人教社高中數學教材“一元線性回歸模型”相關內容的比較研究

［摘" 要］ 文章對人教社高中數學A版與B版教材中的“一元線性回歸模型”的章節結構、知識發展過程、例題和習題設計、信息技術應用、數學探究活動等五個方面進行了比較分析，揭示了兩個版本教材的各自特色，并基于這些比較分析，提出了針對性的教學建議．

［關鍵詞］ 線性回歸；相關系數；數據分析；教學建議

自《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱新課標）頒布以來，基于其編寫的高中數學教材共有7套版本. 其中，由人民教育出版社組織編寫的A版和B版教材［1］［2］（下文分別簡稱A版教材和B版教材）的使用范圍最為廣泛，覆蓋了包括北京、山東在內的20多個省份和直轄市. 本文通過比較分析A版和B版教材中的“一元線性回歸模型”相關內容，以期為教學實踐提供有意義的參考．

教材內容的比較分析

1. 章節結構的比較分析

A版教材將“成對數據的統計分析”作為獨立的一章，而B版教材則將“概率與統計”的全部內容整合為一章，其中“統計模型”僅作為一節內容．具體的章節安排如表1所示

可以看出，對這一部分內容的章節順序安排，兩個版本教材的差異較大． A版教材先學習樣本相關系數，再研究一元線性回歸模型；而B版教材則先學習回歸直線方程，再研究相關系數． 相較之下，A版教材的編排順序更貼合新課標對有關知識內容的闡述；而B版教材則著重強調了當變量間的線性相關關系較弱時，所得的回歸直線方程的實用價值是有限的，進而引出了相關系數的概念，其邏輯性顯得更為嚴謹．

2. 知識發展過程的比較分析

（1）初步確定的數字特征不同

（2）“標準化”處理的詳略不同

（3）對相關系數取值范圍的處理方式不同

綜合上述，在本節內容中，A版教材更注重知識產生和發展的過程，更強調知識在推導過程中的嚴謹性，對學生的學科核心素養提出了更高的要求．相對而言，B版教材對一些難度較大、要求較高的推導過程，采用了適當省略或變通的方法，更注重大多數學生的可接受性，有助于普通學校的日常教學實踐．類似的情況在其他小節中也有所體現，例如，在利用最小二乘法得到經驗回歸方程后，A版教材使用了大量篇幅介紹了如何通過殘差分析來檢驗和改進回歸模型的擬合效果，并引出了決定系數R2的計算公式；而B版教材則未對殘差分析等其他內容進行拓展．

3. 例題和習題設計的比較分析

（1）例題的比較分析

從數量來看，A版教材的例題數量較多，每一小節配有3道例題（包括問題），內容比較豐富．而B版教材則按照知識點內容，每一個知識點配有1道例題，針對性較強．A版教材中的例題的數據都較為原始（多數習題也有這個特點），需要使用統計軟件進行計算，這有助于培養學生的信息技術素養．而B版教材中的例題和習題的數據大多經過“修正”，便于學生進行紙筆運算，這有利于學生迅速掌握相關知識．

（2）習題的比較分析

從習題（包括練習，下同）數量來看，A版教材的習題共27題，B版教材的習題共12題. A版教材的習題數量明顯比B版教材多．根據新課標對數據分析素養的三個水平的要求［3］，可以大致將兩個版本的習題水平進行如表2所示的劃分.

從表2可以看出，兩個版本的習題在水平一上的占比大致相同，而在水平二上，A版教材的習題比例略低于B版教材；至于水平三上，B版教材的習題比例明顯低于A版教材．在習題內容方面，A版教材中與實際問題有關的論述題或決策題較多，注重知識的拓展和創造性應用；而B版教材中運算求解的題目較多，側重于基礎知識的掌握和基本技能的培養．

從表3可以看出，A版教材中的習題對樣本相關系數的訓練較多，而B版教材中的習題則對回歸系數的訓練較多．兩個版本都重視一元線性回歸模型的建立，都注重統計知識的實際應用．

4. 信息技術應用的比較分析

新課標指出，信息技術的廣泛應用正在對數學教育產生深刻影響，應重視信息技術與數學課程的深度融合，鼓勵學生使用相應的統計軟件．A版和B版教材都非常重視信息技術在統計內容中的應用，但具體的做法也明顯不同．

在本文所討論的“一元線性回歸模型”相關內容中，A版教材主要推薦的軟件是Excel軟件和R軟件．具體方式是以旁注的形式，簡單介紹了Excel軟件和R軟件在畫散點圖、計算樣本相關系數、求經驗回歸模型時需要用到的函數，沒有呈現具體的操作過程（在必修二的概率與統計等內容中，已經使用過這兩個軟件）. 然而，A版教材在本章末的數學建模活動“建立統計模型進行預測”中，較詳細地介紹了利用R軟件建立統計模型的具體過程． B版教材主要推薦的軟件是GeoGebra軟件（簡稱GGB），并把“用信息技術求回歸方程”作為一個獨立的小節進行呈現. 通過圖文結合的方式，詳細展示了用GGB軟件求回歸方程的步驟，內容通俗易懂，便于學生理解和掌握．

如果將討論范圍從本文的“一元線性回歸模型”擴展至整套教材（僅限必修和選擇性必修內容），我們不難發現，B版教材更重視信息技術與教學內容的融合，其應用信息技術的場景（大約30余次）明顯多于A版教材（僅12次）（均不包括“一元線性回歸模型”相關內容中的次數）. 從推薦使用的軟件來看，A版教材根據不同的知識內容，介紹使用不同的軟件工具，如GGB軟件、Excel軟件、R軟件以及圖形計算器等． B版教材除了在少數場景介紹Excel軟件的應用外，主要推廣GGB軟件，鼓勵學生在幾何、代數、微積分、概率統計等多個領域深入學習和應用GGB，這有助于培養學生在信息技術方面的高階素養，并實現知識的遷移應用.

5. 數學探究活動的比較分析

教學建議

1． 整合教材，優化教學設計

不同版本的教材，具有不同的特點和優勢．除了學生使用的版本教材外，學校還應為教師盡可能地配備其他版本的教材，以供教師能夠根據教學需求整合不同版本教材的內容，從而優化教學方案，提升教學成效. 以本文所探討的統計學內容為例，教師首先可以根據自己的教學實踐，結合大單元教學理念，研究確定相關系數和回歸方程的教學順序． 隨后，針對每個課時的教學內容，包括情境、問題、概念、公式、例題、習題等，借鑒不同教材的處理方法，擇其優者為我所用，以優化教學流程和訓練內容．在必要時，教師還可以對其他版本的教材內容進行篩選和整合，作為學習資源提供給有需要的學生，以滿足其個性化學習的需求．

2． 重視信息技術在統計教學中的應用

數據分析是課程標準所規定的六大核心素養之一，是大數據時代數學應用的主要方法．概率與統計內容的教學，是培養學生數據分析素養的主要載體． 在高中階段，概率內容所涉及的數據整理、運算等過程相對簡單，而統計內容則涉及更多、更大量數據的收集、整理、運算、處理等. 雖然僅靠傳統的紙筆演算也可以應對考試，但這種方法難以真正培養學生的數據分析素養. 因此，在統計教學中，我們應高度重視信息技術的融合應用，在充分利用教材中相關案例的基礎上，進一步挖掘并創設更多、更優質的應用場景，鼓勵并引導學生使用信息技術學習統計、實踐統計. 我們的目標是讓學生不僅能夠使用、愿意使用，而且樂于使用、有效使用這些信息技術.

3． 認真組織數學建模和數學探究活動

史寧中教授說過，統計和學生的生活很接近，學生通過經歷活動過程，獲得活動經驗，能較容易理解統計知識．在現實生活的實際問題中，收集數據、整理數據、提取信息不僅是數據分析的關鍵步驟，也是數學建模的核心過程. 這不僅有助于培養學生有意識地運用數學語言表達現實世界，用數學方法解決實際問題的能力，而且能夠加深學生對統計思想和統計應用的理解. 然而，在日常的課堂教學中，由于時間、場地等的限制，師生往往只能利用已經整理好的數據信息構建模型進行推斷，使得學生難以體驗統計應用的全過程．因此，在統計教學中，我們應當設計更多的研究性學習任務，認真組織數學建模和數學探究活動，以彌補課堂教學實踐的不足． 在必要時，還可以在教師的指導下，讓學生自主設計和選擇課題進行研究，從而拓展學生的實踐學習途徑，積累數學實踐的經驗.

參考文獻：

［1］ 章建躍，李增滬． 普通高中教科書數學選擇性必修第三冊（A版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［2］ 高存明． 普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（B版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［3］ 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．