在理法融通中感悟乘法運算的一致性

“兩位數乘兩位數”是第二學段“數與運算”主題的內容，是在學生掌握了表內乘法，會計算兩位數乘一位數、三位數乘一位數的基礎上教學的。無論是整數乘法，還是小數、分數乘法，其本質都是計數單位與計數單位相乘、計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘。教師如何在教學中凸顯乘法運算的一致性，培養學生的數感、運算能力和推理意識呢？筆者以“兩位數乘兩位數”單元教學為例說明。

一、借助數的意義，建立知識關聯

在認識數的學習過程中，學生積累了按群計數的經驗，能根據位值制將一個多位數分解。教學中，教師借助點子圖引導學生把數轉化為計數單位的表征方式，基于計數單位理解乘法算式的意義，表達算理，體會“整十數乘一位數可以以‘十’為單位計算；兩位數乘一位數可以分別以‘十’和‘一’為單位計算，再合并”，為研究整十數乘整十數、兩位數乘整十數的算理與算法奠定基礎。

新課伊始，筆者出示2和20，請學生數出相應數量的小棒，說一說數的過程，以及它們分別表示什么意思。學生回答：一根一根地數，數兩次就能數到2，2表示2個一，它是一位數；要數出20，可以一根一根地數20次，也可以一捆一捆地數（每一捆10根小棒）數兩次，20是兩位數，表示20個一或2個十。接著，筆者請學生回憶怎樣計算2×3和20×3。學生回答：利用乘法口訣可以直接算出2×3=6；而計算20×3，要先算2×3=6，再在6的末尾添一個0，得出60。然后，筆者出示點子圖（如圖1），請學生找一找2×3=6中的6在點子圖的哪里；20×3=60的積中的6和十分別在點子圖的哪里。

通過圈畫，學生發現60中的6實際上是6個十，2×3算的是2個十乘3，得6個十。筆者追問：為什么計算2×3時用乘法口訣計算后可以直接寫6，而計算20×3時用乘法口訣計算后還要在6后面添一個0？學生指出：第一個6表示6個一，6個一就是6；第二個6表示6個十，在6后面添一個0才是60。最后，筆者請學生回憶23×3的口算方法，并將2×3和3×3的口算過程、結果與點子圖建立聯系。

通過以上對比分析，學生初步建立了數的概念與乘法運算的關聯，體會到不管是一位數乘一位數還是兩位數乘一位數，都是在用表內乘法計算計數單位的個數；由于兩位數的計數單位既有“十”又有“一”，所以需要先算出幾個“十”和幾個“一”，再合并。

二、立足計數單位，打通算法關聯

多位數乘一位數，由于其中一個因數的計數單位是“一”，計數單位與計數單位相乘產生的新計數單位與另一個因數的計數單位相同，學生難以發現兩個因數的計數單位也參與了運算，如2個十乘3個一得6個十（“十”由“十”乘“一”得到）。整十數乘整十數，計數單位與計數單位相乘會產生與原本兩個因數的計數單位不同的新計數單位。教學中，教師要引導學生根據計數單位相乘的意義對新的計數單位是多少進行正向和逆向推導，逐步把整數乘法的算法統一為“計數單位乘計數單位，個數乘個數”。

課堂上，筆者引導學生思考20×30可以怎么算，用自己的方法計算，并借助點子圖說明這樣算的道理。學生得出如下四種計算方法：①先算3×2=6，再在6后面添兩個0；②20×3=60，60×10=600；③2×30=60，60×10=600；④3×2=6，6×100=600。針對方法②和方法③，筆者追問：60在點子圖（如圖2、圖3）的哪里？為什么要再乘10？

借助點子圖，學生發現方法②中的60可以看成20個一乘3，方法③中的60可以看成30個一乘2，它們都表示60個一，再乘10是因為圖中還有10個這樣的60。針對方法④，筆者追問：6在點子圖的哪里？100從哪兒來？通過觀察和交流，學生得出：在點子圖（如圖4）中，100由“十”乘“十”得到，即“百”，6是“百”的個數。

筆者適時總結：“從數的意義看，計數單位‘十’與‘十’相乘得到一個新的計數單位‘百’”，并追問：方法④中，2和3這兩個數相乘是在算什么？為什么相乘后在積末尾添兩個0就能得到正確結果？通過討論交流，學生發現：20里有2個“十”，30里有3個“十”，2乘3算的是積的計數單位的個數，在6后面添兩個0是因為新的計數單位是“百”。

學生理解20×30的計算過程后，筆者設疑：20×30中，兩個因數的計數單位“十”和“十”相乘產生新的計數單位‘百’。回頭看一看，口算20×3時，兩個因數的計數單位有沒有相乘呢？經過激烈的討論，學生達成共識：將20看作2個“十”，3看作3個“一”，任何數乘1都得它本身，“十”乘“一”還是“十”，與20的計數單位“十”相同，因此我們誤以為兩個乘數的計數單位沒有相乘，實際上則不然。

這樣教學，學生體會到整十數乘一位數和整十數乘整十數口算方法的一致性，都是先用兩個乘數的計數單位相乘得到新的計數單位，再算出新計數單位的個數。

三、基于整體視角，完善認知結構

乘法運算的原理是等合計數單位的個數。教學中，教師可以借助點子圖引導學生在用不同計數單位計數的過程中，對接算式中每一個數、每一步計算所表示的意義，以此貫通整數乘法算理的理解。

課堂上，筆者聚焦22×30和22×33的計算方法展開教學。學習22×30時，筆者請學生借助點子圖探究其計算方法，然后在小組里說一說怎么算。交流環節，一名學生借助點子圖匯報：先計算22×3=66，再在積的末尾添一個0。另一名學生補充：也可以先將22拆成20和2，計算20×30=600，2×30=60，再將600與60合起來得到660。針對第一種方法，筆者提問：22×3算的是什么？為什么要在它的積的末尾添一個0？學生思考后回答：22×3算的是計數單位“一”的個數，添0是因為有10個22×3。針對第二種方法，筆者設疑：同樣是兩位數乘30，為什么前面口算20×30時只需算一次“2×3”，這里口算22乘30，需要算兩次“2×3”？學生思考后解釋：20是整十數，由計數單位“十”構成，22是兩位數，由計數單位“十”和“一”組合而成，第一次“2×3”算的是6個百，第二次“2×3”算的是6個十。筆者總結：當因數是整十、整百數時，可以用一個計數單位去數（算），當有一個乘數是非整十、整百數時，需要用多個計數單位去數（算）。

學習22×33時，筆者請學生先猜想“如果用‘2×3’計算22×33，要將‘2×3’算幾次”，再借助點子圖驗證。學生操作后，發現如下3種拆分方法：①20×30=600，20×3=60，2×30=60，2×3=6，600+60+60+6=726；②22×30=660，22×3=66，660+66=726；③20×33=660，2×33=66，660+66=726。不管哪一種方法，都要將“2×3”算4次。筆者適時將點子圖簡化成如圖5所示的樣子，并出示22×33的豎式，引導學生找出豎式中的各部分與口算方法的聯系。學生通過觀察，明確了筆算乘法與口算乘法的計算道理一樣，都要確定運算后新的計數單位是什么、有多少個，不同的是筆算乘法省略了不同計數單位上乘出的數合并的過程，并且在記錄上做了簡化。

在計數單位的統領下，學生對乘法算式中積的位值意義有了更深層次的理解，感受到整數乘法運算的一致性。

（作者單位：宜城市窯灣小學）

文字編輯 張敏