基于“后建構”課堂：讓教材習題活起來

數學家奧加涅相說過：“很多習題潛藏著進一步擴展其數學功能的可行性.\"在中考備考階段，基于“后建構課堂”對教材習題整體建構進行二次開發，在揭示知識關聯的同時培養求異思維.下面以人教版八年級下冊第69頁第14題為例，以正方形為背景，打亂原有順序，重新建立知識體系，融合GeoGebra動態數學軟件功能，探索圖形構造，尋找通性通法，以讀者.

1原題呈現

如圖1，四邊形ABCD是正 方形，點 E 是邊 B C 的中點， ，且 E F 交正方形外 角的平分線 C F 于點 F

求證： A E=E F .

2解法探析

2.1視角1：基于截長補短法構造全等

證法1：如圖2，取 A B 的中點 G ，連接 E G ，得 A G=B G= B E=E C ，則 ∠ A G E=∠ E C F= .因為 所以∠ B A E=∠ C E F ，從而△ECFΔ A G E ，故 A E=E F .

證法2：如圖3，延長 A E 至點 G ，使 A E=G E ，連接 C G ，易證 及 三點共線.取 C G 的中點 H ，連接 E H ，易證 Δ C E F？Δ H G E ，從而可得A E=E F .

2.2視角2：基于旋轉構造全等

證法3：如圖4，連接 A C ，把 Δ E C F 繞點 E 逆時針旋轉 ， 顯然 ∠ A E G=∠ F E C E G=E C ， ，所以 ，故 .

證法4：如圖5，連接 A C ，把Δ E C F 繞點 c 逆時針旋轉 ，得 Δ E C F？Δ H C G ，所以 E F= H G，∠ C E H=∠ C H E=∠ B A C= ∠ C F E=∠ C G H. 因為 C F 是正方形 A B C D 外角的平分線，∠ C H G=∠ C E F=∠ B A E ，所以∠ C F E=∠ C G H=∠ C A E=∠ E H G ，所以AE//G H，A G//E H ，即四邊形AEHG是平行四邊形，故A E=H G=E F

證法5：如圖6，把 Δ E C F 繞 D點 c 順時針旋轉 ，得 Δ E C F？ HΔ H C G ，所以 H G=E F ， ∠ F= ∠ G .連接 A H ，易證 Δ A B E？ BEΔ A D H ，所以可得 A E=A H ，∠ B A E=∠ D A H=∠ C E F 連圖6接 A C ，知 A，C，G 三點共線， ，從而可證 ∠ G A H=∠ E F C=∠ G ，即A H=H G ，故 A E=E F

證法6：如圖7，把 Δ A B E 繞點 B 順時針旋轉 ，得 Δ C B G ，則 B G=B E ， ∠ B A E= ∠ B C G=∠ C E F ，所以 E F//C G ，易證 ，所以 C F//G E ，即四邊形GCFE是平行四邊形，所以 C G=E F ，故A E=E F

證法7：如圖8，連接 A C ，把 E C 繞點 E 順時針旋轉 ，連接 G C ，顯然 G，C，F 三點共線，且 ∠ A C E=∠ F G E ， ∠ A E C= ∠ F E G ，從而 Δ A E C？Δ F E G ， 故 .

證法8：如圖9，把△ABE繞 點 E 順時針旋轉 ，則可得 B E=G E ∠ B=∠ G，∠ A E B= ∠ G E F ，從而 Δ A B E？ F G E ，故 A E=E F

證法9：參看圖3，把ABE繞點 E 旋轉 ，與 證法2雷同.

2.3視角3：基于翻折構造全等

證法10：如圖10，把△ECF沿 E C 翻折得 ，所以 E F=E G ∠ F=∠ G 連接A C ，知 A，C，G 三點共線.又知∠ B A E=∠ C E F ，易證 ∠ G= ∠ E A G=∠ E F C ，從而 A E= E G ，故 A E=E F

證法11：如圖11，把 Δ A B E 沿 B E 翻折得 Δ A B E？Δ G B E ，所以可得 A E=E G ， ∠ G A E= ∠ A G E .連接 G C ，知 點共線， ∠ B G C=∠ B C G 由 C F 是正方形 A B C D 外角的平分線及∠ B A E=∠ C E F ，易證 ∠ E G C= ∠ E F G ，從而 E G=E F ，故

2.4視角4：基于一線三垂直構造相似三角形

證法12：如圖12，過點 F 作F G⊥ B C ，垂足為 G ，由一線三垂直可證 Δ A B E～Δ E G F .由 C F 是正方形 A B C D 外角平分線知G F=G C 設 B E=E C=α ， G F=

G C=b ，則有 b：（a+b）=a：2a ，整理得 a=b ，從而 ，故 A E=E F .

2.5視角5：基于三角函數建立方程

證法13：參看圖12，設 B E=E C=a ， G F=G C= b ，由 tan∠F E G=tan∠B A E ，得 b：（a+b）=a：2a ，整理得 a=b ，易證 ，故 A E=E F

2.6視角6：基于勾股定理構造直角三角形

證法14：如圖13，連接 A F ，過點 F 構造矩形CDHG.設B E=E C=a ， G F=G C=b .在RtΔ A B E 中， ；在 RtΔ E G F 中， ；在 RtΔ A F H 中，

所以，在 RtΔ A E F 中，有 ，整理得 a=b ，易證 Δ A B E≌ Δ E G F ，故 A E=E F

2.7視角7：構造輔助圓

證法15：如圖14，連接 A C ，得 ，所以 A，E ，C，F 四點共圓.連接 A F ，知 ∠ A F E= ，所以 ，故

A E=E F

2.8視角8：基于建系法構建函數關系式

證法16：建立如圖15所

示的平面直角坐標系，設

E（1，0），A（0，2），C（2，0） ，易

求得直線 A E 的解析式為 y=

-2x+2 ，進一步可得直線

EF 的解析式為y= ·

由 C F 是正方形ABCD的外角平分線，可求得直線C F 的解析式為 ，將其與 聯立可得 x=3，y=1 ，所以 A B=E G=2，B E=G F=1 ，從而由勾股定理得 A E=E F .

3一題多變，培養求異思維

借助GeoGebra的強大功能，對習題進行適當的變式與拓展，培養學生的求異思維.

變式1觀察圖 16～18 ，在直線BC上拖動點 E 時，結論 A E=E F 還成立嗎？

變式2觀察圖 19～21 ，圖中 Δ A B C ，五邊形A B C D G ，六邊形 A B C D G H 均為正多邊形，在直線B C 上拖動點 E 時，結論 A E=E F 還成立嗎？

變式3如圖22，連接 A F ， A C ， Δ A B E 與Δ A C F 有什么關系？

變式4如圖23，連接 A F ，交 C D 于點 H ，連接E H ，則 E H，B E，D H 之間有什么數量關系？

4從三個視角反思教材習題的挖掘價值

（1）減負提質視角

“雙減”政策以減輕學生過重的學業負擔為核心，旨在減負提質，這就需要初中數學教師要注重對教材資源的拓展和利用.縱觀近兩年全國各省市的中考試題，均依標命制，圍繞教材選題，很大一部分題目都是依據教材例題、習題進行改編、拓展，往往體現“源于教材、高于教材”，設題堅持通性通法，解答往往一題多解，既可以利用代數方法，又可以借助幾何方法.因此，教師既要領悟教材的編寫意圖和設計導向，又要聚焦自己所在區域數學命題現狀，厘清教材經典例題、習題與中考試題的關聯.為了落實新課標及“雙減”政策，今后全國各省市的中考題將會深度挖掘教材例題、習題，因此一線教師要回歸教材，有針對性地訓練，避免把教材打人“冷宮”而大量購買教輔資料盲目刷題，增加師生及學生家庭負擔.

（2）培養求異思維視角

數學是思維的科學，數學育人的重心在于培養人的思維，若思維得不到發展，核心素養則無從談起.上述習題通過一題多解、變式、延伸拓展等架構了新舊知識之間的關聯，探索圖形構造，在解題過程中讓學生“知其然，還知其所以然”，進而形成自己的思維經驗與思維方法，培養求異思維.“教師要利用實例對教材中反映出的數學方法加以滲透、解釋和總結歸納，從而提高學生對數學思想方法的認識，培養學生運用數學思想方法解決問題的能力.”因此，教師要善于借助微實踐活動或GeoGebra數學軟件，把教材例題中能培養求異思維的數學歷史、數學案例、數學美等充分挖掘出來展示給學生，激發學生的內驅力，引導學生從不同角視角切人，通過一題多解教學培養求異思維.

（3）中考備考視角

“后建構課堂”指的是在新認知情景中重組或再構學生已有知識基礎，局部深人，以達到重建新的更為完整的認知結構的課堂教學.在中考備考階段，教材例題、習題教學需要打亂原有順序重新建構，這種教學方式利用“后建構課堂”來實施是不二選擇，比如上述習題就是通過模型、幾何變換等將三角形、四邊形、圓、函數有機串聯在一起，把知識點串成線、織成網，通過重新建構知識體系找到“蘑菇圈”教師在中考備考時要把教材例題、習題的價值充分挖掘出來，實現一題牽百題，一題多解，多題一解，融合“四基”\"四能”發展核心素養.