問題引領：讓數學探究走向深入

摘要：數學課堂中的問題引領有助于幫助學生搭建思維的階梯，激發學生學習的內生力，主動尋找解決問題的路徑與方法。以核心問題為主線，開放學習空間，鼓勵學生自主探索、合作交流，重視學生的內化體驗與分析思辨，能夠促進學生理解知識，建構意義，發展思維，提升學力。

關鍵詞：問題引領;數學探究;深度學習

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）02B-0096-05

數學課堂要關注學生的學習過程，創設開放的學習時空，通過核心問題的引領，鼓勵學生主動探究，重視學生的研究體驗，引導學生內化知識，實現思維進階，促進學力生長。本文以“圓的面積”的教學為例，淺談基于問題引領的數學探究的實踐與思考。

一、提煉核心問題，關注學生體驗

數學課堂的核心問題是指一節課中主要的、具有思維價值的問題或問題群。這些核心問題是基于一節課學習的重要內容進行提煉的，需要學生在課堂上深入探索、重點解決的問題。核心問題也是一堂課的“主線”，應能關注學生的體驗，引發學生深度思考，促進學生對知識的理解與意義的建構，從而實現學習的進階。

筆者曾經多次上過“圓的面積”教學的研究課。為了展示圓面積推導的動態過程，筆者自制教具，嘗試運用FLASH、PPT、幾何畫板，在課件制作和教具演示上投入了很多精力。學生在初步探索的基礎上，結合觀看課件動畫和教具演示來學習。雖然視覺感知上更加直觀，但是學生自主探究的內在體驗不夠豐富，研究出的推導方法也比較單一。近些年，隨著研究的深入，筆者越來越關注學生內在的感悟與思考。于是這節課的教學設計與以往有了很大的不同，備課時的主導思想是提煉核心問題，重視學生體驗，讓課堂從學生的學習出發，促進學生的深度探究。

本節課以核心問題為主線，抓住“準備怎樣來研究圓面積的計算方法”“如何把圓轉化成我們學過的圖形”“圓面積的計算方法怎么推導”“如何解決生活中的實際問題”這樣幾個核心問題展開學習。整節課“輕”課件、“輕”教具、“重”學具、“重”體驗。課前筆者給每個小組的學生準備了一套磁性的學具：一張圓形的磁片，把三張圓形磁片分別等分成4個、8個、16個的小扇形，每人一塊磁性黑板。教學課件只有3張PPT，主要呈現兩個內容：探究方法與解決問題。課堂上創設了開放的學習空間，提供了豐富的學具操作，鼓勵學生進行自主探究與伙伴共研，在動手操作與分享交流中充分地體驗感悟，讓每個學生參與學習的過程，在智慧碰撞中不斷地遞進思考，讓探究走向深入。

二、生成非良構問題，探尋最佳路徑

喬納森根據結構性的不同，將問題分為良構問題與非良構問題。非良構的數學問題通常與具體情景相結合，但是沒有清晰的已知條件，沒有明確的解決途徑，解決問題的方法比較開放。在數學課堂中，生成非良構的問題，可以引導學生探尋多元的、合適的解決問題的途徑，在理解的基礎上尋找最佳路徑，從而讓數學探究走向深入。

筆者曾經對亞洲地區幾種不同版本教材中有關“圓的面積”的教學內容進行比較，發現：雖然導入部分的設計有所不同，但是圓面積計算公式的推導過程大體相同，基本方法都是把圓等分成8份、16份的小扇形，然后通過把圓轉化成平行四邊形（或長方形）推導出圓面積的計算公式。日常教學中，大多數教師也是按照把圓切分成小扇形的思路指導學生操作探究、總結規律。只不過，很少有人關注如下的基本問題：怎樣才能讓學生想到需要通過轉化計算圓的面積？轉化時，為什么要把圓等分成若干個小扇形？把圓等分成若干個小扇形之后，只能拼成近似的長方形嗎？把圓轉化成其他的圖形能否也推導出圓面積的計算方法？筆者覺得，這些問題盡管具有一定的難度，但顯然也有利于學生對圓面積計算問題形成更加完整和深入的思考。于是，在這節課的導入部分，筆者改變了原來常用的教學方法，提出非良構的數學問題，讓學生自主嘗試，多渠道尋找解決問題的方法，探尋最佳路徑。

首先請學生回想以前在推導平面圖形面積計算公式時運用的是什么方法。學生都能想到用了轉化的方法，把要研究的圖形轉化為以前學過的圖形，把未知轉化為已知。在此基礎上，啟發學生思考：研究圓面積的計算公式的推導，準備怎么辦？學生想到了可以把圓剪開，切分成小塊，轉化成以前學過的圖形，化曲為直。然后給學生一個圓，一把剪刀，讓他們自己嘗試著去切分，把圓剪一剪，在小黑板上拼一拼，經歷探究過程。

學生自主嘗試，主要出現了以下幾種思路（見圖1）：大部分學生把圓切分成了若干個扇形（圖1-1、1-2、1-3），嘗試拼出平行四邊形;個別學生把圓剪成了若干個小長條（圖1-4），嘗試拼出長方形;還有一位學生把圓剪成了整格的小方塊和不滿整格的不規則圖形（圖1-5），嘗試用數方格的方法。雖然多種方法切分，剪拼不夠規范，但是都表達了化曲為直的想法。

經過全班的交流分析，學生達成共識：把圓切分成小長條和小方塊，都不好操作，因為里面含有不規則的圖形，切分后帶弧度的不規則的小塊圖形形狀不同，很難密鋪，空隙較多，很難轉化成以前學過的平面圖形。還有學生想到：切成小方格和數方格的方法有些近似，如果用方格紙來測量，可以得出近似的圓的面積，但是無法準確計量出圓的面積。大家一致認為：把圓等分成若干個小扇形比較合適。需要注意的是如果等分成2個半圓，也是無法轉化成以前學過的圖形，但是把圓等分成4個小扇形或更多個小扇形，不僅可以密鋪，而且等分的小扇形的塊數越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。

這樣的導入，通過問題引領，創設了開放的探究空間，啟發學生自主思考，鼓勵學生嘗試，剪出多種路徑，探尋最佳路徑，引導學生運用轉化，真正體會化曲為直，找到解決問題的方法。

三、開放探究空間，感悟推導方法

問題是驅動學生數學學習的動力引擎。數學課堂中我們給學生提出的問題要有廣度，有挑戰性，有思維含量，要留給學生思考的時間和研究的空間。開放的探究時空可以讓學生有更豐富的感悟體驗，會有更多智慧的碰撞，也會促進思維向縱深發展。

在推導圓面積計算的方法時，筆者沒有直接給出具體的單一的方法，而是引導學生探索，創設開放的問題情境，提供學具，引導學生自主探究，在多種方法的交流分享中體驗感悟，在不同思考的比較分析中內化提升。

（一）問題引領，多元轉化

好的數學問題，可以激發學生大膽地提出數學設想。在數學學習的探究環節，教師可以創設開放的探究空間，通過問題的引領，鼓勵學生主動嘗試，從不同途徑尋找解決問題的方法。

全班學生經過初步嘗試形成共識：把圓切分成相等的小扇形，更利于把圓轉化成學過的平面圖形。在此基礎上教師提供了以下研究思路，鼓勵學生在四人小組內運用學具進行伙伴探究。

（1）小組討論：準備把圓轉化成什么圖形？

（2）小組合作：選擇4等分、8等分、16等分的圓，在小黑板上拼一拼，看看能拼成什么圖形？

（3）小組交流：把拼好的圖形有序排列，觀察不同分法轉化后的圖形，有什么發現？拼成的圖形與原來的圓有什么關系？根據轉化后的圖形的面積計算方法怎樣計算圓的面積？

在開放的場域中，學生在小組內充分嘗試，探索出了多種轉化的方法（見圖2）。

（二）分析比較，感悟方法

當學生發現解決問題有多種方法之后，還要引導學生進行分析比較。在觀察、感悟、分類、匯整的活動中，逐漸優化方法，幫助學生逐步形成認知結構，提升學習能力。

通過自主嘗試，全班學生展示出了以上四種思路，其中絕大部分小組是用第一種方法（見圖2-1）進行轉化的，只有三個小組分別呈現了后面三種思路（圖2-2，2-3，2-4），屬于個例。于是先選擇共性的方法進行研究。結合學生介紹的轉化方法，教師適時補充把圓32等分、64等分后轉化成近似的長方形（見圖3），滲透極限思想，引導學生體會把圓無限等分后可以轉化成長方形，進而理解圓面積計算的推導過程。

然后引導學生分析后三種思路，教師提出問題：“用這樣的方法能不能推導出圓面積的計算方法呢？誰想上來介紹一下推導的思路？”學生結合自己的轉化過程，分享了多種思路的推導方法（見圖4）。學生發現：把圓轉化成平行四邊形、長方形、三角形、梯形都可以推導出圓面積的計算方法。

盡管學生通過自己的探索，已經找到解決問題的方法，但筆者認為課堂上教師要一直保持問題意識，善于捕捉學生的困惑，引發學生思維碰撞與深度思考。此時可以繼續引導學生思考：“比較這幾種方法，有什么不同點？有什么相同點？”“你覺得把圓轉化成什么圖形比較方便推導出它的面積計算公式？”學生經歷了自主探究的過程，在方法多樣化的基礎上進行分析比較，有了更多的體驗與思考，深切體會到把圓轉化成長方形的方法很通用，也很優化，既方便進行圖形的切拼轉化，也利于面積計算的方法推導。

（三）變式思考，思維進階

數學學習中，變式思考有助于打破思維定勢，切換視角重組認知結構，學生的思考隨著對問題的分析和思辨逐步深入，不斷拓展。

本節課學生主要探究了把圓切分成小扇形拼成學過的平面圖形推導出圓面積計算的方法，在此基礎上教師可以提出一個拓展性的問題引發學生變式思考：“今天我們研究了把圓等分成扇形進行轉化，還有沒有其他的方法呢？如果給你一個草繩編織的圓形茶杯墊片，又可以怎么探究圓面積計算的方法呢？”學生經歷過前面的研究，思路已完全打開，展開了充分的討論，跳出原有的思維框架，展開了新的探索，有的想到了可以把圓形草墊沿著半徑剪開，拼成一個近似的三角形草墊（見圖5），也有學生想到了其他的思路，建議感興趣的同學可以課后繼續研究。通過變式思考，學生進一步探索了化曲為直的多維思路，更深入地理解了圓面積計算的推導方法，促進了思維的進階。

四、解決數學問題，應用提升學力

學生的數學學習是從問題的提出開始的，也是在問題的解決中發展的。在解決數學問題的過程中，可以引導學生經歷數學化的過程，更好地理解數學知識的本質，把握數學知識的聯結，在應用與拓展中，提升思維的品質，促進學力的發展。

數學練習中的解決問題不在于數量的多少，而在于問題所指向的知識內容與思維含量。結合學生的認知進行更加精準的練習設計，可以激發學生有深度的數學思考，提高學生解決問題的能力。

（一）關聯生活，學以致用

應用所學知識解決數學問題，可以在數學知識與社會生活之間建立關聯，幫助學生學以致用。學習了圓面積計算的推導方法后，可以引導學生應用所學習的方法來解決生活中的實際問題。蘇教版數學教材中的例題是關于噴灌面積計算的解決問題，這個素材來源于生活，具有一定的典型性，學生很容易理解，可以直接出示問題：“有一個自動旋轉噴水器的最遠噴水距離大約是5米。它旋轉一周噴灌的面積大約是多少平方米？”這節課的新知學習讓學生對圓面積的計算方法有了深刻的體會，此時就很容易解決這個數學問題。在學以致用的基礎上啟發學生思考：要求圓的面積需要知道什么條件，學生想到了已知半徑、直徑、周長都可以求出圓的面積。教師可以相機對所學新知加以小結與提升。

（二）拓展應用，深度理解

指向問題解決的數學學習，有利于更好地呈現和分析學習的脈絡，更充分地展現學生的思維。有一定深度的數學問題，可以促進學生對知識更深層次的內化。在這節課的拓展練習部分，同學們小結出要求圓的面積，需要知道半徑、直徑或周長。此時教師引發學生思考：如果只知道小正方形的面積，你們還能求出圓的面積嗎？相機出示問題：圖中（見圖6）小正方形的面積是8平方厘米，你能算出圓的面積嗎？ 引導學生突破已有認知，尋找新的視角解決問題，找到問題解決的突破口，即小正方形的面積就是半徑的平方，從而求出了圓的面積，深度理解圓面積計算的多種方法。

數學課堂中的問題引領有助于幫助學生搭建思維的階梯，激發學生學習的內生力，主動尋找解決問題的路徑與方法。以核心問題為主線，開放學習空間，鼓勵學生自主探索、合作交流，重視學生的內化體驗與分析思辨，能夠促進課堂教學的開放與整合，使課堂學習更加高效，更有深度。學生在學習的過程中不斷創生新的認識，在分析、綜合、應用的過程中理解知識，建構意義，發展數學思維，提升學力。

責任編輯：丁偉紅

收稿日期：2020-12-30

作者簡介：陳馨，南京市鼓樓區第一中心小學（江蘇南京，210029），教育碩士，高級教師。