中學(xué)數(shù)學(xué)中三角函數(shù)解題思路的突破

【摘要】本文重點(diǎn)圍繞三角函數(shù)的基本知識(shí)，總結(jié)了常見題型中有效的解題技巧，并對(duì)解題思路進(jìn)行剖析，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合思維，掌握三角函數(shù)的綜合解題技巧.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題策略

1"引言

三角函數(shù)作為數(shù)學(xué)中的重要分支，廣泛應(yīng)用于幾何、物理、工程及計(jì)算機(jī)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域.其解題技巧的掌握，不僅能夠提升解題效率，還能增強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解與應(yīng)用能力.深入研究和總結(jié)三角函數(shù)的常見解題方法，能夠幫助學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜題目時(shí)更加得心應(yīng)手.

2"巧用“托底”，妙解難題

在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或證明過程中，常常需要通過引入分母來簡(jiǎn)化或轉(zhuǎn)換表達(dá)式，尤其是當(dāng)考生需要將含有正切（tan）或余切（cot）與正弦（sin）或余弦（cos）函數(shù)的式子互相轉(zhuǎn)換時(shí).這種添加分母的技巧叫作“托底法”.具體做法如下.

例1"已知：tanα=3，求sinα－3cosα/2sinα+cosα的值.

分析"在求解過程中，表達(dá)式中包含了正切（tg）與余弦（cos）函數(shù)，通常可以通過將分子和分母同時(shí)除以余弦函數(shù)來“引入”正切，從而達(dá)到轉(zhuǎn)換的目的，這就相當(dāng)于“托底”操作.

解"由于tanα=3α≠kπ+π/2cosα≠0，

故，原式=sinα/cosα－3·cosα/cosα/2·sinα/cosα+cosα/cosα=tanα－3/2tanα+1=3－3/2×3+1=0.

例2"設(shè)0lt;xlt;π/2，0lt;ylt;π/2，且sinxsiny=sin（π/3－x）sin（π/6－y），求（tanx－√3/3）（tany－√3）的值.

分析"這道題屬于典型的通過已知的正弦函數(shù)等式求含正切或余切的表達(dá)式的題型.因此，可以使用“托底法”來解答.

解"由已知等式兩邊同除以sinxsiny得：

sin（π/3－x）sin（π/6－y）/sinxsiny=1

sinπ/3cosx－cosπ/3sinx/sinx·

sinπ/6cosy－cosπ/6siny/siny=1

1/4·√3cosx－sinx/sinx·cosy－√3siny/siny=1

1/4（√3cotx－1）（coty－√3）=1

√3/4（cotx－√3/3）（coty－√3）=1

（cotx－√3/3）（coty－√3）=4/3√3.

解題思路總結(jié)

“托底”方法主要用于將含有正弦、余弦函數(shù)的表達(dá)式與含有正切、余切函數(shù)的表達(dá)式相互轉(zhuǎn)換.在正切和余切與正弦、余弦之間存在比值關(guān)系的情況下，可以通過“托底”來實(shí)現(xiàn)它們的互化.

3"形如“acosx±bsinx”通解法

acosx±bsinx的表達(dá)式中，因?yàn)檎液陀嘞业娜≈捣秶际荹-1，1]，所以在處理極值問題時(shí)可以考慮這種形式.然而需要注意的是，不能直接將a當(dāng)作sin A，將 b 當(dāng)作cos A，在某些表達(dá)式中，不能簡(jiǎn)單地設(shè)定sin A = 3，cos A = 4.考慮到正弦和余弦的取值范圍是有限的[-1，1]，可以通過合理的方式處理這些表達(dá)式.

acosx±bsinx=√a2+b2

（a/√a2+b2cosx±b/√a2+b2sinx）

由于（a/√a2+b2）2+（b/√a2+b2）2=1，

故可設(shè)：sinA=a/√a2+b2，

則cosA=±√1－sin2A，

即：cosA=±b/√a2+b2，

所以acosx±bsinx=√a2+b2（sinAcosx±cosAsinx）=√a2+b2sin（A±x）.

無論A±x取何值，-1≤sin（A±x）≤1，

－√a2+b2≤√a2+b2sin（A±x）≤√a2+b2

即－√a2+b2≤acosx±bsinx≤√a2+b2.

下面觀察此式在解決實(shí)際極值問題時(shí)的應(yīng)用.

例3"求：函數(shù)y=√3cos2x－sinxcosx的最大值為（""）

（A）1+√3/2."""（B）√3－1.

（C）1－√3/2."（D）√3+1.

分析"sinxcos=1/2·2sinxcosx=1/2sin2x，再想辦法把cos2x變成含cos2x的式子：cos2x=2cos2x－1cos2x=cos2x+1/2.

于是：y=√3·cos2x+1/2－1/2sin2x =（√3/2cos2x－1/2sin2x）+√3/2，

設(shè)：sinA=√3/2，cosA=1/2，

則y=sinAcos2x－cosAsin2x+√3/2

=sin（A－2x）+√3/2.

無論A-2x取何值，都有-1≤sin（A-2x）≤1，

故－1+√3/2≤y≤1+√3/2，

所以y的最大值為1+√3/2，即答案選（A）.

4"結(jié)語

通過將表達(dá)式中的某些變量轉(zhuǎn)化為含有正弦或余弦的形式，可以限制這些三角函數(shù)的取值范圍（即[-1，1]）來確定整個(gè)表達(dá)式的極值.關(guān)鍵在于，盡管我們可能將某個(gè)變量設(shè)為正弦或余弦的形式，但必須意識(shí)到正弦和余弦的值不能超出[-1，1]的范圍.具體而言，通過設(shè)定合理的替代變量，并將其轉(zhuǎn)化為含正弦或余弦的式子，就可以應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解極值.通過觀察和分析，得出相關(guān)式子中的最大或最小值時(shí)，可以有效利用三角函數(shù)的極值特性來判斷最終的結(jié)果.本文總結(jié)了兩種三角函數(shù)常用的解題技巧，包括“托底”法的應(yīng)用、形如“acosx±bsinx”題型的解決思路，所述不僅有助于簡(jiǎn)化復(fù)雜問題，還能幫助學(xué)生在考試和實(shí)際應(yīng)用中迅速找到解決方案.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣沛辰.數(shù)學(xué)技巧在高中物理解題中的應(yīng)用——以兩道三角函數(shù)習(xí)題為例[J].數(shù)理天地（高中版），2024（14）：129-130.

[2]張建文.三角函數(shù)中求ω的常見類型及解題策略[J].數(shù)理化解題研究，2024（19）：38-41.