生的解題方法讓我們欣喜，他們的思維在解決問題的過程中得到了成長，也助力了能力的提升.通過解決此問題，進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)建模的方法是先確定變量，然后尋找變量間的關(guān)系.同時也從更深層次理解了數(shù)學(xué)建模的意義，即將生活或?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓數(shù)學(xué)更好地服務(wù)于生活.

3.4綜合實踐，顯素養(yǎng)

為了保持室內(nèi)空氣的清新，某車間的自動換氣窗采用了以下設(shè)計：如圖7，窗子的形狀是一個五邊形，它可看作是由一個矩形和一個邊長與矩形的長相等的等邊三角形組成的.該窗子關(guān)閉時可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動打開窗子上的通風(fēng)口換氣.通風(fēng)口是一個倒立的等腰三角形，其頂點固定在矩形的底邊的中點上，底邊是可以沿?fù)Q氣窗的左右邊框上下滑動且長度可自動伸縮的水平橫桿.圖7、圖8是通風(fēng)口打開時橫桿的兩種不同位置.如果已知矩形的長為 2m ，高為 ，當(dāng)橫桿沿窗子的邊框上下平移時，通風(fēng)口的最大面積是多少？

教學(xué)說明：此題是上述中考題的升級版，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中所說“三會”的直接體現(xiàn).圖7、圖8將抽象的實際問題直觀化，結(jié)合圖9將實際問題用數(shù)學(xué)語言來描述.此題具體的解答過程不在這里詳述，請讀者自行研究解決.

4教后反思

4.1吃透教材內(nèi)容，凸顯教材的作用

教師在平時教學(xué)中，要厘清“用教材教而不是教教材”這個問題，加大挖掘教材的力度，增強(qiáng)問題間的聯(lián)系，讓學(xué)生加深對知識背后本質(zhì)的理解，落實基本知識與基本技能，為解決相關(guān)的中考題打下基礎(chǔ).

4.2增加變式訓(xùn)練，鞏固雙基，提升能力

優(yōu)質(zhì)的教學(xué)不是提供“解答”，而是觸發(fā)“質(zhì)疑”與“思考”，拓展每一個學(xué)習(xí)者的自我的世界[.通過回顧解決變式訓(xùn)練等問題的思考過程，反思解決問題的方法，形成批判性思維，提升解決問題的能力.

總之，新標(biāo)準(zhǔn)新要求，新中考新立意.在平時的教與學(xué)中，觸發(fā)學(xué)生的“質(zhì)疑”與“思考”；在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感受數(shù)學(xué)在實際生活中的作用，發(fā)展核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘啟泉.教學(xué)心理十講[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2022：4.