新高考背景下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的應(yīng)然追求、 實然樣態(tài)與使然路向

【摘 要】新高考背景下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，瞄準(zhǔn)“四基”、提升“四能”，并著力加強高階思維的培養(yǎng)。當(dāng)前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在著計劃性不強、關(guān)注學(xué)生不夠、教學(xué)過程失策等問題。新高考背景下的解題教學(xué)，應(yīng)立足方法論原理的研究，明確教學(xué)重點；立足學(xué)生元認(rèn)知發(fā)展，合理策劃教學(xué)進(jìn)程；立足高階思維培養(yǎng)，建構(gòu)“4F”教學(xué)模式。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題教學(xué)；元認(rèn)知；方法論；高階思維；新高考

【中圖分類號】G633.3" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2025）07-0007-05

【作者簡介】1.段志貴，鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院（江蘇鹽城，224002）教授，碩士生導(dǎo)師；2.曹雨花，南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院（南京，210023）碩士研究生。

新高考背景下的數(shù)學(xué)考試，在選拔人才中具有特殊的地位和作用，其試題歷來為大眾關(guān)注。改變試卷結(jié)構(gòu)，減少試題數(shù)量，降低計算量，創(chuàng)新試題設(shè)計，加強思維考查以及“反套路”“反二級結(jié)論”等導(dǎo)向，持續(xù)向中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)釋放信號，希望改變以練代講的教學(xué)模式，重視基礎(chǔ)概念教學(xué)，降低學(xué)生反復(fù)、低效刷題的負(fù)擔(dān)。［1］數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要活動之一。聚焦新高考的解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注新高考評價要求，力戒教學(xué)誤區(qū)。那么，當(dāng)前數(shù)學(xué)解題教學(xué)究竟應(yīng)該怎樣取向，存在哪些問題，又如何實現(xiàn)解題教學(xué)方式方法變革呢？

一、新高考背景下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的應(yīng)然追求

回顧十余年來的高考數(shù)學(xué)命題改革歷程，不難發(fā)現(xiàn)新高考越來越注重對學(xué)生核心素養(yǎng)的考核，關(guān)注學(xué)生的能力培養(yǎng)和綜合素質(zhì)的提高，引領(lǐng)中小學(xué)教育教學(xué)改革的導(dǎo)向作用也越發(fā)顯著。顯而易見，為適應(yīng)新高考改革形勢，數(shù)學(xué)解題教學(xué)也應(yīng)轉(zhuǎn)變觀念，明確育人目標(biāo)，注重應(yīng)然取向。

1.以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，更是每門學(xué)科高考的中心內(nèi)容。數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性等特征，加之高考數(shù)學(xué)考試內(nèi)容的綜合性、開放性、挑戰(zhàn)性，決定了數(shù)學(xué)是高考各學(xué)科中最容易拉開差距的一門學(xué)科。近幾年來的新高考數(shù)學(xué)聚集創(chuàng)新人才選拔，強調(diào)靈活性，突出對思維的考查，區(qū)分度顯著。基于這一現(xiàn)實，數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)以夯實基礎(chǔ)知識為本，加強關(guān)鍵能力培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會一題多解、一題多變，勤于反思，及時總結(jié)，著力發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)。與此同時，在解題教學(xué)中還要啟迪學(xué)生學(xué)會思考、理性思維、積極探究，增強挑戰(zhàn)自我、征服困難的信心，著力培養(yǎng)勇于批判、敢于創(chuàng)新、堅韌不拔的意志品質(zhì)。

2.以培養(yǎng)高階思維為重點

所謂高階思維主要是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動或認(rèn)知能力。與低級思維相比，高階思維具有目的性、針對性、挑戰(zhàn)性等特點。近幾年的新高考數(shù)學(xué)試題，無論在試題情境的豐富性、內(nèi)容的靈活性、方法的多樣性以及選項和設(shè)問的層次性上，都體現(xiàn)著對高階思維品質(zhì)的考查。為此，解題教學(xué)一定要大力培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。在解題路徑的探索過程中，不但要讓學(xué)生知其然，更要知其所以然；不但要知其然，還要知其何以知其然，從中學(xué)會選擇方法，學(xué)以致用，融會貫通，直至能夠創(chuàng)新創(chuàng)造。

3.以加強“三性”教學(xué)為抓手

所謂“三性”指的是教育部在《關(guān)于做好2024年普通高校招生工作的通知》中提出的 “增強試題的應(yīng)用性、探究性、開放性”要求。“三性”是高考重思維、重創(chuàng)新、考能力、考素養(yǎng)在數(shù)學(xué)試題中的具體落實，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和考查學(xué)生問題解決能力的重要指標(biāo)。它們既相互獨立，也彼此關(guān)聯(lián)，時常會在同一道試題求解的過程中交互運用。數(shù)學(xué)解題教學(xué)既要重視夯實“四基”，更要加強學(xué)生問題解的能力培養(yǎng)，就要認(rèn)真領(lǐng)會教育部關(guān)于數(shù)學(xué)試題改革的要求，把新高考試題“三性”要求落實在具體的解題教學(xué)過程之中，一要注重活學(xué)活用，增強應(yīng)用性，突顯數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價值；二要注重探索與發(fā)現(xiàn)，增強探究性，提高學(xué)生的問題解決能力；三要注重綜合和創(chuàng)新，增強開放性，培養(yǎng)學(xué)生解題思維的開放度和靈活性?。

二、新高考背景下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實然樣態(tài)

新高考反套路、反機械刷題，極大地增強了試題靈活性、綜合性、開放性。新高考背景下的解題教學(xué)無論是例題選取還是教法選擇都需要基于學(xué)情特點，加強針對性，注重實效性。然而當(dāng)前解題教學(xué)存在一些問題，主要表現(xiàn)在以下三個方面。

1.缺少深入研究，例題選擇的計劃性不強

有些教師不能根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平和學(xué)習(xí)能力選取例題，選取的例題缺乏典型性和適切性。雖然一些例題有其自身的教學(xué)價值，但對于這種解題是否超出學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，思想方法是否超出學(xué)生的認(rèn)知水平，是否選對適切的教學(xué)方法，講解過后如何檢測學(xué)生的掌握情況，如何針對本題教學(xué)進(jìn)行有針對性地拓展訓(xùn)練等問題，則很少考慮。有些教師不太關(guān)注目標(biāo)，解題教學(xué)的指向性、計劃性不強，偏愛一題多解，有的題目少則給出三四種方法，多則十幾種方法，很少考慮這些方法能否被學(xué)生真正理解和吸收。有些教師缺少對通性通法的研究，熱衷講授一些解題技巧或記憶一些二級結(jié)論。有些老師在備課的時候花費大量時間精力去查找新題型、新解法，引導(dǎo)學(xué)生套路化解題。長期以往，必須會使得一部分學(xué)生解題思維僵化，缺乏靈活性，難以從多個角度對問題進(jìn)行深入的分析和解決。學(xué)生課上能聽懂，課后題目稍有變化就無所適從了。

2.關(guān)注學(xué)生不夠，忽視學(xué)生的元認(rèn)知培養(yǎng)

元認(rèn)知是指認(rèn)知主體對自身心理狀態(tài)、能力、任務(wù)目標(biāo)、認(rèn)知策略等方面的認(rèn)識，對自身各種認(rèn)知活動的計劃、監(jiān)控和調(diào)節(jié)。元認(rèn)知能力是數(shù)學(xué)解題必備要素，尤其對于有一定難度的問題的解決，更是發(fā)揮非常重要的作用。實踐中，有些教師的講題不能基于學(xué)情特點關(guān)注學(xué)生所思所想，不重視學(xué)生的情感體驗和克服困難的毅力培養(yǎng)；缺少對學(xué)生解題思維的研究，很少關(guān)注學(xué)生的解題遷移、思考方式合理性以及解題過程中的常見障礙。他們就題論題，缺少對例題背景、意圖的分析，缺少解題（或證明）思路的探索，缺少例題結(jié)構(gòu)、歸類的總結(jié)和反思，無法幫助學(xué)生建構(gòu)起良好的概念圖式、原理圖式、認(rèn)知策略圖式。一些教師缺少對學(xué)生群體的關(guān)注，解題教學(xué)要么是“唱獨角戲”，要么只與少數(shù)幾個優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行對話，對中等偏下學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的一些錯誤或混亂的思維，缺少分析研究，更談不上及時反饋、查漏補缺了。

3.教學(xué)主旨不明，教師講解失策欲速不達(dá)

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的主要任務(wù)不在于教“解”而在于教“學(xué)解”［2］，因此解題教學(xué)也須遵循一定的教學(xué)規(guī)律。有些教師對教材例題或補充的例題很少進(jìn)行生本化加工，經(jīng)常是照本宣科。有些教師缺乏對新高考試題導(dǎo)向的關(guān)注，對新高考試題應(yīng)用性、探究性、開放性等要求了解甚少，喜歡傳授“怎么解”，而對“為什么這樣解”“中間會遇到哪些挫折又是如何克服的”的重視不夠，缺少解題方法的啟發(fā)式引領(lǐng)，缺少對解題路徑的探究過程、解題可能遭遇的困難以及不同解法優(yōu)劣的比較分析。有些教師的解題教學(xué)課堂題量多、難度大，不考慮解題教學(xué)教什么，不去思考多講一個與少講一個方法有什么不同，片面追求題海戰(zhàn)術(shù)，追求解題技巧以及個別知識點在解題上的應(yīng)用，缺少思路探索的揭示和數(shù)學(xué)思想的滲透。他們喜歡用“模型教學(xué)法”總結(jié)各種題型的解題規(guī)律，喜歡采用“題海戰(zhàn)術(shù)”讓學(xué)生不斷刷題熟能生巧。久而久之，就導(dǎo)致學(xué)生的思維固化，應(yīng)變能力較差。

三、新高考背景下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的使然路向

如果說瞄準(zhǔn)目標(biāo)、明確應(yīng)然追求是解題教學(xué)的出發(fā)點，那么立足實然樣態(tài)、走出困境就是解題教學(xué)工作的發(fā)力點，是指導(dǎo)我們進(jìn)一步做好新高考背景下解題教學(xué)的使然路向。

1.立足應(yīng)用性教學(xué)，加強問題解法教法研究

應(yīng)用性教學(xué)不限于應(yīng)用題教學(xué)，更廣泛意義上的應(yīng)用性教學(xué)指的是數(shù)學(xué)知識技能及其思想方法在數(shù)學(xué)解題及其教學(xué)上的活學(xué)活用。“工欲善其事，必先利其器。”數(shù)學(xué)思想方法及其相關(guān)原理就是數(shù)學(xué)解題的“器”，諸如化歸、類比、審美等思想，以退求進(jìn)、回歸定義、正難則反等策略，特殊化、一般化、數(shù)形結(jié)合等方法［3］，它們是解題教學(xué)的精髓所在。如果教師課前不深入研究題目，不明了教學(xué)目標(biāo)，如何能把解題思想清晰地表達(dá)出來？不知道一題多解與多題一解背后的規(guī)律性，何以發(fā)展學(xué)生的高階思維？因此，為了提高教學(xué)實效，在教學(xué)前教師首先自己要對例題的典型性、思想性、結(jié)構(gòu)性有一個深度的研究，對每道題目的相關(guān)知識點構(gòu)成、難度系數(shù)、可能的解題方法以及解題誤區(qū)都要有一個清晰的把握。有些例題是為了鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能，而有些例題則是為了提高學(xué)生的理解能力，有些綜合性問題則是側(cè)重發(fā)展學(xué)生的思維水平。比如要選擇這樣一道證明題“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”作為例題課上講解，教師在課前就應(yīng)去研究這道題出自何處，涉及哪些思想方法，可否一題多解，可否進(jìn)行拓展和引申，如果選用本題作為一道例題講解應(yīng)該在哪個單元哪節(jié)課講解比較合適等。

除了對例題解法、結(jié)構(gòu)、功能等進(jìn)行研究，教師還應(yīng)在課前從方法論的視角研究教法，引領(lǐng)學(xué)生提高活學(xué)活用的能力。俗話說得好，“只有老師跳進(jìn)題海，才有學(xué)生跳出題海”。要深入研究如何引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會找準(zhǔn)問題分析從哪里入手，哪里是起點，如何審題，如何從條件與結(jié)論之間的差異入手尋找關(guān)聯(lián)，如何利用解題直覺，如何突破瓶頸，如何才能讓學(xué)生會一題、通一類、達(dá)一片等。有些題目，可以轉(zhuǎn)換背景，幫助學(xué)生建立知識點之間的關(guān)聯(lián)。有些題目，如果教學(xué)進(jìn)程尚未可能，可以進(jìn)行適當(dāng)改編，以突破章節(jié)限制。要仔細(xì)審視題目中不同知識之間的交匯與融合，分析“四基”考點和“四能”要求，解構(gòu)發(fā)展高階思維的方法或路徑。要充分發(fā)掘題目中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法及其發(fā)生、發(fā)展主線，對可能的思維路徑要有預(yù)測，對啟發(fā)性引導(dǎo)語有提前謀劃，對可能的錯誤要探究源頭。

2.立足探究性教學(xué)，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平

數(shù)學(xué)解題應(yīng)當(dāng)合乎學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理年齡特征，以人本的方式漸進(jìn)展開，使學(xué)生自然而然地發(fā)現(xiàn)、想到和悟到。［4］在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要注重運用元認(rèn)知訓(xùn)練學(xué)生的關(guān)鍵能力，發(fā)展他們的學(xué)科核心素養(yǎng)。一方面，要助力學(xué)生生長元認(rèn)知知識，發(fā)揮元認(rèn)知知識在解題教學(xué)中的統(tǒng)攝作用。解題教學(xué)中的元認(rèn)知知識即是學(xué)生對自身解題技能及其相關(guān)策略的認(rèn)知。加強解題教學(xué)的元認(rèn)知知識建構(gòu)，是就要著力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)譯能力，啟發(fā)學(xué)生善于拆分試題內(nèi)容，搭建轉(zhuǎn)譯思路；巧妙利用提示語言，破譯隱含條件；必要時可以畫出圖形或圖表，或引入未知參數(shù)；依據(jù)已有解題經(jīng)驗對題目所蘊含的語義進(jìn)行理解和加工，從而建構(gòu)不同變量之間的聯(lián)系，開辟從已知條件與待求（證）結(jié)論之間的通道。顯然，對于“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”這一恒等式的證明，需要啟發(fā)學(xué)生通過觀察，學(xué)會思考，建構(gòu)三角函數(shù)之間聯(lián)系、三角函數(shù)和差化積、復(fù)數(shù)、向量等知識體系以及數(shù)形結(jié)合、恒等變換、運算化簡等能力結(jié)構(gòu)，為順利解題奠定必要的元認(rèn)知基礎(chǔ)。

另一方面，要豐富學(xué)生的元認(rèn)知體驗，發(fā)揮元認(rèn)知體驗在解題教學(xué)中的調(diào)節(jié)作用。面對解決挫折與失敗，要引領(lǐng)學(xué)生重新審視解題路徑，對相關(guān)解題方案進(jìn)行調(diào)整、修正或重建，制定切實可行的解題計劃和目標(biāo)。要充分考慮學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平、個性特征和學(xué)習(xí)習(xí)慣，合理確定學(xué)習(xí)者的認(rèn)知起點、學(xué)習(xí)動機。要幫助學(xué)生建立解題信心，克服認(rèn)知和情感上的畏難情緒；要引領(lǐng)學(xué)生多維度思考問題，能夠從一題多解到優(yōu)化解法，豐富解題體驗，積累解題經(jīng)驗。就“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”的證明而言，其運算過程、表征轉(zhuǎn)換、化簡技巧等都可以讓學(xué)生在教學(xué)過程中有所體驗，讓他們從中感悟解題策略的獲得、意志的磨礪以及成功的喜悅，為發(fā)展靈活性、批判性、創(chuàng)造性等高階思維奠定基礎(chǔ)。

再一方面，要提升學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)控水平，發(fā)揮元認(rèn)知監(jiān)控在解題教學(xué)中的修正作用。元認(rèn)知監(jiān)控即是指在解題進(jìn)程中，對自我問題解決過程的思維方向、對問題解決的思維、對思維活動策略的進(jìn)行調(diào)整、修復(fù)及更正。如果說雖然通過三角函數(shù)和差化積能夠證得“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”，但發(fā)現(xiàn)比較繁瑣，那么接下來就要思考能否另辟蹊徑尋找其它證明方法？也就是說，要引領(lǐng)學(xué)生讀懂題意，嘗試解法，探尋多維度、多層次、多路徑解題路徑；要注重修正解題錯誤，引導(dǎo)學(xué)生適時進(jìn)行自我診斷與反思、探究、批判與治療；還要通過變式拓展，提出新的、更有挑戰(zhàn)性、更有價值的問題，發(fā)展學(xué)生的思維張力。

3.立足開放性教學(xué)，注重學(xué)生高階思維培養(yǎng)

基于對一線專家型教師解題教學(xué)典型課例的總結(jié)、提煉，我們建構(gòu)了解題教學(xué)從發(fā)問到發(fā)現(xiàn)，再到發(fā)省、發(fā)展的“4F”教學(xué)模式［5］（見下頁圖1）。這一解題教學(xué)模式旨在撬動解題內(nèi)核，提示解題教學(xué)規(guī)律，對于增強解題教學(xué)實效具有十分重要的意義。

圖1 數(shù)學(xué)解題“4F”教學(xué)導(dǎo)圖

首先，通過發(fā)問，查找解題癥結(jié)。波利亞的《怎樣解題表》中的四個步驟都是通過發(fā)問建構(gòu)起來的。發(fā)問可以幫助我們確認(rèn)解題癥結(jié)，建立解題信心，也能為問題的化解找準(zhǔn)前行的方向，它居于解題教學(xué)中心。已知條件解讀、變量關(guān)系梳理、核心概念厘定等，都可以成為解題需要盤根問底的重點對象，都有可以成為解題教學(xué)的發(fā)問點。如果說“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”始終不能得法，通過發(fā)問，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)等式的左邊能否進(jìn)行恒等變形？這是直覺，是解題的起步，也正是初始狀態(tài)需要化解的癥結(jié)所在。學(xué)生的憤悱之時就是發(fā)問的最佳時機。立足學(xué)生立場，指向?qū)W生感知，引領(lǐng)學(xué)生思維同步推進(jìn)的問題視角就是最好的發(fā)問角度。

其次，基于發(fā)現(xiàn)，探索解題路徑。只有發(fā)問未必能直接帶來問題解法的發(fā)現(xiàn)，還需要解題者擁有扎實的數(shù)學(xué)基本功以及豐富的解題經(jīng)驗。解題發(fā)現(xiàn)是捕獲解題路徑的關(guān)鍵。要引導(dǎo)學(xué)生想方設(shè)法把待解決的問題與熟悉的或者一些簡單的問題聯(lián)系起來，在它們中間架設(shè)橋梁，建立聯(lián)系。對于上述“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”左邊進(jìn)行恒等變形后很快就會發(fā)現(xiàn)通過和差化積公式、倍角公式等進(jìn)行化簡，逐步變形能夠使命題得證。解題教學(xué)本質(zhì)上就是要引領(lǐng)學(xué)生在交流、討論、辨析、探索、聯(lián)想等活動過程中，體驗解題思路的發(fā)生、發(fā)展、發(fā)現(xiàn)的過程。為此，教師要善于運用啟發(fā)性語言調(diào)動學(xué)生參與解題的發(fā)現(xiàn)過程，充分激發(fā)他們的解題智慧以及創(chuàng)造性渴望。

第三，借助發(fā)省，反思解題過程。當(dāng)發(fā)現(xiàn)解法并實現(xiàn)了解題目標(biāo)后，就可以對問題進(jìn)一步尋找更為簡潔的方法或路徑。基于發(fā)問，并結(jié)合相關(guān)發(fā)現(xiàn)進(jìn)行解題發(fā)省，厘清問題本質(zhì)及其解答的來龍去脈，明晰被征服的困難的實質(zhì)，梳理問題、方法和理論之間的聯(lián)系，從中不但可以提高解題正確率，而且也能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識解題規(guī)律，掌握解題關(guān)鍵。還以“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”為例，在借助恒等變形化簡等式左邊后發(fā)現(xiàn)同為余弦函數(shù)的三個角之間具有倍角關(guān)系，可否利用這一關(guān)系進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，開辟另解呢？又可否利用復(fù)數(shù)或向量進(jìn)行求解呢？由此，通過深入發(fā)省，引發(fā)進(jìn)一步思考，把解題教學(xué)引向深入。顯然解題教學(xué)中遭遇的解題錯誤、繁瑣解法或奇思妙想，都是解題發(fā)省的重要抓手。

最后，謀劃發(fā)展，拓展解題思維。有限時間里講解的任何一道題都不應(yīng)止于答案的獲得或者解法的發(fā)現(xiàn)，而應(yīng)因勢利導(dǎo)，對原題進(jìn)行適度的拓展和延伸，諸如變換條件結(jié)論，歸納和提煉出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題等，以此開發(fā)學(xué)生潛能，進(jìn)一步探索和揭示問題本質(zhì)，生長和發(fā)展解題思維。還以“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”為例，基于上述通過數(shù)形結(jié)合、復(fù)數(shù)法，特別是向量法的求解后，可以引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行引申性思考——如果是在一個單位圓上有2n+1個分布均勻“合力平衡”的向量，則可以將原命題可以怎樣推廣？從而獲得類似原題結(jié)構(gòu)的一般性結(jié)論及其證明思路。事實上，解題教學(xué)本就是一個引領(lǐng)學(xué)生獲取解題經(jīng)驗的過程，發(fā)問、發(fā)現(xiàn)、發(fā)省、發(fā)展四個階段相輔相成，共同助推學(xué)生解題思維進(jìn)階和解題能力的螺旋式提升。

【參考文獻(xiàn)】

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