相似三角形中的動點(diǎn)問題分析

【摘要】相似三角形中的動點(diǎn)一般會出現(xiàn)在函數(shù)或幾何題目中，以壓軸題的類型呈現(xiàn)，考查學(xué)生的綜合解題能力和數(shù)學(xué)邏輯能力．在動點(diǎn)問題中，當(dāng)一個或者多個點(diǎn)在運(yùn)動時，解題關(guān)鍵在于如何利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，題目常常涉及動態(tài)變化的幾何關(guān)系，需要運(yùn)用相似三角形的定義和性質(zhì)切入．當(dāng)討論的問題轉(zhuǎn)化為求某一面積或者是某一值的時候，實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)值的問題．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；相似三角形；動點(diǎn)問題

例1"已知拋物線y=－x2+2x+8，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PCC′與△POB相似，且PC與PO是對應(yīng)邊？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解析"（1）想求得B、C的坐標(biāo)，首先根據(jù)題目信息，已知點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．

由此可列出兩個方程式，進(jìn)而求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

令x=0，將x代入到方程y=－x2+2x+8中，解得y=8．

因此，與y軸相交的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）．

令y=0，將y的值代入到方程y=－x2+2x+8中，

解得x=－2，x=4．

由于點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，

所以B點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）．

（2）該題目探究在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PCC′與△POB相似，且PC與PO是對應(yīng)邊．可以假設(shè)點(diǎn)P存在，再尋找具體范圍，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

確定點(diǎn)P存在于y軸中，根據(jù)題意先求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，

已知點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，該拋物線的對稱軸為x=－2/－2=1，

由此可得點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（2，8），根據(jù)相似三角形的定義和性質(zhì)，兩個三角形的三條邊互相成比例，即大小不同，形狀相同．

因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上，

所以∠PCC′=∠POB=90°．

又因?yàn)镻C和PO是對應(yīng)邊，所以△PCC′∽△POB，由對應(yīng)邊成比例可得PC/PO=CC′/OB，

其中CC′=2，OB=4，則可得PC/PO=2/4=1/2，

此時的點(diǎn)P可能處在不同的區(qū)間范圍內(nèi)，需要分段討論．

以點(diǎn)O和點(diǎn)C為分界線，共有三個區(qū)間范圍．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），

①第一種范圍，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方，即ylt;0時，此時PCgt;PO，這和PC/PO=1/2的結(jié)論相矛盾，所以不成立．

②第二種范圍，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O和點(diǎn)C中間，即0lt;ylt;8時，因?yàn)镻C/PO=1/2，可以列方程為8－y/y=1/2，解得y=16/3，因此得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，16/3）．

③第三種范圍，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方，即ygt;8時，此時PClt;PO，可以列方程為y－8/y=1/2，解得y=16，因此得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，16）．

綜上所述，可以得知在y軸上存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，16/3）或（0，16）．

例2"如圖1所示，拋物線y=ax2+4x+c，過點(diǎn)A（6，0），B（3，3/2），與y軸交于點(diǎn)C，連接AB并延長，交y軸于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在線段AC上，如果△OAP和△DCA相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解析"（1）根據(jù)題目已給信息，將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式中，求出a和c的值，即可得到拋物線的表達(dá)式．

將點(diǎn)A（6，0），B（3，3/2），代入到拋物線y=ax2+4x+c中，

可列出兩個方程分別為0=36a+24+c，y=9a+12+c，最終解得a=－1/2，c=－6．

則該拋物線的表達(dá)式為y=－1/2x2+4x－6．

（2）運(yùn)用相似三角形的定義和性質(zhì)證明并解題，先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

已知點(diǎn)C在y軸上，令x=0，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－6），

又因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），可得OA=OC，

因此可得∠OAC=∠OCA=45°，所以△OAP和△DCA存在兩種相似情況，需要分情況討論．

首先，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，由題意得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．

①第一種情況，如圖2所示△OAP∽△DCA．

由相似三角形的性質(zhì)可得到，AO/CD=AP/CA，即6/9=AP/6√2，解得AP=4√2，

則AF=PF=4，所以O(shè)F=2，得到P（2，－4）．

②第二種情況，如圖3所示△OAP∽△ACD．

由相似三角形的性質(zhì)可得AO/CA=AP/CD，即6/6√2=AP/9，解得AP=9√2/2，

則AF=PF=9/2，所以O(shè)F=3/2，

得到P（3/2，－9/2）．

綜上所述，當(dāng)△OAP和△DCA相似時，點(diǎn)P坐標(biāo)為P（2，－4），P（3/2，－9/2）．

結(jié)語

動點(diǎn)問題常在初中數(shù)學(xué)的函數(shù)和幾何板塊作為壓軸題出場，本文講述了如何利用相似三角形來解題，利用相似三角形的定義和性質(zhì)打開思路，尋找突破口．同樣，可以利用題型已經(jīng)給出的題目信息，如與x軸或y軸的交點(diǎn)、圖像上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)等．當(dāng)然，這類題目要注重分類討論，其中包括點(diǎn)P的存在范圍，以及兩個三角形的相似情況．只有掌握重點(diǎn)，才能快速切入突破口，找到答案．