破解一道以矩陣范數為背景的創新壓軸題 福建省龍海第二中學 （363199)

1.試題呈現

題目 （2024年廣東省一模第19題）數值線性代數又稱矩陣計算，是計算數學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面面量 ，其模定義為 ．類似地，對于 n 行 n 列的矩陣

其模可由向量模拓展為 （其中 為矩陣中第 i 行第 j 列的數， Σ 為求和符號），記作 ，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼斯范數．例如對于矩陣 其矩陣模 （∑∑2）2=√22+42+32+52=3√6.弗羅貝尼斯范數在機器學習等前沿領域有重要的應用.

（1） . n ？ 3 ，矩陣

求使

的 n 的最小值；

（2） ，矩陣 =

求 ；

（3）矩陣

該題表述繁雜，由于學生對矩陣這個新背景不熟悉，敘述又不易理解，因此此題的得分極低.如果學生理解了試題中關鍵的信息：對于平面面量 ，其模定義為 ．對于 n 行n 列的矩陣的向量模拓展為 （其中 為矩陣中第i行第 j 列的數， Σ 為求和符號），以及矩陣 的矩陣模 這些例子已經很清楚的表達了矩陣模的定義.除去所謂矩陣，范數這些概念，此題就是一個不折不扣的數列求和問題了.因此，理解題意后第1小題特別簡單，本文主要分析第二題和第三題的各種解法.

2.解法探究

第（1）小題的求解 由題得 若 ，則 ，即 因式分解得 （ n - 9 ） （ n + 1 0 ） gt; 0 因為 ，所以 n gt; 9 . 所以使 的n 的最小值是10.

第（2）小題解法探究

解法1 （從對角線入手）由題得第1對角線上的平方和為

第2對角線上的平方和為 （204第 k 對角線上的平方和為 所以 （20 （ n - 2 ） + 1 = n . 所以

解法2（從行入手）

解法3（從列入手） 第1列所有元素的平方和為1；

第2列所有元素的平方和為 ：

第3列所有元素的平方和為

第 k 列所有元素的平方和為 所以 ，

第（3）小題解法探究

根據第2小題的方法可求得：第一行各數的平方和為ln+2；

第二行各數的平方和為

第 n 行各數的平方和為 + 因此，證明 等價于證ln2

注意到左側求和式 （204號 將右側含有 n 的表達式表

示為求和式

，故只需證 ln2η+2n+1

成立，即證 ？ n ？ 1 （24

成立.

令x 則需證 （20 成立.記 （20則 在 上恒成立，所以 f （ x ） 在 上單調遞增，所以 f （ x ） gt; ，所以 雞在 上恒成立，即lnη+2 成立，所以原不等式成立

注上述證明中用到的不等式放縮 "+1，即ln（1+x）gt; 利用此不等式亦可證x+1得 累加可得 。