幾何圖形陰影面積的不同求解方法總結

【摘要】 "幾何圖形的陰影面積求解是初中階段必須掌握的數學問題，不規則的圖形是需要關注的重點.解答初中數學的幾何陰影面積問題，可以運用不同方法，如割補法、和差法等.掌握更多求解方法和思路，有助于更高效地解答相關問題.

【關鍵詞】陰影面積計算；初中數學幾何；解題方法

和差法、割補法都是常見求解幾何圖形面積問題的方法，也同樣適用于幾何圖形陰影面積問題的解答.每種方法對應的解題思路和特點各不相同，需要學習理解掌握.本文結合例題對不同解題方法進行分析，幫助學生更靈活地運用不同方法解答問題.

1"和差法

和差方法具體是指將常見的規則幾何圖形面積進行加減，通過和差形式來表示所求陰影圖形面積大小.這種方法適用于圖形可以直接或間接轉化的面積問題.輔助線的添加，可以使面積求解更有路徑可循，也是解答的關鍵所在.

例1"如圖1所示，邊長為2cm和3cm兩個正方形并排放在一起，則陰影部分的面積是_____cm2.（結果保留π）

分析"首先陰影面積可以用圖形AFEC減去空白圖形EFC得到，此時圖形AFEC是不規則的，不能直接用公式計算，可轉化為梯形AFEB和扇形ABC面積之和，這屬于直接和差方式，通過規則圖形面積加減，即可得到陰影面積大小.

解"因為四邊形BEFH和四邊形ABCD是正方形，

所以BE=EF=2，AB=BC=3，∠OBC=∠FEC=90°，

所以S陰影=S扇形BAC－S△BCO+S△AFO

=S扇形BAC－S△BCO+S△GFO+S△GFA

=S扇形BAC－S△BCO+S正方形BGFE－S梯形BOFE+S△GFA

=S扇形BAC+S正方形BGFE+S△GFA－S△CEF

=90π×32/360+2×2+1/2×2×（3－2）－1/2×2×（3+2）

=9π/4（cm2）.

故陰影面積為9π/4平方厘米.

例2"如圖2，四邊形ABCD是一個正方形，E，D，A，F四點在一直線上，且ED=DA=AF=2厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14）

分析"求解陰影部分面積的思路是用總體面積減去空白部分的規則圖形的面積，和差法適用于該題.

解"由題意得，S△CDE=1/2CD·DE=1/2×2×2=2（cm2），

S正方形ABCD=2×2=4（cm2），

S△ABF=1/2AB·AF=2（cm2），

S陰影=S扇形EDC－S△EDC+S正方形ABCD－S扇形ADC+S△ABF－S扇形AFG

=90×π×22/360－2+4－90×π×22/360+2－45×π×22/360

=243（cm2）.

故陰影部分的面積為243平方厘米.

2"割補法

割補法與和差法相比，具有一定差異，主要體現在對圖形進行平移、旋轉和割補，使不規則復雜的陰影面積問題迎刃而解.割補法適用于直接求面積比較復雜或無法計算的情況，通過對部分圖形的轉變，使求解的圖形面積從不規則到規則，屬于必須掌握的一種面積求解方法.

例3"已知正方形ABCD的邊長為1cm，分別以B，D為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧或畫圓，如圖3所示，求圖中陰影部分所示的圖形的面積.（計算結果保留π）

分析"由于所求陰影面積有一部分不能直接求出，需要考慮添加輔助線將曲線部分一分為二，由于陰影部分屬于軸對稱圖形，只要求出其中一部分面積即可.根據正方形減去扇形的差，求得面積即可得到最終陰影面積的大小.

解"如圖4所示，連接AC，

以點B為圓心，半徑為1cm的弓形面積為：

S1=90/360×π×12－1/2×1×1=π/4－1/2（cm2），

以點D為圓心，半徑為1cm的弓形面積為：

S2=90/360×π×12－1/2×1×1=π/4－1/2（cm2），

S3+S4=S正方形ABCD－（S1+S2）=12－2（π/4－1/2）=2－π/2（cm2），

圓心角為270°，半徑長為1cm的扇形面積為：

270/360×π×12=3π/4（cm2），

所以圖3中陰影部分的面積為：2－π/2+3π/4=2+π/4（cm2）.

上述分別介紹了求解幾何圖形陰影面積問題的不同方法，并且分析了適用范圍以及對應解答思路，不難發現，雖然陰影面積大多數是不規則圖形，但也能通過不同方法對其轉化，從而得到具體值.掌握這些方法的掌握，學生能夠掌握更多解題思路，也能促進學生總結與思考.

參考文獻：

［1］顧勇進.陰影圖形面積的求解思路分析[J].中學數學，2024（12）：105-106.

［2］武云輝.例談初中數學陰影面積的求法[J].考試周刊，2019（21）：110.