體悟圖形運動巧證三角形全等

摘要：文章從圖形轉換的角度探究證明三角形全等的思路，通過研究圖形運動變化中的變化規律和不變量構建全等三角形模型，滲透模型思想，發展幾何直觀，探討提高邏輯推理能力的有效路徑.

關鍵詞：圖形運動；全等三角形；幾何推理

圖形與幾何是義務教育階段學生數學學習的重要領域，初中階段包括“圖形的性質”“圖形的變化”及“圖形與坐標”三個主題，其中“圖形的變化”以其抽象性和運動性成為學生幾何學習的難點，而圖形的平移、翻折、旋轉等運動變化往往結合三角形等基礎圖形，巧妙利用圖形的運動證明三角形全等是進行幾何推理的有效路徑.

1 平移型全等三角形

通過平移得到全等三角形是全等三角形的證明中比較基礎的題型，解法也相對容易，結合已知條件的不同，可以選擇多種證明方法.

例1如圖1，B，E，C，F在同一條直線上，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF.

求證：AC＝DF.

分析：本題屬于典型的平移模型，在證明三角形全等之前需要先證出三角形的對應邊、對應角相等.一是利用平行線證得同位角∠B＝∠DEF，二是利用BE＝CF證得BE+EC＝CF+EC，即BC=EF.最后根據“角角邊”證得兩個三角形全等，進而由全等三角形的性質得出對應邊AC＝DF.

變式1已知A，D，C，E在同一直線上，BC和DF相交于點O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF.若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度數.

分析：本題解法不唯一，但都需要在圖形中抽象出平移模型，即根據“邊角邊”證△ABC≌△DFE.由全等三角形的性質可將要求的∠DFE轉化為∠B，再根據AB∥DF得到∠B=∠COD，而∠COD是三角形COF的外角，即∠COD=∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°，等量代換為∠DFE=∠B=∠COD=74°.

總結：平移型全等三角形的證明過程并不復雜，關鍵在于從復雜圖形中抽象出平移型的基本模型，明確如何將要求的邊或角轉化為已知條件.通常會綜合考查平行線的性質、線段的和差運算與全等三角形的判定與性質.證三角形全等往往是解決問題的突破口.

2 翻折型全等三角形

翻折型全等三角形包含三類：一類是共邊（或部分共邊）型翻折，其隱藏條件在于公共邊或等邊同加公共邊相等；另一類是共角（或部分共角）型翻折，其隱藏條件是公共角或等角同加公共角相等；第三類是共點型翻折，其隱藏條件往往是對頂角相等.

2.1 翻折前后三角形共邊或部分共邊

例2如圖3，AB＝AC，BO＝CO.

求證：AO平分∠BAC.

分析：本題解題關鍵在于發現AO是△AOB與△AOC的公共邊，可利用“邊邊邊”證得三角形全等，進一步利用全等三角形的性質得到對應角∠BAO與∠CAO相等，從而證得AO平分∠BAC.

共邊型翻折因公共邊的不同可呈現不同的圖形（如圖4～5），另外，翻折方式不同也會呈現不同的圖形（如圖6），但解題思路殊“圖”同歸，都是結合公共邊證全等三角形.

除了兩個三角形有完整的公共邊這一類屬于共邊型翻折，兩個三角形擁有部分公共邊也可看作共邊型翻折.

例3如圖7，點B，E，F，C在同一直線上，AB＝CD，BE＝CF，AF＝DE.

求證：∠OEF＝∠OFE.

分析：由BE＝CF可推出BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，再由“邊邊邊”證得△ABF≌△DCE，進而即可得到對應角∠OEF與∠OFE相等.

變式2如圖8，點A，E，B，D在同一直線上，FE⊥AD，CB⊥AD，AE＝DB，AC＝DF，若∠D＝25°，求∠C的度數.

分析：由AE＝DB可推出AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，再由“HL”證得Rt△ABC≌Rt△DEF，進而得出∠C=∠F.根據直角三角形兩銳角互余，可求出∠C=∠F=90°-∠D.

2.2 翻折前后三角形共角或部分共角

例4如圖9，AB＝AD，∠C＝∠E，∠1＝∠2.

求證：BC＝DE.

分析：根據∠1＝∠2，可得∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，再由“角角邊”證得△ABC≌△ADE.

變式3如圖10，點D在AB上，點E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，BE和CD相交于點O.

求證：OD＝OE.

分析：要證OD＝OE，需要求證△BOD≌△COE，但除了∠B＝∠C和一組對頂角相等，沒有第三組證明條件，因此需要借助公共角∠A先求證△ABE≌△ACD.由“角邊角”求證△ABE≌△ACD后，可推出AD＝AE，繼而推理得到AB-AD＝AC-AE，即BD＝CE，證得這一組對應邊相等可順利求證△BOD≌△COE.

2.3 翻折前后三角形共點

例5如圖11，已知AB＝DC，∠A＝∠D.

求證：∠B＝∠C.

分析：結合隱藏條件對頂角相等，可由“角角邊”證得三角形全等.

變式4如圖11，已知AB＝DC，AC＝DB.

求證：∠B＝∠C.

分析：改變例5中的條件后，無法直接證明三角形全等，此時需要添加輔助線，如圖12構造全等三角形，借助公共邊BC，由“邊邊邊”證得△ABC≌△DCB，進而證得∠A＝∠D，再根據“角角邊”證明△ABE≌△DCE.

總結：翻折型全等三角形的證明突破點在于發現隱藏條件，合理運用公共邊、公共角、對頂角作為證明條件之一，或是根據線段（角）的和差運算推理得新的等量關系，進而證得三角形全等.

3 旋轉型全等三角形

旋轉型全等三角形通常需要在復雜圖形中抽象出全等三角形模型，“手拉手模型”是典型的旋轉型全等三角形，常借助等腰三角形的兩腰相等，再根據“邊角邊”推理三角形的全等關系.

例6如圖13，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，試說明EC與BF的關系.

分析：由題意可知∠EAB=∠CAF=90°，則∠EAB+∠CAB=∠CAF+∠CAB，即∠EAC=∠BAF，根據“邊角邊”可證△AEC≌△ABF，繼而得到EC＝BF.另外線段的位置關系容易被忽略，由∠CAF=90°可知∠AFB+∠AOF=90°，由△AEC≌△ABF可得∠ACE=∠AFB，且∠AOF=∠BOC，因此∠ACE+∠BOC=90°，進而證得∠FMC=90°，即EC⊥BF.

總結：旋轉型全等三角形常與等腰三角形、等邊三角形及正方形等自帶等量關系的圖形相結合，由于圖形復雜，學生難以抽象出旋轉模型.解題時抓住圖形中的等量關系，化未知為已知，方能突破難點，巧妙推理.

全等三角形是初中數學的重要知識，是后續學習圖形相似、圖形位似、四邊形性質等幾何知識的重要基礎，其模型復雜多變，可與圓、坐標系、函數圖象等知識相結合進行綜合考查，從圖形運動的角度探究三角形的全等關系能讓三角形的邊角對應關系更清晰，推理思路更有序.