一道橢圓中內接三角形面積最值問題的探究

一、題目呈現

題目（巴蜀中學2024屆高考適應性月考卷（五）第22題）如圖1，已知點 P 是橢圓 E 1 （ a gt; b gt; 0 ） ， ）上的動點，離心率 左、右焦點分別為 ，且

（1）求橢圓 E 的標準方程；

（2）若直線 與橢圓 E 的另一個交點分別為 ，問 Δ P A B 面積是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由。

第（1）問考查橢圓方程的求法，直接根據題干條件即可構建 E 基本量的方程，容易求得橢圓 E 的標準方程為 第（2）問以直線與橢圓的位置關系為切入點，考查三角形面積度量問題，體現函數與方程思想在解析幾何中的應用，考查數學建模、數學運算等數學核心素養，對分析問題與解決問題的能力要求較高.接下來，重點探究試題的第（2）問。

二、解法探究

思路1（設點法）點 P 的位置變化引起了 的形狀變化，進而引起了 面積的變化.因此，可將 Δ P A B 面積用 P 的坐標進行表征.

解法1 設 ，則直線 P A 的方程為 y =

，直線 P B 的方程為

.聯立 P A 與 E 的方程并消去 y 整理得（

設 ，則

，則 代人 P A 的方程

得 則 ，

，仿照此過程可求得 A

從而

則 Δ P A B 的

面積S= 設 ，則 設

則 當 和 1）時 單調遞增；當 時 單調遞減.因為 接下來只需比較 的大小，分別平方后可推出 1 從而 的最大值為 f （ 1 ） = 所以 Δ P A B 面積的最大值為

評注解法1以點 P 的坐標為自變量，構建 面積關于 P 坐標的函數，最后研究函數的單調性，求得最值.運算過程中直接由 三點的坐標借助向量表達 Δ P A B 的面積.事實上，設 Δ A B C 中 ，則 只要知道三角形三個頂點的坐標，運用此面積公式可以直接表示三角形面積。

解法2 結合圖形可得面積關系S△PAB=S△PAF2 ，設 ，則 從而S△BAF2 ，則

由解法1知 （2 接下來同解法1.

評注注意到線段 固定，運用圖形分割思想將 分割為 與 ，而這兩個三角形的面積容易表達，也就能夠快速表示 Δ P A B 面積.從這個角度看，解法2是解法1的一種優化，但后續的處理與解法1是一致的。

解法3設 ， ， .注意到坐標原點在 內部，因此 ，由解法1知

1l 2cosθsinα-2cosasinθl =I sin（α-0）|，同理可 得 ，則 （20 ： 因為 P ， 三點共線，則 （204號

，展開化簡得sin（α-0）=（

sinα），同理可得 ·由于 圖形是對稱的，因此不妨設 ，則 （20 （204號 0 ， sin β ？ sin α lt; 0 ，則 sinβ）-sin（α-β）.sin（-θ）=/（ （22 化簡可得tan 由 sin （ β - θ ） = 化簡可得 1 .因為tan （2號 ta tan 2 α β 2 tan2 1 ！ ，設 2 ，代 （204號 ，接下來運用導數即可求解。

評注將 三點用角變量進行假設，再由解法1可得 的面積表達式.分別運用 及 三點共線求得角之間的三角函數關系，再運用三角恒等變換將面積表達式轉化為 tan 的函數，進而再用導數求解.

思路2（設線法）點 P 的位置變化引起了直線P A ， P B ， A B 的位置變化，因此可設直線 P A ， P B 的方程，構建 三點的坐標關系，由于 與 有公共內角，因此借助 面積表達 面積，進而運用導數求最值

解法4設直線 P A 的方程為 ，直線（20號 P B 的方程為 .聯立直線 P A 的方程與橢圓的方程并消去x 整理得 ，則 則 0為x=my。-√3，則+yo 即20 =-7-2√3x.同理可得 川 12x2-49，而SAPPP （20 （2結合點 P 在橢圓上化簡得 接下來同解法1。

評注從直線的位置變化入手，用直線 P A ， P B 的方程分別與橢圓的方程聯立，求得坐標關系.注意到 與 有一個公共內角，因此它們的面積比等于對應邊的乘積之比，進一步將邊之比轉化為相應的坐標比，最后得到 的面積表達式。

解法5 由解法4可得 （204號 .設 ，則有 λ 14.而 則 則 15）SAPF2而y 則 ，則 （20 接下來同解法1.

評注借助三點共線的向量表達，將面積比轉化為共線向量的系數比，構建面積表達式的過程得到了優化.從解法5中可以看出，在題設的條件下2+為一個定值.在下文中，我們將利用這一關系仿照解法5的思路將問題進行一般化推廣。

三、一般化推廣

將試題中的橢圓推廣到任意的橢圓，有下列結論1。

結論1 已知點 P 是橢圓 b gt; 0 ）上的動點，左、右焦點分別為 ，直線 與橢圓 E 的另一個交點分別為 ，則 面積的最大值為 2+2）2，其中c為E的半焦距.

證明設直線 P A 的方程為 ，直線

P B 的方程為 （202

）.聯立直線 P A 的方程與橢圓的方程并消去 x 整

理得 ，則

，則 （204號A

因為 ，則 即

同理可得 設 ，則有

，則

，而 ，則

設劵 則 t ∈ （204號 ，則 下面證明（2

恒成立.只需要 ），即證 0.不等號左邊的判別式 一 .因為 ，由 知 0，因此 ，故 在 上恒成立.故當 t = b 時， 面積的最大值為

（2號 （20

再將 與 改為 x 軸（或 y 軸）上的任意對稱的兩點，有下列結論2和結論3。

結論2 已知點 P 是橢圓 E

b gt; 0 ）上的動點， ，其中 n gt; 0

直線 與橢圓 E 的另一個交點分別為

則 Δ P A B 面積的最大值為 （20

結論3 已知點 P 是橢圓 b gt; 0 ）上的動點， ，其中 n gt; 0 直線 與橢圓 E 的另一個交點分別為 則 Δ P A B 面積的最大值為

結論2與結論3的證明可仿照結論1的思路證 明，在此不贅述。

四、教學啟示

解析幾何的研究要樹立函數與方程的意識.眾所周知，解析幾何是用代數思想解決幾何問題.具體過程是用坐標刻畫平面內點的位置，用直線與曲線上的點的坐標滿足的方程刻畫直線與曲線的位置，進而將幾何中的位置關系問題與幾何度量問題進行代數等價轉化.因此，解析幾何的研究要牢固地樹立函數與方程的意識，領會解析幾何的基本內涵。

其次，解析幾何的研究要樹立圖形意識.解析幾何的出發點是幾何圖形，落腳點也是幾何圖形.幾何圖形的結構特征決定著幾何問題代數化的繁雜程度.只有深入地挖掘幾何圖形中的幾何關系，才能夠快捷地將幾何問題代數化，優化解題過程，提升數學運算素養.例如，從圖形的角度進行分析，如果讓題目中的點 P 從 x 正半軸逆時針運動至 x 軸負半軸，直觀感知 Δ P A B 面積從0（趨近于0）連續變化到0（趨近于0），根據圖形對稱性猜測當點 P 在 y 軸正半軸上時面積取得最值，接下來運用不等式方法驗證猜想即可解決.另外文章中的解法2即是基于圖形的結構，將APAB的面積分割為兩個三角形的面積之和求解，解法4中將面積比轉化為對應邊乘積之比，但并未直接用距離公式將線段長代數化，而是結合圖形將線段乘積之比轉化為坐標乘積之比，從而優化運算過程.因此，解析幾何的研究要以幾何圖形為出發點和落腳點，牢固樹立圖形意識。