初中數學二次函數熱點探究

有關初中數學中的二次函數與物理或平面幾何問題相結合的壓軸題，需要學生在理解題意的基礎上，通過觀察圖形中點、線的內在聯系，分析幾何性質，必要時可以在圖形中添加適當的輔助線，將問題轉化為代數運算來求解.當然，這類題型也需要學生具備扎實的基本功和靈活的思維方式，日常訓練中需要不斷地實踐和總結，學會根據圖形的性質，發現探究的問題之間的聯系，找到求解策略，從而不斷提高學生分析問題和解決問題的能力.

熱點1二次函數在物理中的應用

例1（2024年廣州市第七中學初三月考）某數學小組對數學學習中有關汽車的剎車距離有疑惑，于是他們走進汽車研發中心考察.

【知識背景】“道路千萬條，安全第一條”.剎車后還要繼續向前行駛一段距離才能停止，這段距離稱成為剎車距離，如圖1所示.

【探究發現】汽車研發中心設計了一款新型汽車，現在模擬汽車在高速公路上以某一速度行駛時，對它的剎車性能進行測試，數學小組收集、整理數據，并繪制函數圖象.

發現：開始剎車后行駛的距離y（單位：m）與剎車后行駛時間t（單位：s）之間成二次函數關系，函數圖象如圖2所示.

【問題解決】請根據以上信息，完成下列問題：

（1）求二次函數的解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

（2）若在汽車前60 m處有一測速儀，在汽車剎車過程中，經過多少時間汽車與測速儀相距12 m？

（3）若汽車司機發現正前方80 m處有一輛拋錨的車停在路面，立刻剎車，該車在不變道的情況下是否會撞到拋錨的車？試說明理由.

解析：（1）設二次函數的解析式為y=at2+bt+c.將點（0，0），（1，27），（2，48）的坐標依次代入，可得c=0，

a+b+c=27，

4a+2b+c=48，解得a=－3，

b=30，

c=0.

故二次函數的解析式為y=－3t2+30t.

（2）①當汽車未超過測速儀，且與測速儀相距12 m時，汽車開始剎車后行駛的距離y=60－12=48，依據圖象過點（2，48）可知，當y=48時，t=2.

②當汽車超過測速儀，且與測速儀相距12 m時，汽車開始剎車后行駛的距離y=60+12=72，則可得72=－3t2+30t，解得t1=4，t2=6（不符合，舍去），所以t=4.

綜上可知，汽車剎車過程中，經過2 s或4 s，汽車與測速儀相距12 m.

（3）結論：不會.理由如下：

由（1）知，y=－3t2+30t=－3（t－5）2+75，所以當t=5時，y有最大值75，即汽車剎車過程中最多行駛75 m.又因為75lt;80，所以該車在不變道的情況下不會撞到拋錨的車.

熱點2二次函數在平面幾何中的應用

例2（2024年廣州市白云六中初三檢測）如圖3，拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）P是拋物線上一動點.

①當∠PCA=45°時，求點P的坐標；

②如圖4，當點P運動到拋物線的頂點時，作PD⊥AB于點D，點M在直線PD上，點N在平面內，若以B，C，M，N為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點M的坐標.

解析：（1）由拋物線y=－x2+bx+c經過點A（－1，0），B（3，0），得－1－b+c=0，

－9+3b+c=0，解得b=2，

c=3.

所以所求拋物線解析式為y=－x2+2x+3.

（2）①如圖5，設CP交x軸于點F，過點F作FE⊥BC于點E，則∠FEC=∠FEB=90°.

把x=0代入y=－x2+2x+3，得y=3，則點C（0，3）.點B（3，0），故OB=OC=3，

所以∠OCB=∠OBC=45°，BC=OC2+OB2=32.

當∠PCA=45°時，∠PCA=∠OCB=45°，則∠OCA=∠BCF.

在Rt△AOC中，tan∠OCA=OAOC=13，則tan∠BCF=FECE=tan∠OCA=13.

在Rt△BFE中，∠OBC=45°，則∠BFE=45°.

設FE=x，則BE=FE=x，CE=3x.

于是BC=CE+BE=3x+x=32，解得x=324，所以BE=FE=324，則BF=32，所以OF=OB－BF=3－32=32.故點F32，0，

設直線CP的解析式為y=kx+b（k≠0）.把點C（0，3）和F32，0代入，可得32k+b=0，

b=3，解得k=－2，

b=3，所以直線CP的解析式為y=－2x+3.聯立y=－2x+3，

y=－x2+2x+3，得x1=4，

y1=－5，或x2=0，

y2=3（不符合題意，舍）.故點P（4，－5）.

②設點M（1，m）.

當∠M1CB=90°時，因為∠BCO=45°，則CM1與y軸的夾角為45°，所以m=3+1=4，故點M1（1，4）.

當∠CM2B=90°時，過點C作CH⊥PD于點H，如圖6.由∠CHM2=∠M2DB=90°，可知△CHM2∽△M2DB，則CHM2H=M2DBD，所以1m－3=m3－1，解得m1=3+172，m2=3－172，所以點M21，3+172.M31，3－172.

當∠CBM4=90°時，因為∠CBO=45°，所以∠DBM4=45°，則DM4=BD=2，故點M4（1，－2）.

綜上所述，點M的坐標為（1，4）或（1，－2）或1，3+172或1，3－172.

二次函數與物理問題或平面幾何問題相結合的綜合題，其復雜性和深度確實對學生的數學素養提出了較高要求.這類題目不僅融合了多個數學領域的知識點，還要求學生具備靈活的思維方式和扎實的解題技巧.因此，在日常教學和中考復習過程中要提升學生的綜合解題能力，應當注意以下策略：

（1）強化基礎知識的掌握，確保學生對二次函數基礎知識及平面幾何性質等有清晰、準確的理解.

（2）構建知識網絡，引導學生將所學知識進行系統化、網絡化的整理，形成完整的知識框架.通過思維導圖、概念圖等工具，幫助學生厘清知識點之間的聯系和區別，從而在解題時能夠迅速調取相關知識，形成有效的解題思路.

（3）培養數學思想方法，方程思想、函數思想、分類討論思想及數形結合思想等數學思想方法是解答綜合題的關鍵.在日常教學中，我們應注重這些思想方法的滲透和訓練，讓學生在解決具體問題的過程中體會其魅力，并逐漸掌握其精髓.

（4）加強專題訓練，結合專題知識學習，設計一系列有針對性的練習題，讓學生在實踐中鞏固所學知識，提高解題能力.

（5）提升數學運算能力，數學運算能力是解答綜合題的重要保障.在日常訓練中，應注重培養學生的數學運算能力，包括代數運算、幾何計算等方面.

（6）培養良好的學習習慣和思維品質，良好的學習習慣和思維品質是學生持續進步的關鍵.在日常教學中，應注重培養學生的自主學習能力、合作探究精神和批判性思維等品質.同時，鼓勵學生保持積極的學習態度，勇于面對挑戰和困難.

綜上所述，針對二次函數與平面幾何結合的綜合題的教學和復習工作，我們需要從多個方面入手，全面提升學生的數學素養和解題能力.只有這樣，才能讓學生在中考中取得優異的成績，并為未來的數學學習打下堅實的基礎.