初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題障礙與對(duì)策

【摘要】動(dòng)態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)考查的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和幾何知識(shí)，并對(duì)學(xué)生的解題能力和解題思維提出更高的要求.鑒于當(dāng)前初中學(xué)生在解題中面臨的障礙，靈活開展解題教學(xué)已經(jīng)成為一線教師研究的重點(diǎn).本文簡(jiǎn)述初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題中面臨的障礙，并結(jié)合解題實(shí)踐提出針對(duì)性的解題策略，具備一定的參考價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】動(dòng)態(tài)幾何；初中數(shù)學(xué)；解題策略

動(dòng)態(tài)幾何是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中最為重要的組成部分之一，也是初中數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn).就這一類問題而言，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)和幾何基礎(chǔ)知識(shí)、抽象思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等，都提出了更高的要求.就近幾年而言，動(dòng)態(tài)幾何題目中涉及的知識(shí)范圍也越來越廣，命題方向也更加多元化，綜合難度系數(shù)不斷提升.鑒于此，聚焦學(xué)生在動(dòng)態(tài)幾何解題中存在的障礙，優(yōu)化解題教學(xué)策略，已成為當(dāng)前亟待解決的問題.

1"初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題障礙研究

鑒于動(dòng)態(tài)幾何問題的特點(diǎn)，在常規(guī)的解題教學(xué)中，學(xué)生常常面臨著“上課聽得懂，課下做不來題”“毫無頭緒”“邏輯思維混亂”等問題.具體來說，當(dāng)前初中學(xué)生在解題中面臨的障礙主要來源于以下方面：

（1）對(duì)動(dòng)態(tài)幾何概念和性質(zhì)理解不夠到位.在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生由于對(duì)動(dòng)態(tài)幾何概念和性質(zhì)理解不夠到位，以至于其在解題中出現(xiàn)了讀不懂題意、無法挖掘出題目中隱含條件的問題.在這種情況下，學(xué)生在解題中常常毫無解題思路、找不到等量關(guān)系等；

（2）學(xué)生的運(yùn)算能力有待加強(qiáng).在動(dòng)態(tài)幾何問題中，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了更高的要求.但在實(shí)際解題中，部分學(xué)生常常因?yàn)檫\(yùn)算能力低下，以至于其在復(fù)雜的運(yùn)算中常常出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，如求解析表達(dá)式、轉(zhuǎn)換代入計(jì)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤[1].

2"初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題策略

2.1"依托函數(shù)性質(zhì)解決問題

最值問題是動(dòng)態(tài)幾何題目中最為常見的問題.通常，學(xué)生在解決這一類型問題時(shí)，可從函數(shù)的角度出發(fā)，找到題目之間的數(shù)量關(guān)系，科學(xué)設(shè)置參數(shù)，最終根據(jù)所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)或者反比例函數(shù)，基于函數(shù)的具體性質(zhì)，得出最終的答案.需要說明的是，在利用這一方法解決問題時(shí)，關(guān)鍵要關(guān)注自變量的取值范圍，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例1"如圖1所示，已知矩形ABCD，AB=10cm，AD=6cm，E，F(xiàn)為動(dòng)點(diǎn)，分別以1cm/s、2cm/s的速度，沿著AD，DC的方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)ts之后，S△DEF+S△ABE存在最大值，則t的值為（""）

（A）2.""（B）3.""（C）7/2.""（D）11/2.

解析"這是一道常見的動(dòng)態(tài)幾何題目.針對(duì)這一題目的解答，學(xué)生需要從函數(shù)的角度出發(fā)，根據(jù)題目中所給出的已知條件，得出DF=2AE，并求出AE的長(zhǎng)度，之后即可得出S△DEF，S△ABE和AE之間的關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行整理之后，最終形成了一個(gè)關(guān)于AE的二次函數(shù)最值問題，繼而結(jié)合所學(xué)的函數(shù)問題進(jìn)行解答.

設(shè)AE的長(zhǎng)度為x，

則S△ABE=1/2×AB×AE=5x，

S△DEF=1/2×DE×DF=1/2×（6－x）×2x=（6－x）x=6x-x2，

則S△DEF+S△ABE=6x-x2+5x=－x2+11x（0＜x＜6）.

令y=－x2+11x=－（x－11/2）2+121/4（0＜x＜6），

因此，當(dāng)x=11/2時(shí)，在其取值范圍之內(nèi)，S△DEF+S△ABE存在最大值，

又AE的速度為1cm/s，則t=11/2，故（D）選項(xiàng)是正確的.

2.2"基于圖形性質(zhì)解答問題

在解答初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)，依托圖形基本性質(zhì)進(jìn)行解答是最為常用的一種方法.通常情況下，學(xué)生在解答這一問題時(shí)，可靈活借助所學(xué)的三角形、正方形、圓形、菱形等圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答.但學(xué)生在利用這一解題方法時(shí)，必須具備極強(qiáng)的圖形思維、抽象思維，還應(yīng)熟練掌握各種圖形的性質(zhì)[2].

例2"如圖2所示，已知A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，已知直線y=x與x軸的夾角為45°，當(dāng)線段AB最短時(shí)，則點(diǎn)B的（""）

（A）（0，0）.""""（B）（√2/2，-√2/2）.

（C）（-1/2，-1/2）.""（D）（-√2/2，-√2/2）.

解析"這一動(dòng)態(tài)幾何題目，具備一定的綜合性.學(xué)生在認(rèn)真分析和挖掘題目隱含條件的過程中，即可發(fā)現(xiàn)：過A點(diǎn)作AP⊥OB，∠AOP=45°，進(jìn)而得到一個(gè)等腰直角三角形△PAO，之后根據(jù)“點(diǎn)到直線的距離中垂線段最短”這一圖形性質(zhì)進(jìn)行解答.

過A點(diǎn)作AP⊥OB，因?yàn)锳的坐標(biāo)為（-1，0），OA=1，點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，得知∠AOP=45°，因此△PAO為等腰直角三角形.此時(shí)，學(xué)生即可根據(jù)“垂線段最短”圖形性質(zhì)得出：當(dāng)B，P兩點(diǎn)重合時(shí)，AB距離最短，即B的坐標(biāo)為（-1/2，-1/2）.因此（C）選項(xiàng)是正確的.

2.3"基于圖形關(guān)系解決問題

在解答動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)，學(xué)生常常可借助角度、線段之間的關(guān)系，或者是三角形相似、三角形全等、線段平行等關(guān)系進(jìn)行解答.通常，學(xué)生在利用這一方式解決問題時(shí)，必須熟練掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)，并基于題目分析，正確作輔助線，進(jìn)而完成題目的解答.

例3"如圖3所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A，C分別在x，y軸上，當(dāng)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是多少？

解析"這一題目難度系數(shù)比較小，學(xué)生只要讀懂題目，找出其中的隱含條件，即可從圖形關(guān)系的角度出發(fā)，通過作輔助線的方式，利用“三角形三邊關(guān)系”這一圖形關(guān)系進(jìn)行解答.

取AC的中點(diǎn)D，連接OD，BD，

則OD=CD=1/2AC=1/2×4=2.

在Rt△BCD中，

BD=√BC2+CD2=√22+22=2√2，

因此，當(dāng)O，D，B三點(diǎn)共線時(shí)，B到原點(diǎn)O的距離最大，為2+2√2.

3"結(jié)語(yǔ)

綜上所述，動(dòng)態(tài)幾何題目作為高頻考點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、數(shù)學(xué)思維、綜合能力均提出了更高的要求.鑒于當(dāng)前學(xué)生在解題中面臨的困境，教師必須基于動(dòng)態(tài)幾何題目的特點(diǎn)，科學(xué)選擇針對(duì)性的題目，帶領(lǐng)學(xué)生從多個(gè)角度探究尋解題方案，以便于學(xué)生在解題實(shí)踐中，真正提升其解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]王強(qiáng).初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題的解題技巧[J].數(shù)理天地（初中版），2024（21）：16-17.

[2]關(guān)麗娟.初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題常用解題技巧分析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（20）：56-57.

[3]焦多琛.初中動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)難點(diǎn)問題與對(duì)策[J].基礎(chǔ)教育論壇，2022（09）：50-51.