探解法，提思維

【摘要】中考數學中與二次函數有關的最值問題包括多種類型，其中，與二次函數有關的線段最值問題便是重要的考點之一.在這個問題上有兩種考法，一是運用“化斜為直+解析式”思想，二是求線段和的最值.本文通過一道例題對“化斜為直+解析式”這一解題思想進行分析，梳理此類問題的解題思路.

【關鍵詞】二次函數；線段最值；初中數學

1"引言

與二次函數有關的線段最值問題是中考數學中較為復雜的一種題型，易出現于壓軸題中，學生在解題時，不僅需要明確題目中所給的條件，更要找出題中的隱含條件，從而發現解決問題的關鍵，找到解題的突破口.針對本類型題目，學生需進行深度剖析，認真探索，理清解題思路，進而舉一反三.

2"中考數學中的“化斜為直+解析式”思想

例題"已知拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，4），其對稱軸為x=－3/2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，動點P在直線AC上方的拋物線上，過點P作直線AC的垂線，分別交直線AC，線段BC于點E，F，交x軸于點Q，過點F作FG⊥x軸，垂足為G，求FG+√2FP的最大值.

解題指導

（1）因為拋物線y=－x2+bx+c上有一點C（0，4），故c=4.

又因為此拋物線的對稱軸為x=－3/2，

則有x=－b/2a=－b/－2=－3/2，

可得b=－3.

所以拋物線的解析式為y=－x2－3x+4.

分析"此題求解的關鍵是將點C代入解析式，求出c的值，再根據所給的對稱軸解析式求出b的值，從而解出拋物線的解析式.本問較為基礎，設置此問，一方面，可以增強學生的計算能力；另一方面，為下一小題作鋪墊，使學生可以更好地體會兩問之間的聯系.

（2）令－x2－3x+4=0，

解得x1=1，x2=－4，

故A（－4，0），B（1，0）.

設直線BC的解析式為y1=k1x+b1，

分別代入B，C的坐標得k1+b1=0b1=4，

解得k1=－4b1=4，

所以y1=－4x+4.

在△AOC中，因為OA=OC=4，∠AOC=90°，

所以∠CAO=45°.

在△AEQ中，因為PQ⊥AC，∠CAO=45°，

所以∠PQA=45°，故直線PQ的解析式為y2=－x+b2.

設P（m，－m2－3m+4），

代入上式得b2=－m2－2m+4，

則y2=－x－m2－2m+4.

令y1=y2，

則有－4x+4=－x－m2－2m+4，

解得xF=m2+2m/3，

將xF代入y1=－4x+4中，

可得yF=－4（m2+2m）/3+4，

即可得出F（m2+2m/3，－4（m2+2m）/3+4），從而可以分別求出FG以及√2FP的長度：FG=yF=－4（m2+2m）/3+4，

√2FP=√2·xF－xP/cos45°=2（xF－xP）=2（m2+2m/3－m）=2/3（m2－m），

FG+√2FP=－4（m2+2m）/3+4+2/3（m2－m）=－2/3（m+5/2）2+49/6.

由題意知，點P在直線AC上方的拋物線上，故－4lt;mlt;0.

當m=－5/2時，此時－2/3（m+5/2）2+49/6有最大值，且符合m的取值范圍，故FG+√2FP的最大值為49/6.

分析"本題中運用了“化斜為直+解析式”的思想，首先根據拋物線的解析式求出拋物線與x軸的2個交點，其次根據已知坐標設出直線BC的解析式，根據拋物線的解析式用變量m表示點P，設出直線PQ的解析式，當y1=y2時，所得坐標即為點F，從而分別求得FG，√2FP的長度，將兩者相加，最終利用函數的性質即可得出結果.

本題的突破點主要有兩個：一是根據兩個直角三角形得出∠PQA=45°，從而得出直線PQ的斜率；二是明確解決本題的關鍵是用字母表示出點F的坐標，再根據函數的性質求最值.

3"結語

求解與二次函數有關的線段最值問題時，通常需要用到轉化的思想，通過將復雜的問題轉化為簡單的問題，將線段長表示為關于某個變量的函數，從而求出最值.學生在探究此類問題的過程中需要不斷嘗試，在解題前，認真審題，在解題過程中，仔細尋找題目條件，在解題后，回顧反思，發現解題的突破口，找出解題的關鍵，最后總結出同類型問題的一般解法，并進行變式訓練，探究新型二次函數與線段最值問題的解法，提高思維邏輯能力.