二次函數(shù)中參數(shù)問題的求解策略

【摘要】本文系統(tǒng)地探討二次函數(shù)中參數(shù)問題的求解策略.針對初中數(shù)學(xué)中的不同類型參數(shù)問題，主要從定軸動區(qū)間、動軸定區(qū)間、動線定點(diǎn)問題、動點(diǎn)定線問題以及最值問題等幾類典型題型，分析二次函數(shù)圖象隨參數(shù)變化的特性及求解方法，旨在幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)參數(shù)問題的解題思路，提高他們的函數(shù)分析能力.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；參數(shù)問題；初中數(shù)學(xué)

1"引言

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，具有豐富的實(shí)際應(yīng)用.含參函數(shù)以參變量為橋梁，建立了變量與變量的關(guān)系，把多個變量的變化集中在參數(shù)這個變量上，實(shí)現(xiàn)以“靜”（關(guān)系式）制“動”（不確定的點(diǎn)）.在解題時(shí)要注意抓住函數(shù)的特征進(jìn)行研究，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解不同情境下參數(shù)對函數(shù)圖象和性質(zhì)的影響，幫助學(xué)生掌握各類二次函數(shù)參數(shù)問題的求解策略.

2"相關(guān)例題求解策略

2.1"定軸動區(qū)間

當(dāng)二次函數(shù)的對稱軸不變，而自變量取值范圍變化時(shí)，函數(shù)的最值也會隨之變化.這類問題考查學(xué)生在不同取值范圍上分析二次函數(shù)最值的能力，分析取值范圍與對稱軸的相對位置尤其重要.

例1"已知二次函數(shù)y=－x2－2x+3，當(dāng)m≤x≤m+1時(shí)，求函數(shù)的最大值.

解析"首先，將函數(shù)y=－x2－2x+3配方，得y=－（x+1）2+4.

由此可知，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=－1，頂點(diǎn)為（－1，4），在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小.

當(dāng)x=m時(shí)，y=－m2－2m+3；

當(dāng)x=m+1時(shí)，y=－（m+1）2－2（m+1）+3=－m2－4m.

（1）當(dāng)取值范圍在對稱軸的左側(cè)時(shí)：m+1≤－1，即m≤－2；故當(dāng)x=m+1時(shí)，函數(shù)有最大值y=－m2－4m.

（2）當(dāng)取值范圍在對稱軸的右側(cè)時(shí)：m≥－1；故當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)有最大值y=－m2－2m+3.

（3）當(dāng)對稱軸在取值范圍中間時(shí)：mlt;－1lt;m+1，即－2lt;mlt;－1；故當(dāng)x=－1時(shí)，函數(shù)有最大值y=4.

2.2"動軸定區(qū)間

在二次函數(shù)中，若對稱軸可以移動，但取值范圍保持不變，函數(shù)的最值會隨對稱軸位置的變化而變化.此類問題主要考查對稱軸位置變化對函數(shù)圖象的影響，幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的圖象隨參數(shù)變化的規(guī)律.

例2"二次函數(shù)y=x2+mx+2m－4，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)有最小值m，求m的值.

解析"動軸定區(qū)間問題需要通過分類討論來解決.由題可得：拋物線開口向上，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，根據(jù)對稱軸公式可得該二次函數(shù)的對稱軸為直線：x=－m/2.

（1）當(dāng)對稱軸在取值范圍的左側(cè)時(shí)：－m/2≤0，即m≥0；故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值y=2m－4；2m－4=m，解得m=4.

（2）當(dāng)對稱軸在取值范圍的右側(cè)時(shí)：－m/2≥2，即m≤－4；故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值y=22+2m+2m－4=4m；4m=m，解得m=0（舍去）.

（3）當(dāng)對稱軸在取值范圍中間時(shí)：0lt;－m/2lt;2， 即－4lt;mlt;0；故當(dāng)x=－m/2時(shí)，函數(shù)有最小值y=（－m/2）2+m·（－m/2）+2m－4=－1/4m2+2m－4；－1/4m2+2m－4=m，方程無實(shí)數(shù)根.

綜上，m=4.

2.3"參數(shù)定點(diǎn)問題

當(dāng)二次函數(shù)的系數(shù)是參數(shù)時(shí)，若有某個特定的參數(shù)的值，二次函數(shù)就確定，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，二次函數(shù)也隨之變化，但變化的二次函數(shù)是否有共同的特征呢？變化的拋物線是否會經(jīng)過同一點(diǎn)呢？

例3"已知二次函數(shù)y=x2+mx+2m－4，不論m取何值，該二次函數(shù)恒過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo).

解析"函數(shù)過定點(diǎn)，意味著當(dāng)x取特定值時(shí)，y的取值與參數(shù)無關(guān)，常用分離參數(shù)變量法.

y=x2+mx+2m－4=m（x+2）+x2－4，當(dāng)x+2=0，即x=－2時(shí)，y的取值與m無關(guān)，此時(shí)y=（－2）2－4=0，所以函數(shù)過定點(diǎn)（－2，0）.

2.4"最值問題

二次函數(shù)的頂點(diǎn)是其圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對于含參二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)可用含參數(shù)的有關(guān)式子表示，往往也存在最值問題.

例4"已知二次函數(shù)y=x2+mx+2m－4.

（1）求頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最值；頂點(diǎn)是否在定線上運(yùn)動？

（2）若函數(shù)值為非負(fù)數(shù)，求m的值.

解析"（1）拋物線開口向上，拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)的最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值.

對稱軸為x=－m/2×1=－m/2；

頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=4×1×（2m－4）－m2/4×1=－m2+8m－16/4=－（m－4）2/4；

當(dāng)m=4時(shí)，y有最大值為0，無最小值.

令{x=－m/2y=－（m－4）2/4，則m=－2x，代入得y=－（－2x－4）2/4=－（x+2）2.

所以頂點(diǎn)在定拋物線y=－（x+2）2上運(yùn)動.

（2）函數(shù)值為非負(fù)數(shù)，即y≥0，只要滿足函數(shù)的最小值（頂點(diǎn)縱坐標(biāo)）為非負(fù)數(shù)即可；所以－（m－4）2/4≥0，又（m－4）2≥0，所以m=4.

3"結(jié)語

本文通過對二次函數(shù)中參數(shù)問題的深入分析和分類討論，為學(xué)生提供了系統(tǒng)的解題策略.在定軸動區(qū)間、動軸定區(qū)間、動線定點(diǎn)問題、動點(diǎn)定線問題以及最值問題等典型情境下，學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對如何解決含參的二次函數(shù)問題有更深入的了解.本文的探討不僅能夠加強(qiáng)學(xué)生對二次函數(shù)的理解，也有助于增強(qiáng)其邏輯推理和問題解決能力，為進(jìn)一步的函數(shù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

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