立足本質 揭示內涵 提升素養

曲線系方程是解析幾何中一個重要內容，它不僅涉及到曲線的幾何性質，也體現了變換思想和整體處理的解題策略.在目前的高中數學教材中，明確提出的曲線系只有共交點的直線系，其他的曲線系（平行直線系、垂直直線系、共交點的圓系等）雖沒有直接呈現，但在習題中都有涉及.因此曲線系方程的教學是很有必要的.然而，關于曲線系方程的資料通常都是直接告知曲線系方程的構建，應用中如何巧解、簡解，并沒有講清其中的緣由，導致學生理解起來有難度，不明所以，無法靈活應用。

任念兵認為，基于“運算”視角進行高中數學教學的中觀設計，注重數學內在邏輯、建構起數學知識之間的聯系，凸顯了數學學科研究方法和研究思路的重要價值，為學生的后續學習和長遠發展提供了知識準備和方法論支持，是在數學教學中謀求學生長期利益的有益探索.[］對于“共交點曲線系方程”的教學，筆者認為數學運算是構建曲線系方程的關鍵，因此整合教材及高考相關資源，從數學運算的視角設計一節高二微專題復習課“共交點曲線系方程的理解與應用”，幫助學生更好地掌握曲線系這一重要數學知識與方法，提高他們的數學素養及解決實際問題的能力是很重要的。

1.教學設計

1.1創境導學，感知共交點曲線系方程背景 請同學們嘗試求解例1.

例1求圓心在直線 x - y - 4 = 0 上，并且經過圓 與圓 的交點的圓 c 的方程師生活動：學生求解，教師展示學生的結果

生1：設圓 和圓 相交于點 由 得 （20號 .可得弦 A B 的垂直平分線方程為 x + y + 3 = 0

將 x + y + 3 = 0 與 x - y - 4 = 0 聯立，解得 所求圓心 c 的坐標是 故 ，則所求圓的方程為 - 3 2 = 0 .

問題1 以上的求解過程較為繁瑣，是否有更好的解法呢？

生2：由題意可設圓 的方程為 +λ（x2+y2+6y-28）=0，即x2+2+1+ 其圓心坐標是 因為圓心在直線 x - y - 4 = 0 上，所以 ，解得 λ = - 7 . 所以所求圓的方程為

設計意圖 本題為2019人教A版選擇性必修一P98習題2.5中綜合運用欄目第8題.通過本題讓學生感受到利用共交點曲線系方程求解問題的便捷性，并初步感知共交點曲線系方程的形式。

1.2 引領探究，抽象共交點曲線系方程特征

問題2對比解法一、解法二，我們可以感受解法二在解決問題上帶來的簡便.解法二的關鍵在于將經過圓 與圓 6 y - 2 8 = 0 的交點的圓 C 方程表示為 ，為什么可以這樣表示，你能說明其中的道理嗎？

預設：該方程可整理成形如 F = 0 ，因此可表示圓，同時交點坐標滿足該方程，故在該圓上。

問題3 你能給出一般性的結論嗎？即經過兩圓 和 交點的圓可以怎么表示？

預設 ： f （ x ， y ） + λ g （ x ， y ） = 0 . （2

追問1：是否可以表示經過交點的所有圓？如果不行，應如何表示所有圓的方程呢？

預設 ： f （ x ， y ） + λ g （ x ， y ） = 0 表示經過交點且不包含 的圓，如果是 λ f （ x ， y ） + g （ x ， y ） = 0 則不包含 ．若要包含 ，可以表示為 ，其中 λ ， μ 不同時為0.

追問2：若對任意的曲線 和 ： 不同時為0）是否也可以表示所有經過 與 交點的曲線呢？

預設：上述結論對任意的曲線都是成立的

問題4上述方程可以看作對曲線 方程進行“加法”，得到的方程表示過 公共點的曲線.那么作乘法運算會得到什么呢？例如（ 2 x - 3 y + 1 0 ） （ 3 x + 4 y - 2 ） = 0 ，該方程表示什么呢？

追問1：從代數的視角，也就是方程的形式上看，這是什么方程？

生：二元二次方程.

追問2：從幾何的視角，它表示的圖形是什么呢？

生：兩條直線（所有的點）。

追問3：也就是我們對任意的兩個曲線 的方程作乘法會得到什么圖形呢？

生：曲線 的全體（所有的點）。

問題5我們對曲線 的方程分別作“加法”“乘法”得到不同的方程，表示不同的圖形，你怎么理解這里的“加法”、“乘法”呢？

追問：圖形是點的集合，你可以從集合的角度去理解嗎？

設計意圖 通過對共交點的圓系方程的剖析，推廣到一般情形的共交點曲線系方程的構建，引導學生注意到方程的形式是兩種曲線方程“加”的結果，聯想到“乘”結果的意義，同時理解其本質是兩種曲線點集的運算，感悟特殊到一般的思維方式，培養聯系的觀點理解數學。

1.3 激發體悟，概括共交點曲線系方程要義

問題6在上述探究過程中，我們對兩條曲線 和 作不同的運算得到不同性質的曲線，你能歸納一下結論嗎？

預設：結論 不同時為 0 ） ？ 經過 與 交點的曲線的集合.

結論 與 上點的 集合.

問題7結論 ① 揭示了可以由兩條曲線來生成過它們公共點的所有曲線，這個結論與我們學過的哪個定理很相像呢？我們怎么理解這個結論呢？

預設：平面向量基本定理.要利用曲線系解決問題，要先找到生成曲線系的兩條“基曲線”。

預設：“加法” “交集”，“乘法” “并集”。

問題8 現在請同學們完成下表中常見二次曲線系方程的構建。

追問：若直線 與二次曲線 都有交點，則經過這些交點的二次曲線方程應如何表示？

預設：

設計意圖引導學生將探究的結果進行梳理，明確共交點曲線系方程的表達，意識到運算在構建曲線系中的重要性，通過追問深化學生對“加”“乘”運算的理解.在問題7中進一步引導學生將共交點曲線系方程與平面向量基本定理聯系起來，讓學生感受到建立曲線系方程的過程與平面向量問題是類似的，需要先找到兩條“基曲線”，為后面例2的求解做好鋪墊.通過例8的追問深化學生對“加”“乘”運算在構建曲線系方程過程中的作用.在這一過程中，學生的數學抽象素養得到了提升。

1.4 促使內化，辨析共交點曲線系方程內涵

例2求與圓 相切于點 P （ 3 ， 6 ） 且經過點 Q （ 5 ， 6 ） 的圓 的方程.

問題9 本題中有共交點的曲線嗎？兩條“基曲線”是哪兩條？

預設：角度1，切線與已知圓 共交點；角度2， 點圓 N 與圓 共交點.

因此可以得到如下兩種解法：

解法1與圓相切于點 P （ 3 ， 6 ） 的切線方程為 x + 2 y - 1 5 = 0 ，故可設所求的圓系方程為 - 8 y + 1 5 + λ （ x + 2 y - 1 5 ） = 0 ，將點 Q （ 5 ， 6 ） 代入得 ，故所求圓的方程是

解法2切點 P （ 3 ， 6 ） 在已知圓上，將它視為“點圓”： ，故建立圓系方程 將點 Q （ 5 ， 6 ） 的坐標代入方程，解得 λ = - 2 ，故所求的圓的方程為

設計意圖運用共交點曲線系方程解決問題的難點是確定“基曲線”.兩條中有一條是顯然的（已知圓），而另一條是隱藏的，學生需要根據圖形及對點的認知去確定另一條基曲線.通過本題引領學生體悟到具體的問題模型，明確共交點曲線系方程解決問題的步驟和關鍵點，培養數學建模素養。

1.5 引導應用，深化共交點曲線系方程理解

例3 （2014年高考全國大綱卷·理21節選）已知拋物線 的焦點為 F ，過 F 的直線 l 與c 相交于 兩點，若 A B 的垂直平分線 與 c 相交于 M ， N 兩點，且 A ， M ， B ， N 四點在同一圓上，求 l 的方程.

解析設 ，代人 ，得 ，所以 ，故 A B 的中點坐標 .于是 的方程為 y ，過 A ， M ， B ， N 四點的曲線可設為 為參數） .因為 A ， M ， B ， N N 四點在同一圓上，則方程 中不含 x y 的項，所以

綜上，直線 的方程為 x + y - 1 = 0 或 x - y -

問題10 你能從知識、思想和方法上談談你的收獲嗎？

設計意圖深化對“交點”引發的曲線系方程的理解，并引導學生梳理本節的知識、思想和方法，切實有效地培養學生數學運算、邏輯推理和數學建模等核心素養。

2.教學反思

2.1 把握本質，理解數學提出，數學教學要做到“三個理解”：理解數學，理解教學，理解學生，其中首要是理解數學.而要理解數學，核心就是把握數學本質.在教學中，教師應幫助學生厘清知識來龍去脈，深刻剖析概念內涵，準確理解數學思想，并科學認識數學方法.盡管曲線系方程的相關資料頗為豐富，但它們都忽略了對概念本質的闡釋.因此，本課題的教學重難點在于引導學生領悟曲線系方程的內在本質代數運算是發現數據中蘊含規律性的基本方法，更是構建客觀規律的關鍵途徑.曲線系方程本質上描述的是點集之間關系與運算，這種關系與運算在方程中以“加”“減”運算呈現.當學生能夠認識和理解到這一點時，那么在實際問題中就能夠根據問題的具體情境構建并應用適當的曲線系方程.通過這一過程，學生加深對數學運算意義的理解，感受數學運算的強大力量，消減數學運算的困惑，感受數學運算的成功體驗，積累數學運算活動經驗，增強數學運算的信心，發展數學運算能力，形成數學運算素養。

知識本不是孤立存在的，任何知識只有與其他相關知識處于廣泛的聯系中，它的價值和意義才能得到更好的體現.通過適當的聯想，能夠喚起學生對已學知識的加速認識，同時也能夠對未知內容通過現有的認知過程和經驗，類比推理出知識脈絡或解題思路，從而理清知識間的內在聯系.[2]當學生了解了共交點曲線系的生成方式，教師不應急于給出習題讓學生應用，應引導學生體會其生成的方式及形式，感受其內在邏輯.當學生聯想發現共交點曲線系與平面向量基本定理的邏輯相似性，就能深化對共交點曲線系的認知．一旦學生具備了這種“類比聯想”的數學思維，就能更好地掌握數學的內在聯系，深人領悟數學思想方法的價值.這樣，數學核心素養便能在課堂上真正生根發芽，學生在數學學習中才能獲得更深層次的理解和成長。

參考文獻

[1]任念兵.基于“運算”視角談數學教學的中觀設計[J].數學通報，2015，（12）：30-32.

[2]唐俊濤.數學聯想在課堂教學中的若干思考[J].中學教研（數學），2019（03）：4-7.