基于“理解數學”的課堂教學研究

［摘" 要］ “理解數學、理解學生、理解教學”簡稱“三個理解”，是章建躍博士所提出的教學理念. 隨著新課改的深入推進，該理念應用頻率越來越高. 研究者以“平面向量的加法運算”為例，從“概念導入，揭露教學意義”“建構概念，暴露運算本質”“剖析概念，研究運算定律”“概念應用，解決實際問題”“深化概念，提煉思想方法”五個環節設計教學活動，旨在幫助學生在深刻理解數學知識的同時，提升思維能力和學習能力，并發展數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 理解數學；平面向量；課堂教學

在“三個理解”的基礎上實施課堂教學，可有效提升課堂教學效率，促進學習能力與數學素養的發展. 那么，何為“理解數學”呢？研究發現，教材作為知識傳遞的基本載體，在以教材為本的基礎上研究數學概念，可鑄就“數學細胞”；思維是數學的體操，在以數學思維發展為基本目標的基礎上探索知識結構，可強健“數學骨骼”；思想方法是數學的靈魂，在滲透思想方法的基礎上實施解題教學，可豐滿“數學血肉”. 因此，“理解數學”就是以教材為本，重視數學思維的培養和數學思想方法的滲透，通過概念教學、知識結構梳理與解題教學等手段完善學生認知體系的過程.

教學分析

平面向量的加法深刻反映了向量的本質特性，是向量章節中的基礎運算之一. 然而，學生對這部分內容的理解程度并不理想，主要原因是許多教師認為這部分內容相對簡單，因此在教學過程中往往一筆帶過，導致學生出現了“懂而不會”的現象. 也有部分教師認為，學生已經學過物理學科中的運動合成相關內容，他們對向量加法的理解相對容易. 因此，這部分教師直接向學生展示向量加法的三角形和平行四邊形法則，跳過本質分析環節，直接進入應用階段，致使學生對向量加法運算出現了“一知半解”的現象［1］. 為了改善這一狀況，筆者基于“理解數學”的理念，對這部分內容的教學進行了深入的探討和分析.

教學構想

教材是教學的基本載體，教材中的知識只是靜止的“半成品”，教師在課堂上挖掘教材的教學功能，通過重組等方式揭露數學思想是理解數學的根本. 因此，課堂教學的首要任務就是通過觀察與分析教材中的知識內容，挖掘其潛在的思想，此為提高教學效率的關鍵一步.

1. 概念導入，揭露教學意義

在建構主義理論的指導下，以向量運算的本源作為教學的起點，結合學生現有的認知經驗來創設問題，可喚醒學生原有的認知經驗，激活他們的思維，從而讓學生初步理解向量加法運算的價值與意義.

問題1 在平面幾何領域，三角形中位線定理大家都不陌生. 現在，請大家思考：是否可以從向量的角度來描述三角形中位線定理？

設計意圖 三角形中位線定理是學生所熟知的內容，向量也是他們已經掌握的知識. 要求學生從向量的角度來描述三角形中位線定理，不僅能幫助學生復習向量、共線向量以及相等向量等概念，還能讓他們感受到數學知識間的內在聯系，為本節課的向量加法運算教學打下堅實的基礎.

師：關于三角形中位線定理的證明，以往采取的是什么方法？

生1：坐標法與幾何綜合法.

問題2 如圖1所示，既然可以使用向量來描述三角形中位線定理，那么是否可以利用其他向量來揭示與之間的關系呢？換言之，能否通過向量運算來證明這個定理？

設計意圖 此為一個典型的問題，旨在引導學生得出肯定的結論. 它鼓勵學生主動思考，認識到自己在認知上的不足，并感受到學習向量加法運算的必要性. 有專家指出，如果沒有運算，那么向量只是一個“路標”. 因為有了運算，向量的力量無限. 想要理解這句話中的“力量”一詞，就要深入探索向量的運算. 問題2引導學生的思維自然而然地進入了向量運算的領域，激發了學生利用向量解決幾何問題的初步想法，并成功揭示了向量加法運算的教學意義與實際應用價值.

2. 建構概念，暴露運算本質

問題3 已知冰箱內有3個蘋果，若往里面再放2個蘋果，冰箱內共有幾個蘋果？可否從這個實例出發，說一說“2+3=5”所蘊含的運算規則是什么？

設計意圖 對高中生提出這么簡單的一個生活問題，令學生感到詫異，甚至有學生直接笑場，認為老師怎么會提出這么幼稚的問題. 然而，此問的核心在于揭示“2+3=5”所蘊含的運算規則，顯然這是一個包含深刻道理的小問題. 數字加法的本質是求兩個數的和，唯有屬性相同的數量關系才具備累加的條件. 在這個問題中，3個蘋果與2個蘋果具備相同的屬性，因此它們可以直接相加. 將這一特性類比遷移到向量的加法運算中，我們不禁要問：是否只有滿足特定條件的向量才可以相加呢？

師：向量的本質特征是什么？

生（眾）：既有方向，又有大小.

問題4 結合向量的本質特征思考：滿足什么條件的兩個向量具有相加的可能？向量相加時，應遵循什么規則？

設計意圖 通過提問激發學生對向量本質特征的回憶，并提示學生：向量加法與向量的方向和大小密切相關. 問題4的提出旨在激發學生自主思考，引導他們從向量的幾何表示角度展開分析. 顯然，將兩個有方向的線段進行疊加，受方向的限制，與單純數字的累加有所區別. 俗話說“不憤不悱，不啟不發”，問題4成功激發了學生的思考和疑惑，使他們明確向量加法與數字加法不完全相同，向量加法運算必然有一套獨特的規則，這為揭示向量加法運算的本質奠定了基礎.

問題5 假設向量a，b是同向向量，它們相加會怎樣？如果向量a，b為相反向量，那么它們相加又會怎樣？設嘗試分析以上兩個問題，思考向量相加的基本規則，并提煉相應的數學表達式.

問題6 兩個不共線的向量相加，遵循什么樣的規則？從物理學的視角來看，位移合成是指一個物體從點A經過點B到達點C，即經過兩次位移抵達目的地. 這個過程的結果與物體從點A直接位移■抵到目的地是相同的. 即便點A，B，C并不一定位于同一直線上，仍然存在這個式子. 那么，該式是否在所有情況下都成立呢？

設計意圖 跨學科教學是新課程標準對數學教育提出的要求，它強調將不同學科的知識融合在一起. 雖然向量與位移之間存在著顯著的相似性，但如果教師僅僅告訴學生物理運動合成與向量加法法則之間的聯系，學生可能無法真正理解數學的深層含義. 相反，從數學家發現向量加法運算的過程入手，通過“再創造”教學內容，可以激發學生的思考，讓學生像數學家一樣主動探索，從而更深入地理解向量加法運算的本質.

3. 剖析概念，研究運算定律

問題7 兩個向量相加的規則大家已經有所了解，現在我們一起來思考：在同一平面內，多個向量相加，該怎么處理呢？

設計意圖 數字相加是將多個數累加在一起形成一個總和，其累加過程遵循交換律與結合律. 本節課探索的是一個平面內的向量相加，同為加法運算，因此可以從加法運算規律的角度進行分析，即在同一平面內，多個向量相加的本質是將這些向量相加轉化為兩個向量相加（見圖2）. 在向量相加的過程中，無論采用哪種結合方式，結論都是一樣的. 據此，可以推斷出向量加法運算同樣遵循交換律與結合律，即（a+b）+c=a+（b+c）.

4. 概念應用，解決實際問題

例1 現在深入探討如何使用向量加法來證明三角形中位線定理.

例2 如圖3所示，此為一個輪渡口，渡船從點A處出發，正常以5 km/h的速度垂直駛向對岸的點D處，明確水的流速為向東2 km/h.

（1）用向量分別表示水流速度、渡船的航行速度以及渡船實際航行的速度.

（2）渡船實際航行的速度與方向分別是什么？

設計意圖 這兩個例題旨在加深學生對向量加法的理解，并體驗向量加法在解決幾何問題和實際問題時的便捷性. 尤其是例2的應用，讓學生對向量及其加法的實際應用價值有了更深入的認識，進一步感知數學與日常生活的緊密聯系.

5. 深化概念，提煉思想方法

問題8 為什么在同一平面內不共線的多個向量相加，最終可以轉化為兩個向量相加呢？由什么原理可以作解釋呢？

設計意圖 學生的認知發展遵循由淺入深的規律，那么數學教學同樣遵循由易到難、逐層遞進的規則. 雖然學生在該階段尚未接觸線性相關的內容，但向量的加法運算中卻蘊含了這種思想. 教師在課堂上適時地進行引導和滲透，能夠激活學生的思維，為后續教學夯實基礎. 調查顯示，許多大學生將向量組的線性相關性視為學習上的一個難點. 因此，在本節課中適當引入與之相關的思想方法，可為學生未來學習n維向量組的線性關系做好準備. 需要注意的是，在此環節不必使用嚴格的數學術語，而可以應用易于理解的數學語言進行解釋，引導學生感知向量加法的內涵.

由共線向量相加可知，共線向量具有相互表示的特性，而這一特性在不共線向量中是不存在的，這也是不共線向量無法位于同一直線上的原因. 綜上探索，下節課可以引導學生自主將向量加法運算推廣到向量數乘運算，讓學生在“理解數學”的基礎上實現知識與研究方法的遷移.

思考與感悟

1. 研究向量加法產生的原因是理解數學的基礎

用代數法研究幾何問題是向量加法運算產生的基礎. 笛卡爾發明的坐標系，為人類探索幾何問題提供了服務，但萊布尼茨認為，“盡管笛卡爾的坐標系統將幾何量轉化為代數方法的分析，但不是幾何量之間的直接運算，有時是復雜的. 這種把代數用于幾何是一個正確的方法，但不是最好的.”［2］在萊布尼茨思想的影響下，莫比烏斯與格拉斯曼研究了有向線段的加法運算. 他們認為，如果把AB視為BA的相反量，只要能確定點A，B，C均處于同一條直線上，那么AB+BC=AC恒成立. 經過大量實踐驗證，他們發現在點A，B，C不處于同一條線上的情況下，該式依然成立. 這一發現被稱為向量加法的三角形法則，即

一旦學生對向量加法的成因有了清晰的理解，他們便會對這一運算產生積極的情感反應. 此外，對成因的深入分析還能提升學生的數學理解能力，為新知的探索打下堅實的基礎. 在本節課中，教師在引導學生正式探索向量加法運算之前，已經與學生一起探討了向量加法運算的形成過程. 這樣做讓學生在積極主動的狀態下接受并深入研究新知，為構建完整的知識體系打下了基礎.

2. 關注向量加法運算的本質是理解數學的核心

本節課的主題是向量加法運算，既然是運算，必然涉及運算法則. 那么，向量加法的運算法則是什么呢？帶著這個問題去學習和探索，首先需要了解向量加法運算的本質，這是理解向量加法的運算法則的關鍵. 在加法運算中，“+”符號代表的是一種運算方式，而其背后所隱藏的規則才是我們應當深入探究的核心.

向量除了具有與數相同的大小屬性外，還具有方向這一關鍵屬性，因此向量的加法與數的加法有所不同. 相同或相反方向的向量可以在一條直線上進行研究（見圖4），反方向的向量大小可以通過負值來表示. 在這種情況下，向量的加法運算與數的加法運算基本一致，即相加后不再保留各自原有的特性，相加的結果是一個新的向量.

如果兩個向量不是共線的，那么它們相加的結果本質上是這兩個向量的合成，意味著原本參與相加的兩個向量的大小和方向保持不變（見圖5）.

向量加法運算的深入探討，可促使學生從真正意義上理解向量加法運算的本質，達到理解數學的目的.

總之，基于“理解數學”的課堂教學是一個值得深入探索與研究的話題，尤其是在新課標的背景下，想要讓核心素養落地生根，就要在理解數學的基礎上設計教學方案，實施教學，此為促進學生長期可持續發展的重要舉措.

參考文獻：

［1］ 呂松濤. 平面向量加法運算的本質及教學思考［J］. 數學通報，2020，59（9）：43-47.

［2］ 呂松濤. 基于問題驅動的高中數學向量教學研究［D］. 廣州大學，2021.