拿破侖定理的證明及其應用探究

2025-05-31 00:00:00陳德富聶元愷

中學數學研究 2025年5期

如圖1所示，在 Δ A B C 三邊上向外分別作等邊三角形 Δ A B D ， Δ B C E ， Δ C A F ，則即為等邊三角形.這個幾何定理最早是由法國著名軍事家拿破侖提出的，故稱為拿破侖定理，其中等邊三角形稱為拿破侖三角形[1].本文從構造相似、余弦定理計算三邊長、四點共圓、旋轉構造全等及旋轉構造相似等五方面論證該定理，并從論證過程中，充分感受到定理的巧妙結構和數形美感

果為輪換對稱式意義下的定值，故和也等于該定值，從而，所以為等邊三角形。

證法一（構造相似計算線段比例）如圖2所示，分別連接所做正三角形的外心與其正三角形的三個頂點，再連接 D C 和，則 Δ D A C ？ Δ B A F ，所以 B F = D C . 由，為等邊三角形 Δ A B D ，Δ A C F 的外心可得，又，所以p ，故又注意到，所以，故： V

證法三（利用四點共圓的性質）如圖4所示，做 Δ A B D ，Δ A C F 的外接圓，兩圓交于兩點，連接，由，和 A ， O ， C ， F 分別四點共圓得 ∠ A O B = ，，所以，又因為，所

以點 o 也在 Δ B C E 的外接圓上.又由，可得為線段的垂直平分線，同理為線段 B O 的垂直平分線，所以，又注意到，所以，采用同樣的方法，可得另外兩個角也為，所以為等邊三角形.

，所以，故 DC.綜上，得，即為等邊三角形。

證法四（利用旋轉構造全等）如圖5所示，連接，將繞點順時針旋轉得到，由六邊形內 1角和為可得六邊形六個內角和為，且 E ，圖5 都為，則（20 ，又因為，且，所以，又由，可得，所以，又因為，所以可得，則 1 + ，故，采用同樣的方法可得另外兩個角也為，所以為等邊三角形.

證法二（利用余弦定理計算邊長）如圖3所示，連接，設Δ A B C 的三條邊長分別為，面積為 s ，則，再由余弦定理可知（20 （20號 1 此結證法五（構造圓，得到旋轉相似）如圖6所示，分別以點為圓心，線段為半徑作圓，設兩圓交于點M ，連接因為所以，Δ A B C ，且點 B 為公共點，所以與

Δ A B C 旋轉相似，旋轉角為，所以，則，所以為等邊三角形，故，又 = ，所以，故，采用同樣的方法，可得，故，所以為等邊三角形.

上述幾種證明方法充分應用了中學平面幾何知識證明，在上述我們發現還有一些與拿破侖定理相關的一些結論.

推論1對任意一個 Δ A B C ，分別以 A B ， B C ， A C 為邊，向其內部分別做等邊三角形 Δ A B D ， Δ B C F Δ A C E ，設為這三個等邊三角形的中心，則為等邊三角形。

證法一（構造相似計算線段比例）如圖7所示， Δ A B D ， Δ B C F 都是等邊三角形，得（2 又因為（20

，所以，故～ Δ D B C ，則 DC.同理，△A0，O 再同理得 Δ F C A ，則又 Δ B A F ？ Δ D B C ，所以

A F = D C ，所以 =√DC，故002=00 = ，所以是等邊三角形

證法二（利用

余弦定理計算邊長）

如圖8所示，根據 BO2 山

= = BC 3’

∠OBO2= ∠OBD -

∠O2BD = 30° 1

∠O2BD，∠DBC =

∠OBC- ∠OBD =

，所以

若設 Δ A B C 的三條邊長分別為，面積為 s ，則，又，所以根據余弦定理得此結果為輪換對稱式，同理計算得和均為上述結果，故，所以為等邊三角形

推論2對任意三角形，其外拿破侖三角形的面積與內拿破侖三角形的面積之差等于原三角形的面積.

證明設分別為該三角形內外拿破侖三角形的面積，則（20號，所以，即外拿破侖三角形的面積與內拿破侖三角形的面積之差等于原三角形的面積。

由于拿破侖定理具有精巧的構圖和豐富的性質，數學競賽及中高考的模擬測試中時常出現

例1（2021年深圳市高三調研）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點.”已知 Δ A B C 內接于單位圓，以 B C ，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為若，則面