基于動態背景，助力思維養成

【摘要】動態背景是初中數學幾何題中的常見考點，基于動態背景的幾何綜合題，綜合考察了學生對各類幾何性質與定理的靈活運用，考查基本知識的同時，還考察了綜合運用能力以及開放性思維等.本文以2024年吉林長春中考數學23題為例，在層層遞進的設問中分析動態背景下，學生解題中體現出的解題意識，助力數學思維的養成.

【關鍵詞】動態背景；中考數學；幾何綜合；數學思維

題目"如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D是BC邊上的一點（點D不與點B、C重合），作射線AD，在射線AD上取一點P，使AP=BD，以AP為邊作正方形APMN，使點M和點C在直線AD同側.

（1）連結PN，當PN⊥AC時，求正方形APMN的邊長；

（2）若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為_____.（寫出一個即可）

分析"（1）PN是正方形APMN的對角線，根據正方形對角線互相垂直的性質可知，PN⊥AM，而從題干中可知PN⊥AC，則此時A、C、M三點共線，已知AP=BD，則求出DC的長即可求得正方形APMN的邊長.還是利用特殊角作垂線的思想，利用∠PAM=45°，∠C的三角函數進行解題.在Rt△CDH中，可以設DH=4a，CH=3a，CD=5a，AH=HD=4a，則AC=7a=5，可以求出a=5/7，DC=25/7， AP=BD=17/7.（2）從已知條件中可得EN=3CM，求CD的長，同樣是利用特殊角做垂線的解題方法，本題可以分為兩種情況，第一種情況就是點M和點N均在直線AC右側，通過分析知道AN∥PM，EN∥CM，因此△AEN∽△HCM，相似比即為3∶1，設正方形的邊長是3a，則HM=a，PH=2a，所以tan∠PAH=PH/AP=2/3.同樣利用特殊角作垂線的思路，過點D作DF⊥AC于點F，因為tan∠ACD=4/3，可以設DF=4b，CF=3b，CD=5b，又因為tan∠PAH=2/3，所以AF=6b，根據AC=6b+3b=5，可以得出b=5/9，所以CD=5b=25/9.第二種情況是點M和點N分別在直線AC兩側，同樣根據比例以及平行可以得到△QEN∽△QHM，設MQ=a，QN=3a，正方形的邊長為4a，tan∠AQN=AN/QN=4/3，而∠PAQ+∠QAN=∠QAN+∠AQN，可得tan∠PAC=tan∠AQN=4/3，我們知道tan∠C=3/4，可見∠ACB=∠DAC，根據等腰三角形三線合一的特點，CF=5/2，cos∠C=3/5，最終可得CD=25/6.

解析"（1）在正方形APMN中，AM⊥PN，又因為PN⊥AC，所以A、M、C三點共線.如圖2過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DH⊥AC于點H.因為AB=AC，AE⊥BC，所以CE=1/2BC=3，根據勾股定理可得AE=4，所以sin∠C=4/5，在△DHC中CH∶DH∶CD=3∶4∶5，設DH=4a，CH=3a，CD=5a，因為∠DAC=45°，所以AH=DH=4a，所以AC=7a=5，解得a=5/7，所以DC=5a=25/7，BD=BC－CD=6－25/7=17/7，因為AP=BD，所以AP=17/7.

（2）當點M和點N均在直線AC右側時，分別過點M、N作MQ⊥AC、NE⊥AC，過點D作DF⊥AC于點F，如圖3所示，

在正方形APMN中，AN∥PM，又因為MQ∥NE，所以△AEN∽△HQM，因為EN=3QM，所以AN=3HM.設HM=a，所以AP=AN=3a，PH=2a，所以tan∠PAH=PH/AP=2/3，因為tan∠ACD=4/3，設DF=4b，CF=3b，CD=5b，又因為tan∠PAH=2/3，所以AF=6b，因為AC=6b+3b=5，解得b=5/9，所以CD=5b=25/9.

點M和點N分別在直線AC兩側時，過點D作DF⊥AC于點F，如圖4所示，因為∠AEN=∠MHQ=90°，所以EN∥MH，所以△QEN∽△QHM，因為QN=3QH，所以AN=3HM，設MQ=a，QN=3a，AP=4a，所以tan∠AQN=AN/QN=4/3，因為∠PAQ+∠QAN=∠QAN+∠AQN，所以∠PAC=∠AQN，所以tan∠PAC=tan∠AQN=4/3，因為tan∠C=4/3，所以∠ACB=∠DAC，所以AD=DC，又因為DF⊥AC，所以CF=AC/2=5/2，又因為cos∠C=CF/DC=3/5，可得CD=25/6.

綜上CD的長為25/9或25/6.

評析"本題是在動態背景下的幾何綜合題，整個解題過程均圍繞“特殊角作垂線”這一解題思路作為突破點，其中在第四問中還涉及了分類討論的思想，整體解題過程考察了學生對三角函數、等腰三角形三線合一的特點以及平行構相似等幾何性質的綜合運用與掌握.

結語

隨著新課程、新中考的推進，初中數學越來越重視學生數學思想的培養，基于動態背景的幾何綜合題，從初中數學的基礎情境出發，以螺旋上升式的問題難度，考查學生的思維發散，分層次考查學生的解題能力以及綜合運用能力，整個過程以一個解題思路貫穿全題，全方位考查學生的創新思維，有助于促進學生核心素養的發展.