因需而探 架構成長

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在教學建議的第2條指出：“為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯.\"本“軸對稱”單元起始課中，已對本單元內容與核心素養發展的關聯進行了設計說明，如何在后續的“深度探研課”[2]中落實這些要求，本文以“線段的垂直平分線”為例具體談一下.

2教學目標

（1）通過探究獲得并證明線段垂直平分線的性質定理及其逆定理，會用線段垂直平分線的性質定理、逆定理探出用尺規作圖作線段垂直平分線的方法；

（2）能夠運用線段垂直平分線的性質定理及其逆定理解決問題，在探究定理與逆定理的過程中，體會“集合”\"建模”思想.

1教材分析

線段作為軸對稱圖形中最簡單的圖形之一，學生已熟悉.初一時學生已經學習了線段的和差、線段的中點、線段的三等分點等知識.當學完本章的第一節課，對于“如何體現線段的對稱性？”“線段的對稱軸又會產生什么新結論？\"“這些結論如何用推理完成（全等三角形的發展性運用）”，本節課承接上面問題展開研究.同時，線段的垂直平分線也是初中階段要學習的重要直線之一，其性質定理及逆定理是證明線段相等、兩直線垂直常用的方法，且為后面學習等腰三角形、四邊形、圓等知識做了鋪墊.

教材中，線段的垂直平分線是作為兩節課呈現給學生的，第一節課先學習線段垂直平分線的性質定理與其逆定理，第二節課再學習線段垂直平分線的尺規作圖.在章起始課統領布局下，本節課打破了這種“零散\"安排，把線段垂直平分線的“性質定理及其逆定理、尺規作圖”整合起來，形成一個小“單元結構”，這樣不僅幫助學生整體領悟知識，還為后面學習角的平分線埋下類比的種子，給學生提供學習策略與學習方法的引導.

3教學過程設計

環節一 創境引，孕育模型

問題1學過的軸對稱圖形有哪些？按照數學的學習規律，應先研究哪個軸對稱圖形？

預設：列舉軸對稱圖形（略）；從最簡單的圖形 開始.

追問1：對于線段，已經了解了什么？接下來繼續研究線段的什么內容？

追問2：關于線段的這些內容中，哪個值得繼續研究？為什么？

追問3：線段的垂直平分線作為我們要研究的基本圖形，根據學習圖形的經驗，接下來要學習線段垂直平分線的哪些內容呢？

設計意圖：由淺入深，由簡單到復雜，自然地引出本節課的研究對象一—線段，再借助學習經驗得出線段所要探究的問題，不僅激活了學生的舊知，而且為后續學習埋下了“種子”

環節二 設疑猜想，形成模型

問題2由研究圖形的思路可知，接下來應該探討線段垂直平分線的性質.對于線段的垂直平分線，有哪些性質？從什么角度思考呢？

預設：線段的垂直平分線是一條直線，這條直線不會單獨產生“性質”，但受研究平行線等圖形的經驗啟發產生想法一一在線段垂直平分線存在的前提下，會不會產生新的圖形？

追問1：線段的垂直平分線上有無數個點，這無數個點是否有共同的特點？如何體現這些共同點？

追問2：如何說明兩條線段是相等的？

預設：測量、動手實驗（對折）、推理證明.

教師借助幾何畫板進行動畫演示，讓學生體會線段垂直平分線的性質.

追問：如何表達這一性質？

預設：從文字語言與符號語言兩個角度思考.

設計意圖：讓學生經歷如何猜想并證明線段垂直平分線性質的過程，幫助學生建構學習數學的策略體系，培養學生的類比遷移能力，讓學生在無形中體會數學學習的奧妙.用幾何畫板的測量與動畫演示功能，讓學生體會其猜想的正確性，感受線段的中垂線是無數個點的“集合”，以增強幾何直觀.

環節三 合作探究，驗證模型

問題3要說明上面得出的命題是真命題，最有說服力的是什么方法？

追問1：要證明一個命題是真命題，需要經歷哪幾個步驟？

追問2：要想證明兩條線段相等，大家能想到哪些方法？

追問3：這個問題中，根據條件，應該選擇什么方法？請大家獨立思考，然后小組交流分享.

師生活動：學生獨立思考，畫出圖形，寫出已知、求證并進行證明，完成后小組交流分享，確定不同的證明方法，并在比對中選出最簡單的證法.

設計意圖：定理的證明過程教師不是直接給出，而是引導學生思考解決問題的方法有哪些.學生在探尋方法的過程中，既復習了知識，又有助于思維習慣的養成，久而久之，學生的幾何直觀與推理能力也就形成了.

環節四再次探究，變式模型

問題4結合以往學習圖形的經驗，一個命題研究完，接下來還要研究什么？

預設：命題的逆命題.

追問1：你能寫出線段垂直平分線性質定理的逆命題嗎？

追問2：這個逆命題是真命題嗎？如何證明其正確性？對于假命題又該如何說明？

師生活動：學生獨立思考，小組交流分享，教師根據學生情況進行指導、講解，最終得出其逆命題也是真命題.得出逆定理后，引導學生寫出符號語言.此時，教師結合學生的理解情況進行再提煉與總結一—這個逆定理主要解決了什么問題？兩個定理結合起來，即可作為線段垂直平分線的“集合”定義.

設計意圖：類比性質定理的探究過程得出其逆定理，在習得新知的同時，發展了學生的類比能力與遷移能力.線段垂直平分線的性質定理與其逆定理合起來說明了“線段的垂直平分線可以看成是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合”，或看作“動點的軌跡”，以此滲透點的“軌跡思想”

環節五 發散思維，鞏固模型

問題5線段的垂直平分線如此“神奇”，大家利用尺規，能否畫出線段的垂直平分線？要想畫出來，你又聯想到什么知識？

師生活動：學生獨立完成作圖，小組分享作法.教師根據學生作圖情況進行指導.

設計意圖：尺規作圖過程其實就是運用數學知識的過程，每一個基本作圖都蘊含了作圖原理，線段垂直平分線的尺規作圖實際是其逆定理的應用.本環節，不是直接告知尺規作圖的方法，而是引導學生逐步得出方法，是一種知法明理的反向探索.

環節六反思評價，拓展模型

問題6大家結合學到的知識以及獲取知識的過程，談談個人的收獲？

師生交流，形成本節課的知識結構圖.

設計意圖：讓學生從知識與獲取知識的過程兩個方面談收獲，引導他們在掌握知識的同時，感悟獲取知識的方法，由此積累學習經驗.

4教學立意與闡釋

4.1知能并進，提高學生核心素養

課堂上，在知識的導人環節、定理與逆定理的探究環節等，均借助學生的已有經驗得出來，引導學生在學習新知的過程中，不斷地類比舊知，不斷類比學習舊知的方法，這些都對培養學生的類比能力與遷移能力起著重大的促進作用.根據線段中垂線性質的逆定理，讓學生探討“線段中垂線”的尺規作圖，增強幾何直觀，提高推理能力.

4.2學為主體，落實數學課程育人

《課標（2022年版）》指出：“通過豐富的教學方式，引領學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中感悟基本思想、積累基本活動經驗，發揮每一種教學方式的育人價值，促進學生核心素養發展.\"[1]8本節課充分體現了新課標的這一理念，學生運用舊知對新知進行猜想、動手實驗、驗證等，厘清知識的來龍去脈，領悟學習圖形的活動經驗，形成學習圖形知識的一般觀念，有效落實課程育人.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]邢成云.“整體統攝·快慢相諧”的整體化教學[J].中國教師，2021（10）：38-41.