教學設計應把握學生自主學習的課堂主體

數學課堂教學如何凸現學生自主學習的主體地位一直是教師關注的重要目標.“平面向量基本定理”是平面向量模塊的關鍵一課，本文筆者就這節課開展了教學設計研究，現將設計整理如下，旨在與同行交流。

1.教學分析

1.1 教材分析

本節課是人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數學》（必修第二冊）第六章《平面向量及其應用》中的第三小節“6.3平面向量基本定理及坐標表示”中的第一課時，是該單元的開篇內容.作為平面向量模塊知識中的核心內容之一，平面向量基本定理是用代數的方法（坐標法）研究平面向量的基礎之一，為體現向量的工其性作用（向量是溝通幾何、代數、三角函數等內容的橋梁）提供了有力保證。

該節課是在前面平面向量的基本概念與基本運算的基礎上，通過平面向量基本定理，合理引入與之相關的平面直角坐標系，進而給平面向量的坐標表示與相關的運算提供理論基礎，也為后面的其他綜合應用等創造條件。

1.2 內容本質

平面向量基本定理的本質是兩相交直線確定一個平面的向量表示，它是用向量對平面的一種定性刻畫.平面內的基底是無窮多的，任意兩不共線的向量都可以作為一組基底，即平面內的給定的向量可以用不同的基底來線性表示，既然這樣，我們可以選取較特殊的基底，互相垂直的向量作為正交基底，這樣就得到向量的正交分解；再進一步特殊化，合理選取兩個互相垂直的單位向量，作為一組基底（此時往往稱為單位正交基底），就與平面直角坐標系合理進行聯系，進而在坐標系中來全面研究和表示向量.在直角坐標系中取與坐標軸方向一致的單位正交基底，任一向量用單位正交基底進行分解之后再簡寫，就得出了向量的坐標，因此，向量的坐標其本質上是向量在兩坐標軸方向上的分量之和的簡寫形式。

有了向量的坐標表示，前面所學習的向量加、減、數乘以及數量積均可以用坐標來表示，其本質還是向量的運算，只是將向量分解成兩坐標軸方向上的分量再進行運算。

1.3 學情分析

在平面中，對于給定的向量和給定的一組基底，向量用基底表示是唯一的.這種唯一性對學生來說理解起來是有困難的.體現在兩個方法，一是直觀地畫出圖形來驗證；二是通過反證法來證明.前者是操作上的，后者是思維上的.這兩方面均是學生薄弱之處，特殊是反證法，學生接觸的不多，用的也較少。

1.4 知識關系

平面向量基本定理的上位知識是向量的加法和共線向量定理.共線向量定理由“一維”空間進行延伸和擴展到“二維”空間就得到了平面向量基本定理，如果再進一步擴展到“三維”空間就得到空間向量基本定理，這在后面的空間向量里會學習到.把平面向量基本定理放在空間里來看其實就是共面向量定理.另外，平面向量基本定理可以看作是向量的分解，它與向量的加法是互逆的。

1.5 思想方法

類比共線向量定理來研究平面向量基本定理，課本中涉及了類比思想，這是研究問題的一種重要思想方法.由基底的多樣性，選取特殊的基底一正交基底，再進一步特殊化，選取與坐標軸同方向的單位正交基底，得出向量的坐標表示，這種研究問題的方式是用到了一般到特殊的思想.另外，向量離不開幾何表示，因此數形結合思想在本課時以及本單元的學習中貫穿始終。

1.6 育人價值

平面向量基本定理可以看成是物理中力的分解的數學抽象，選取單位正交基底，相當于是物理中的力的正交分解.從具體事例抽象出數學問題，可以培養學生的數學抽象素養.平面向量基本定理，以及接下來要學習的向量的坐標表示以及向量運算的坐標表示均涉及幾何意義，涉及數與形的結合，這些內容均能培養學生的直觀想象素養.本課時以及本單元中涉及較多的運算和證明，可有效提升學生的邏輯推理與數學運算素養。

1.7 教學目標

（1）理解平面向量基本定理及其意義；

（2）會利用平面向量基本定理解決簡單的平面幾何問題.

1.8 重點難點

（1）課時教學重點：平面向量基本定理，定理的發現和證明過程（2）課時教學難點：平面向量基本定理的發現過程及對定理的證明。

2.教學過程

2.1 自主學習，檢測糾誤

（1）認真自學課本 的內容，記住本小節的相關概念；

（2）自學檢測糾誤：教科書第27頁練習第1，2，3題.

練習：教科書第27頁練習第1，2，3題（見教材相關題目，這里略）。

師生活動：學生獨立完成，小組代表板書進行展示作為課堂前測，科班長點評黑板抽測學生的預習結果，每組的小組長負責檢查小組組員的預習結果。

設計意圖 通過必修第二冊教材27頁的3道練習，理解并能對平面向量基本定理進行應用，達到鞏固內化的效果。

2.2 合作學習，建構新知

合理引入：向量數乘運算刻畫了共線向量間的關系，也反映了數與形的結合.而基于共線向量定理，其研究的是“一維”空間上向量之間的共線關系.那么對于“二維”平面中向量之間的共面關系又會是怎樣的一種情景呢？

問題1 如圖1，對于力 F 的分解，可以有多種情況；對于向量 的分解呢？

師生活動：學生合理類比，以及知識的回憶、觀察、討論、板書，啟發學生以力的分解為背景，引出向量的分解，分組講解。

設計意圖 從學生熟悉的物理背景引入向量的分解，激發學生學習的主動性

問題2 （教材第25頁探究欄目內容）如圖2，圖3所示.

師生活動：教師合理引導學生分小組進行觀察、思考、討論，并在此基礎上加以操作、嘗試、探究，教師巡視、指導，分小組討論后由小組代表展示。

預設答案：若 與 都不共線，存在實數 ，使

追問1：如果向量 是這一平面內與 中的某一個向量共線的非零向量，你能用 表示 嗎？

追問2：在追問1條件下， 是零向量呢？

預設答案：若 與 （或 ）共線，存在實數 ， ，且 （或 ），使 中

特別地，若 ，存在 ，使

綜上所述，當 不共線時，平面內任一向量 都能用向量 表示.

設計意圖 讓學生思考、操作、交流，探究平面上向量的關系。

問題3以上問題中，由一個向量與兩個不共線向量之間的線性表示形式是唯一的嗎？

師生活動：學生思考、交流小組通過討論得到，假設這種表示形式不唯一，即 還可以表示為 的形式，那么 由向量 不共線，設法證明 .小組討論講解，學生嘗試證明，教師評價.

問題4 請歸納總結得出平面向量的基本定理

平面向量基本定理如果 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ，使

同時給出基底的概念等。

師生活動：學生歸納，教師補充引導

2.3深度學習，啟發精講

例1（教材第26頁例1）如圖4， 不共線，且 ，用0A， 表示

師生活動：先由學生分小

組以及各個嘗試獨立來表示，圖4

教師加以視察并個別指導，交

通過小組交流、反饋，結合教師點評來綜合與應用。

追問：觀察例1的結論 你可以從中發現什么？

師生活動：教師引導學生從實例的結論出現，并結合圖形加以直觀想象，得到進一步的結論：我們還發現了一種證明三點共線的方法，即如果 ，則 三點共線的充要條件為 m + ：

設計意圖 該例題也是定比分點公式的向量形式，其是平面向量的基本定理的一個重要推廣性結論.

例2（教材第26頁例2）如圖5，CD是 Δ A B C 的中線， ，用向量方法證明 Δ A B C 是直角三角形.

師生活動：學生獨立思

考，探尋解決問題的思考的思路，以及相應的解題思路的合理分解與應用.學生在黑板上寫出證明過程，師生共同完善，規范書寫。

設計意圖 通過本例題，引導學生構建平面幾何、平面向量之間的聯系，以及借助平面向量的線性運算來實現平面幾何問題中的證明與應用問題。

2.4 歸納總結，反思提升

設置如下問題加以系統分析：

（1）請敘述平面向量基本定理，并指出定理中的關鍵點與注意點.（2）請敘述平面向量基本定理與共線向量基本定理的關系.（3）說明平面向量基本定理的作用.師生活動：適當提問學生來回憶、歸納、總結，教師適當概括和優化學生的回答，達到突出重點的目的。

設計意圖 以提綱的形式幫助學生梳理平面向量基本定理的定理探究過程，感悟數形結合、數學抽象、邏輯推理等基本數學思想的應用。

2.5 課堂檢測，知識內化

檢測內容：必修第二冊教材P36頁習題6.3第1，11 題。

設計意圖 通過課堂檢測環節，強化學生對于本節課知識內容的掌握情況，將知識的學習落到實處，切實培養學生知識的內化與應用能力。

布置作業：必修第二冊教材 P 6 0 頁復習參考題6第3，16題。

3.教學反思

3.1 思維升華，能力提升

在教學流程中，我們以“向量數乘運算刻畫了共線向量間的關系，也反映了數與形的結合.而共線向量定理給我們研究向量共線帶來了極大的方便，那么共線向量定理能不能推廣的平面上呢？”作為引人，實際操作中發現學生對向量之間關系的認識從“一維”層面過渡到“二維”層面有一定難度，教師應給予學生更多的獨立思考時間，幫助學生實現“一維”到“二維”層級的躍遷。

3.2 數學語言，嚴謹表達

在教學流程中，對于相關問題：請歸納總結得出平面向量的基本定理.學生規范的數學語言表達有所欠缺，對于“不共線”、“任一”、“有且只有”等數學專用語存在一些認知上的障礙，嘗試歸納不能表達清晰與全面.日常的教學中應關注學生對準確數學語言的表述與理解，全力培養學生會用數學眼光來合理看待世界，會用數學的思維來針對思考世界，會用數學語言來合理表達世界等方面的能力。