理解運算本質，破解解幾中的共弦問題

新高考背景下，培養學生的數學思想，促進核心素養的培養與發展，是新高考改革的重要目標.解幾何題的方法普遍“先用幾何眼光觀察與思考（幾何直觀），再用坐標法解決（數學抽象）”，其核心是發現幾何特征，再用代數表達.本文以一道高考解幾題的求解，從方程視角表達公共弦這一幾何特征角度，再利用方程思想研究幾何問題。

1.試題呈現

題目（2008年江蘇高考18題改編）在平面直角坐標系中，二次函數""的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為""，請問圓是否過某個定點（其坐標與無關）？請證明你的結論.

析解 如圖1，設圓""的方程為""D x + E y + F = 0 ，拋物線與 x 軸的交點橫坐標是方程""① 的解.

在圓的方程""（204號"中令y = 0 ，得"

"，因為""既在拋物線上又在圓上，所以方程① ② 是同解方程

通過對比系數得 D = 2 ， F = b ，又因為圓""經過點""，即""，解得""1），即圓""的方程為""0，由圓""過定點則可知關于 b 的方程"""有無數個解．則只需"求解方程組即可求出圓"

過定點（-2，1），（0，1）.

評注本題求解的關鍵是發現圖形中重要的幾何特征：“""是拋物線的弦同時也是圓""的弦”.從弦 A B 的位置關系來看，""兩點可以看為拋物線與 x 軸的交點，也可看作圓""與 x 軸的交點.轉化代數表達 ① ② ，分析得到 ① ② 是同解方程.

在上述的求解過程中，緊抓公共弦這個幾何特征進行分析，但弦 A B 的位置較為特殊，一般位置狀態下的弦能否也這樣研究呢？

2.變式拓展

變式如圖2，已知拋物線""的焦點為 F ， O 為坐標原點.過焦點 F 作斜率為 k = 1 的直線與 c 交于""兩點，求Δ A B O 的外接圓方程.

析解 常規方法是設圓的一般式并利用待定系數法求解，此時需要

求出""兩點的坐標.由題意易得直線 A B 的方程為y = x + 1 ：""兩點坐標的求解過程運算量較大，給解題帶來困難.此時不妨換個視角來分析，從方程的視角來分析求解

首先，分析幾何特征. A B 是 Δ A B O 的外接圓的弦， A B 是拋物線的弦，此時 A B 是拋物線與 Δ A B O 外接圓的公共弦

其次，幾何特征代數化.再將‘""在拋物線 上”進行代數轉化只需將直線與拋物線聯立方程即 可，由此可得方程""，將“""在圓 c 上”代數轉化只需將直線與圓 c 的方程聯立.

設圓""，由 o 在圓 C 上可知 F = 0 ，也即圓 C 的方程為""E y = 0 ，與直線方程聯立可得""

最后，分析兩方程的解.由于弦 A B 是公共弦，故"兩點的橫坐標""都是方程 ① 和方程 ② 的解.即方程 ① 和方程 ② 為同解方程，兩個同解二次方程在代數結構上滿足對應的系數成比例，即"""，解得"

由此求得圓的方程為"

3.拓展應用

例1 （2023年1月福建七市高三聯考）如圖3，雙曲線""x2=1的下焦點為F，過點 F 作直線 l 與 C 交于""兩點，若過點 A B 和點""的圓的圓心在 x 軸上，則直線 l 的斜率是

分析 利用圓心在 x 軸上，求出經過點

"和點""的圓的方程，但運算量大.轉換視角，聚焦分析公共弦 A B 線段""是雙曲線 c 的弦，也是外接圓""的弦.由題中的條件“圓""的圓心在軸上”便知道了圓心的位置，選用標準方程可求得圓""的方程為""為了從代數視角表達公共弦，可設直線 l 方程 y = k x - 2 ，只需要分別聯立直線與雙曲線，直線與圓分別得到關于x 的一元二次方程，從而得到兩個同解方程

解設直線 l 的方程 y = k x - 2 ，將直線與雙曲線聯立可得""消去 y 得""（20"因為圓""的圓心在 x 軸上，設圓心為 （ a ，0），則圓""的方程為""，又因為圓""過""，則""，所以圓""的方程為"""聯立直線與圓""的方程，消去 y 得""（204號

即方程 ① ② 是同解方程.通過對比系數"""，解得"

例2 如圖4，已知橢圓（""和 x 軸上一點 P （ 4 ，0），A，B是橢圓 c 上關于 x 軸對稱的任意兩個不同的點，連接 P B 交橢圓 c 于另外一點E ，求證：直線 A E 與 x 軸相交于定點。

分析該題并沒有出現\"公共弦”，是不是不能用同解方程來處理呢？其實公共弦反映的是弦的兩端點的橫坐標是方程的解，而由本題中的一個重要條件“""是橢圓中關于 x 軸的對稱點”可知點""的橫坐標相同，即弦""的橫坐標相同，因此，分別將直線""與橢圓聯立方程得到兩個關于 x 的一元二次方程，即這兩個方程是同解方程

證明 設""，設直線 A E 的方程為""，聯立方程"消去 y 得"""所以""是方程 ① 的兩根.設直線 P B 方程為""，聯立方程"消去 y 得"""可知""也是方程 ② 的兩根，所以方程""是同解方程．所以"""解得 m = 1 或 m = 4 （舍去）.故直線 A E 與 x 軸相交于定點（1，0）.

評注本題求解中運用了方程思想解決圓錐曲線中一類多動點問題，其關鍵是關注有強相關關于軸對稱的兩個動點，從中發現兩個點的橫坐標相同，從而通過構造關于這兩點的橫坐標同解的兩個一元二次方程便可輕松地解決此類問題。