把握學習線索，讓“教”與“學”更契合“小數乘整數”教學實踐與思考

“小數乘整數”是蘇教版數學五年級上冊“小數乘法”單元的起始課，其算理理解與算法建構的過程具有“承上啟下”的作用。多次的教學嘗試，引發了筆者對于設計貼合兒童思維學習活動的深入思考。具體來說，筆者對如何把握學生的學習起點與教學線索，優化認知過程；怎樣組織呈現學習內容，豐富學生課堂認知方式；如何理解學生的“學”，改進教師的“教”等問題有了進一步的思考。

一、第一次教學：除了“會算”，還留下了什么呢

師：前兩個星期，我們認識了小數，會進行小數加、減法的計算，大家通過自主研究學得很好。今天這節課，我們的學習目標是能獨立進行小數乘整數的小數乘法計算。（板書課題：小數乘整數）請同學們閱讀教材 頁相關內容，了解小數乘整數的計算，試著總結一下計算方法，并完成相應的試一試與練一練，可借助計算器，幫助進行計算方法的研究，如果有問題，可以將問題記錄下來，等下集中解決。

教師明確學習內容與目標，進行簡單的學習指導后，學生進入自學狀態。（時間約12分鐘）

師：在閱讀研究中，你們了解到了什么？小數乘整數怎樣計算？

大部分學生低頭不語。

師：這些計算大家都會計算嗎？是怎樣計算的？比如， 0.8×3 等于？

生1：我把8乘3等于24，再點一位小數，就是2.4。

生2：我是和書上想的一樣的，把0.8元換成8角進行計算，24角就是2.4元。

師：豎式如何列呢？

（教師在黑板上板書）

師： 2.35×3 又如何列豎式計算呢？

（教師呈現學生列出的豎式）

生1：老師，我還是不明白，為什么這個3要對著5？

生2：把2.35當作235計算，最后只要點上小數點就可以了。

……

【問題分析】

“以學定教”，很明顯，教師的基本認識停止于“先學后教”這一層次。在這堂計算課上，教師想通過讓學生先自學，在初步理解算法、算理的基礎上，借助問題引領，推動師生互動理答，進而抽象算法，并在應用中將算法的構造過程進行深入理解。這一過程體現方法，著力于學生與學生、學生與書本的互動，在學習交往中“創造”，算理由學生自主“建構”。

這節課的前20分鐘僅“走過場”地解決了計算的“形式”問題，即會模仿著“算”，可對于“為什么這樣算、為什么豎式這樣列”等關于算理與算法的核心問題，并沒有結合學習現狀進行針對性理答與交互分析。因此，對于大多數學生而言，算理是缺失的，算法建構的過程與結論是模糊的，“甚至會造成一種自主學習外衣包裹下的機械學習”。

“直觀算理，抽象算法”是計算教學的核心，如何融合、如何順應學生的思維認知呢？帶著疑惑與思考，筆者對學生進行了訪談，學生的回答著實讓筆者吃了一驚：“今天突然完全放手讓我們自學閱讀然后練習，其實我在家里就會算了，不用看書。你問為什么 ，我就不知道怎樣回答了。因為 0.8×3 太簡單?！薄翱磿喿x我在家里就做過了，感覺很簡單的呀，沒什么好學的?！薄翱戳藭系呢Q式我是懂的，但是讓我獨立算 2.35×12 ，還真有點困難，再往后你要我們計算其他的題目，我就有點兒怕，怕錯了?！惫P者分析學生的回答，再細細地品味這一次“失敗”的“以學定教”，至少在三個方面值得思考：

一是教師要關注學生原有的學習經驗及認知水平。僅是讓學生自學，而非在激活原有經驗之上，施以必須的引領，這樣的“學”與“教”必然是割裂的。“學”變相成了教師單向傳授知識的方式，忽視了基于學生學情的“教”，只能讓學生在原地踏步，無法真正觸及數學本質。

二是要借助內容，幫助學生經歷豐富的、有挑戰的學習過程。從概念形成的角度分析，“精加工”與“組織”過程是本節課的核心，即如何打通小數乘法與整數乘法的聯系，初步建構小數乘法的算法。經歷由具體問題分析進而實現算法抽象的過程，這一過程實質是認知建構的個性化過程，“算理”理解的背后是對數學定理思維、計算推理能力的培養。小數乘法計算在數感、推理能力、運算能力的形成過程中處于節點處，從整體上看，它是溝通整數、小數、分數的連接點；從局部上看，小數乘整數是后續算法類比、遷移的基礎。因此，學生不僅要會計算、知算理，更要在創算法、找聯系中強化結構化認知傾向，提升學習能力，而這個核心過程需要教師針對學習過程展開適切的類比推理活動。

三是“以學定教”既要注重“如何教”，更要注重“如何學”。如果問的僅僅是知識、計算方法，那教的肯定是重復性的技能，“學”也就簡單化了，“教”也必將弱化。問的關鍵是促進深層次的思考，問的核心在于激發學生進一步探索的興趣、找到新的思維突破口，以期完善對概念及概念域的理解與把握，這樣方能推動學生在“學”的基礎上思考。因此，推動學生課堂學習真正發生的關鍵在于：一是“學”要真正發生，經歷過程，深度思考；二是“教”要引領問題導向，發掘更深層次的思考。

二、再次嘗試：讓學生的認知、思維可視化

（一）問題分析

（1）超市里一塊橡皮0.8元，如果買3塊這樣的橡皮需要多少元？你能計算出結果嗎？請將自己的思考過程記錄下來。想一想，解決這個問題，你需要用到哪些已學過的知識？

（元）

②0.8×3=2.4 （元）（部分學生0.8元 角8角 ×3=24 角 =2.4 元

③0.8×3=2.4 （元）

【分析】學生計算情況見表1。

（2）計算 2.35×12 ，你會計算嗎？試著將豎式寫下來。想一想，自己最大的困難是什么？

【分析】本題是純數學計算問題，目的是了解原有的計算方法（整數乘法等）對較復雜計算的影響，找到學生在算法構造上的困難。分析學生寫出的豎式，可以看出，學生對小數乘整數的運算從心理認可、認知遷移層面都非常明顯地受到已有經驗的影響：小數點需要對齊，乘得的結果要和原來結果一致，等等。小數乘法的算法構造無法突破原有的計算經驗，無法生成新的算法。

（二）突破點分析

通過以上課前了解，大致可以看出學生在小數乘整數（小數乘法起始）時原有的思維狀態：一是學生能主動借助原有運算經驗解決新問題（乘法）；二是原有算法對學生小數乘法算法構造與算理理解形成較強的認知遷移，學生沒有聯系數據本身的特點及積的變化規律來分析問題的意識?；谏鲜龇治觯竟澱n的核心是要引導學生在計算中自主意識到小數乘整數算法建立的背景，從而以形式為切入口轉到算理的分析，進而進行算法的模型建構，為后面的數學運算學習提供思維方式和心理基礎。也就是，（1）依托加法計算模型、口算經驗遷移，從形式上看出變化（小數點需要點在哪里）；（2）通過現象理解本質，教師引導學生思考：為什么小數點要這樣點；（3）分析算理，打通知識與知識之間的內在聯系，進行簡單的演繹推理，自主建構新算法，理清新算理。

（三）學習過程重建

[片段設計一]：借助計算器，直觀引入

師：我們已經會計算整數乘、除法，今天我們要來研究小數乘法。課前，同學們試著計算了兩道題，大家都用自已的方法解決了。小數乘法還沒學，下面的幾個計算，你們能先試著估一估結果是多少嗎？想一想是怎樣估計的。

【設計意圖】調用學生的已有經驗，讓學生在多樣的估計中感知小數乘整數結果的范圍，對結果有整體感知，提升數感，并對后續計算驗證進行補充與調整。

師：下面的三個計算題，先估一估，再用計算器計算一下，記錄結果，看一看積是多少，它與因數有什么關系？

4.76×12 2.8×53 103×0.25

問題：積與因數有什么關系？快速答題：

根據 148×23=3404 ，直接寫出下面各題的積。

思考：你能得出一個怎樣的結論？能試著解釋一下這個結論嗎？

【設計意圖】基于學生的先前經驗，可以讓學生在計算中直觀體驗，感受小數乘法與整數乘法的聯系與區別，感悟處理好小數點的位置是解決小數乘法的關鍵。

[片段設計二]：情境理解，提升經驗

師：如圖1，夏天買3千克西瓜要多少元？你能結合剛才的思考得出結果嗎？把自已的想法記錄下來，試著與同桌進行交流。

教師呈現學生的兩種解題過程，聚焦豎式（圖2）：

（1）提問：要24元，還是2.4元？你能運用剛才的經驗分析一下嗎？

學生明確：0.8乘3，結果應該是個一位小數。

（2）結合情境理解：運用計算器計算，我們獲得了一些初步的經驗，積應該是一位小數?，F在觀察算式，結合這里的單位，你知道為什么需要點一位小數嗎？可以怎樣來理解？

教師與學生共同研究，并在過程中指導學生切入“角”與“元”兩個單位。

引導發現：

① 如果豎式（圖3）24角 =2.4 （元），與圖2比較，你能明白嗎？

② 你能用完整的語言將自己的方法表達出來嗎？

（3）如果是 0.08×3 ，又該怎樣列出豎式？怎樣分析呢？

【設計意圖】將前兩組豎式進行橫向對比分析，突出經驗的遷移；后兩組豎式縱向對比，從而異中求同，突出算理的直觀化理解：都是先求出 8×3=24 ，由于是“角”轉換成“元”，因此將其表現為2.4元，這個過程也可以在豎式中進行簡化。如此，借助具體的情境，將學生的生活經驗進行初步數學抽象。

[片段設計三]對比分析，弄清算理

問題：如果另一種規格的西瓜每千克2.35元，買12千克共需多少元？

教師巡視學生的解答情況，并展示其中比較典型的兩種豎式（圖4）。

第一層次：明確每一步小數點的位置

師（提問）：兩種豎式計算中，每一步上都出現了小數點，結合剛才“角”與“元”的轉換，你認為哪一種是合理的。

學生結合前面的經驗，理解：兩位小數乘一個整數，積是一個兩位小數。這樣，豎式中每一步中的積都是兩位小數。

第二層次：明確點幾位小數

師（提問）：如圖5，最后2820中，積的小數點點在哪里呢？你是怎樣想的？

學生進行知識正遷移理解：積是一個兩位小數。

師（小結）：一個兩位小數乘一個整數，每一步的積都是兩位小數，這樣最終的積也是一個兩位小數。

第三層次：聯系比較，構造算法

師（提問）：你能結合上面的兩題，試著說一說小數乘整數可以怎樣計算嗎？

練習：呈現四組豎式（圖6），觀察并嘗試計算。

練習并思考： ① 每一步積的小數點在哪里？最后積是一個幾位小數？ ② 兩步計算的小數乘整數豎式，確定小數位數時，有學生是這樣的（圖7，省略了過程中的小數點），你們明白他的想法嗎？學生在分析中理解：在分步計算中，小數點是可以省略的，根據因數的小數位數就可確定積的小數位數。

……

三、實踐思考

（一）讓學生經歷知識學習的過程，教師要把握學習線索，整體表征知識內涵

教師面對的不是“抽象”的學生，而是一群具有活力的“具體”學生。用“教”喚醒學生的“學”，需要對具體教學內容的數學實質有準確的認識，把握好學生學習線索與心理特點，使學習活動貼合學生的現有經驗，定向引領學生向可能的思維發展狀態轉變。同時，數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，從不同角度加以分析、從不同層次進行理解。教師需要對學生的認知有較全面的理解，包括先前經驗、學習困難點、探究生長點等，雙向溝通以學科體系為線索的知識邏輯結構，和以學生學習為線索的過程邏輯結構，進而促進學生思維從“平面”向“立體”轉化。如此，學習內容的精選與過程的結構化設計是“以學定教”的基礎。

（二）為學生研究預設學習支點，教師要豐富活動路徑，凸顯內隱思維方式

“以學定教”的“教”不再是“講授”，而是給予思維的方向，引發深度的數學思考。比如，本課中對于“如何點積的小數點”的道理，就需要教師有意識地引導學生聚焦核心問題，通過不同的提問方式啟發思考，幫助學生從多維度經歷動手操作思維到建立表象思維再到逐步形成抽象思維的過程，豐富活動的經驗。此時，高效的啟發方式或有效的資源可統稱為“學習支點”。正如G · 波利亞在《如何解題》中指出的，“教師要順乎自然地幫助學生，應該努力去理解學生的心里想什么，提出一個問題或指出一個步驟，謹慎地、不露痕跡地幫助學生?！?/p>

（三）促學生學習反省建構，教師要推動多維互動，實現意義結構關聯

美國教育心理學家加涅認為，認知策略是一種非常特殊的智慧技能。其中，認知經驗與認知方法是個體認知策略的極其重要內容?！耙詫W定教”，引發的深層次思維就是數學思想方法與活動經驗。智慧技能的形成，除了單個“樣例”的學習，更重要的是多樣化的應用。教師需要利用問題與矛盾，不斷深化學生對知識的理解，突出其數學本質。經驗的抽象就是從知識掌握到數學能力形成和發展的中間環節，而教師要做的就是通過多維互動，幫助學生在回顧中反省。

一堂失敗的計算教學課，是對教師自我認知的再次反思。通過訪談與再設計，筆者對“以學定教”中“學”與“教”、“定”與“變”有了更全面的思考。課前，教師要準確解讀教材，對學生的現狀有充分的了解，精心預設課堂生成。如果進行開放教學設計，可以讓不同層次的學生都能參與教學活動，以生成豐富的資源；如果課堂上形成積極的師生互動，要為學生留有獨立思考和合作學習的時間；如果進行即時交互反饋，可動態實施資源捕捉、整合、調整，學生的學習必將呈現動態化的提升，學生將有意識進行學習的反思、總結，這時的“學”才真正具有生命價值與活力。

【參考文獻】

[1]顧冷沅，官芹芳．以學定教的課堂轉型[J].上海教育，2011（7）.

[2]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[3]G·波利亞.如何解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007.