同解變形思想在解方程教學(xué)中的滲透

人教版初中數(shù)學(xué)教材七年級下冊第八章8.2節(jié)給出了二元一次方程組的解法一一消元法，該解法的本質(zhì)是利用等式的基本性質(zhì)對方程組進(jìn)行同解變形，將二元一次方程組化歸為一元一次方程，從而求解.具體如下：

例1用代入法解方程組

分析：方程 ① 中 x 的系數(shù)是 1 ，用含 y 的式子表示x ，比較簡便.

解：由 ① ，得

然而，實際教學(xué)中教師往往忽視對同解變形思想的滲透，使得上面方法的呈現(xiàn)有一些不足：一是容易引起學(xué)生的疑惑，這樣得到的解為什么是原方程組的解（從而需要檢驗）？學(xué)生往往“知其然而不知其所以然”二是由于該解法沒有強(qiáng)調(diào)方程組的同解變形過程，導(dǎo)致與大學(xué)階段線性代數(shù)中線性方程組的高斯消元法有一定的脫節(jié)，未能起到未來學(xué)習(xí)線性方程組一般理論的鋪墊作用.因此，本文中以“消元一—解一元二次方程組”為例，尋求更好的教法，強(qiáng)調(diào)同解變形思想在教學(xué)中的滲透，使得學(xué)生對于本節(jié)知識的學(xué)習(xí)更加清楚、深人.

1高斯消元法的歷史

高斯消元法，雖以德國數(shù)學(xué)家高斯（C.F.Gauss）命名，但最早出現(xiàn)于我國著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》高斯消元法的版本很早就為人所知，但是它在科學(xué)領(lǐng)域的重要性，直到高斯用它來計算谷神星小行星的軌道時才得以體現(xiàn).1801年1月1日，西西里島天文學(xué)家、天主教牧師朱塞佩·皮亞齊（G.Piazzi，1746一1826）注意到一個他認(rèn)為可能是“失蹤行星”的暗淡天體，他將這個天體命名為谷神星（Ceres），并進(jìn)行了有限數(shù)量的位置觀測.但當(dāng)它接近太陽時，就失去了這個天體.當(dāng)時只有24歲的高斯利用一種叫做“最小二乘法”的技術(shù)從有限的數(shù)據(jù)中計算出谷神星的軌道，并用我們現(xiàn)在稱之為“高斯消元法”的方法解出了方程組.一年后谷神星在處女座以他所預(yù)測的幾乎精確的位置再次出現(xiàn)時，高斯的工作引起了轟動.

稱為線性方程組的增廣矩陣.增廣矩陣的這種記法最早出現(xiàn)在《九章算術(shù)》里，這些系數(shù)是按列而不是像今天那樣按行排列的.增廣矩陣和非增廣矩陣的概念在史密斯（HenryJ.S.Smith，1826—1883）1861年的文章中就被引入了；而增廣矩陣這一術(shù)語的實際使用，似乎是由美國數(shù)學(xué)家馬克西姆·布舍爾（MaximeBocher，1867一1918）在其1907年出版的《高等代數(shù)導(dǎo)論》一書中引入的[].

高斯消元法的本質(zhì)是將線性方程組同解變形為易于求解的方程組從而求出原方程組的解，這等價于對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換化為行最簡階梯形.由于德國工程師WilhelmJordan在他1888年出版的大地測量學(xué)的著作《HouthBuffer—Der—MeunungSunund》中進(jìn)一步推廣了該方法的基本思想，因此也將增廣矩陣通過行初等變換化為行最簡階梯形的過程稱為Gauss-Jordan消元法.

2求解方程組的教學(xué)設(shè)計

由上可知，高斯消元法的本質(zhì)是方程組的同解變形.因此，在二元一次方程組的教學(xué)設(shè)計中，我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)同解變形思想的滲透，讓學(xué)生理解求解方程組的過

程就是基于等式的基本性質(zhì)對方程組進(jìn)行同解變形的過程，這將為學(xué)生未來學(xué)習(xí)高斯消元法的一般理論奠定知識基礎(chǔ).

上述過程是對方程組進(jìn)行同解變形的過程，因而最后的方程組與原方程組同解，從而得到原方程組的解.當(dāng)然，以上解線性方程組的過程過于啰嗦，因為 ④ ⑤⑦⑩ 等都是重復(fù)抄寫，都可以刪除.如果略去所有重復(fù)的步驟，就可以得到教材中的求解步驟（同解變形的簡化版本）.

上述設(shè)計僅僅是對教材上的求解步驟做了一點(diǎn)點(diǎn)改變，但卻強(qiáng)調(diào)了同解變形思想在解方程組中的滲透.這樣的教學(xué)設(shè)計的優(yōu)點(diǎn)在于，不僅能讓學(xué)生理解求解二元一次方程組的過程就是利用等式的基本性質(zhì)對方程組進(jìn)行同解變形的過程，為大學(xué)階段學(xué)習(xí)線性方程組的一般理論奠定基礎(chǔ)，而且也能讓學(xué)生理解教材上的求解步驟其實就是方程組同解變形過程的簡化版本，因此所得到的解就是原方程組的解，無需檢驗（當(dāng)然，為了驗證計算的準(zhǔn)確性，也可以代入檢驗）.

3課程思政的融入

中國古老的數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中，已有對線性方程組解法的詳盡敘述，這些方法實質(zhì)上等同于本節(jié)所講的高斯消元法.

在西方，對線性方程組的研究始于17世紀(jì)后期，由數(shù)學(xué)家萊布尼茲開啟，比《九章算術(shù)》晚了一千多年.萊布尼茲曾探究了涉及兩個未知量的三個方程構(gòu)成的線性方程組.到了18世紀(jì)上半葉，麥克勞林?jǐn)U展了研究范圍，探討了涉及 2～4 個未知量的線性方程組，并最終得出了現(xiàn)稱為克萊姆法則的成果；克萊姆緊隨其后，也發(fā)表了這一法則.進(jìn)入19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯 和道奇森（C.L.Dodgson）繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引入了增廣矩陣等概念，后者證明了線性方程組有解的充要條件，即系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，這一發(fā)現(xiàn)連同線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論構(gòu)成了現(xiàn)代線性方程組理論的基石，并成為貫穿線性代數(shù)始終的最基本的方法1].

相比之下，中國線性代數(shù)的發(fā)展雖然起步較早，但與西方相比，其影響力和發(fā)展速度相對較小.我國古代數(shù)學(xué)更側(cè)重于算術(shù)和代數(shù)方面的實際應(yīng)用，《九章算術(shù)》中記載了許多關(guān)于線性方程組解法的內(nèi)容.然而，這些早期的成果并未形成系統(tǒng)的線性代數(shù)理論體系.直到近現(xiàn)代，隨著西方數(shù)學(xué)的傳人和本土數(shù)學(xué)家的努力，線性代數(shù)在中國才逐漸得到重視和發(fā)展.中國數(shù)學(xué)家如熊慶來、華羅庚等人在線性代數(shù)的教學(xué)和研究方面做出了貢獻(xiàn)，推動了線性代數(shù)在中國的普及和發(fā)展.

在教學(xué)中，一方面要讓學(xué)生了解我國古代在線性方程組方面的巨大成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感與文化自信；另一方面也要讓學(xué)生了解到我國古代的研究太專注于“術(shù)”的層面，而受制于時代的局限缺乏從“理”的層面進(jìn)行深入探索，從而錯失了將方程組的解法升華為線性方程組一般理論的機(jī)會，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于探索真理的科學(xué)精神.

4結(jié)論

在中學(xué)數(shù)學(xué)解方程組的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)同解變形思想的滲透.在具體設(shè)計課堂教學(xué)時，可以通過“雞兔同籠”等問題創(chuàng)設(shè)方程組的引人情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；同解變形的過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考每一步同解變形的數(shù)學(xué)原理—一等式的基本性質(zhì)；應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)該解法的思想一—消元，將二元一次方程組化歸為一元一次方程求解；注意設(shè)計課程思政的融入節(jié)點(diǎn)，做到潤物細(xì)無聲.

在設(shè)計課堂教學(xué)時，教師不能刻板地使用教材，應(yīng)該深挖教材，順勢而導(dǎo)，將學(xué)習(xí)引向深人.教學(xué)設(shè)計不僅要讓學(xué)生“知其然”，更應(yīng)讓學(xué)生“知其所以然”；不僅要求學(xué)生掌握所學(xué)知識，還要為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好鋪墊，為學(xué)生的未來發(fā)展奠定基礎(chǔ).“授人以漁，留有余香\"是課堂教學(xué)設(shè)計中教師應(yīng)思考的準(zhǔn)則之一.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐運(yùn)閣，章超，廖軍.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2021.