利用函數(shù)圖象比較大小的方法探究

摘要：利用函數(shù)圖象比較大小，通常是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“坎”.之所以如此，主要是因為其分析過程過于抽象，且學(xué)生對比較大小的方法掌握程度不夠.另外，利用函數(shù)圖象比較大小是中考命題的熱點(diǎn)，在2022年的中考數(shù)學(xué)試卷中多有體現(xiàn).基于此，對函數(shù)圖象中比較大小的方法進(jìn)行分析與探索，最后總結(jié)出相應(yīng)的方法.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；圖象；比較；大小；“蝴蝶法”

在初中階段，學(xué)生先后學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，已經(jīng)對這三類函數(shù)的圖象、性質(zhì)、應(yīng)用等有了一定程度的了解.通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對“利用函數(shù)圖象比較大小”這一類問題難以理解，而它不僅與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)聯(lián)系緊密，而且是中考命題的熱點(diǎn).所以，分析與探究其解決方法非常重要.

1 真題呈現(xiàn)

利用函數(shù)圖象比較大小，在中考數(shù)學(xué)試卷中經(jīng)常出現(xiàn)，不僅有單獨(dú)借助一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象比較大小的問題，也有結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)或一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象比較大小的問題.總之，考查形式靈活多樣，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.例如以下三道題：

例1（2022·天津）若點(diǎn)A（x1，2），B（x2，-1），C（x3，4）都在反比例函數(shù)y=8x的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）.

A.x1＜x2＜x3B.x2＜x3＜x1

C.x1＜x3＜x2D.x2＜x1＜x3

例2（2022·陜西）已知二次函數(shù)y=x2-2x-3的自變量x1，x2，x3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3，當(dāng)-1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（）.

A.y1＜y2＜y3B.y2＜y1＜y3

C.y3＜y1＜y2D.y2＜y3＜y1

例3（2021·賀州）如圖1所示，已知拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m交于A（-3，y1），B（1，y2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+c≥-kx+m的解集是（）.

A.x≤-3或x≥1

B.x≤-1或x≥3

C.-3≤x≤1

D.-1≤x≤3

2 解法分析與探究

既然“利用函數(shù)圖象比較大小”是中考命題的“香餑餑”，而由于其難度較高導(dǎo)致學(xué)生解決這類問題的準(zhǔn)確率偏低，那么該如何解決該類問題呢？

接下來，將結(jié)合例題從單個函數(shù)圖象和多個函數(shù)圖象兩個方面來分析與探究其解法.

2.1 單個函數(shù)圖象

從上文列舉的中考真題來看，有些“利用函數(shù)圖象比較大小”的問題是借助單個圖象進(jìn)行分析，如例1和例2.其解析如下：

例1解析：因為k=8＞0，所以y=8x的圖象經(jīng)過一、三象限，且在每個象限中，y隨x的增大而減小.比較A，B，C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)-1＜2＜4，所以x2＜x3＜x1.還可以利用圖象法分析，如圖2所示，將A，B，C三個點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出后，就不難發(fā)現(xiàn)這三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小為x2＜x3＜x1.

故選：B.

例2解析：可先根據(jù)解析式畫出圖象，然后根據(jù)“-1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3”在x軸上找到x1，x2，x3的大致位置，最后找到相應(yīng)的函數(shù)值比較它們的大小.如圖3，結(jié)合圖形的對稱性，由-1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，可知y2＜y1＜y3.

故選：B.

2.2 多個函數(shù)圖象

多個函數(shù)圖象同時出現(xiàn)的情況比較多見，其解決大小比較問題的方法與單個函數(shù)圖象的情況不同.這里以一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合、一次函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合為例進(jìn)行分析.

2.2.1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合

一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象結(jié)合后，會將平面直角坐標(biāo)系分為若干不同的區(qū)域，學(xué)生往往無法找準(zhǔn)在哪個區(qū)域分析[1].那么，該如何利用這樣的函數(shù)圖象比較大小呢？見下題：

例4如圖4，一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù)y2=k2x的圖象交于點(diǎn)P（-2，1）和Q（1，-2）.觀察圖象并回答：當(dāng)x為何值時，（1）y1=y2？（2）y1＞y2？（3）y1＜y2？

解析：首先，如圖5過交點(diǎn)P，Q分別作x軸與y軸的垂線，將整個圖分成了若干區(qū)域，然后在二、四象限選擇左右區(qū)域.如果y1=y2，則是一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象相交的點(diǎn)，此時x=-2或1；如果y1＞y2，則是一次函數(shù)圖象在上方、反比例函數(shù)圖象在下方的區(qū)域，此時x＜-2或0＜x＜1；如果y1＜y2，則是反比例函數(shù)圖象在上方、一次函數(shù)圖象在下方的區(qū)域，此時-2＜x＜0或x＞1.總之，誰的圖象在上方，則誰對應(yīng)的y值就更大.

2.2.2 一次函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合

一次函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合形成的圖象相對更加復(fù)雜，找準(zhǔn)區(qū)域并在其中比較大小仍是難題.下面仍以一道例題分析其解決過程：

例5已知拋物線y=a（x-2）2+1經(jīng)過點(diǎn)（1，0）.

（1）求a的值；

（2）若直線y=x-3與該拋物線相交，當(dāng)x為何值時a（x-2）2+1＞x-3？

解析：（1）將（1，0）代入即可求出a值為-1.

（2）由（1）知y=-（x-2）2+1，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，如圖6.然后過兩圖象的交點(diǎn)（3，0）作x軸的垂線，y軸和此垂線將整個圖分成了左、中、右三個區(qū)域，根據(jù)需要應(yīng)選擇中間部分進(jìn)行分析，可知1＜x＜3為所求.

3 解法總結(jié)

如果是利用單個圖象比較大小，則只需將點(diǎn)中的橫坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫出，然后得到相應(yīng)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)“越靠近正方向則越大”判斷大小;或者將點(diǎn)中的縱坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫出，然后得到相應(yīng)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)“越靠近正方向則越大”判斷大小[2].

如果是多個函數(shù)圖象的結(jié)合，那么這類比較大小問題的解決步驟是：

首先，作垂線.如圖5中分別過交點(diǎn)作x軸與y軸的垂線.

其次，選區(qū)域.根據(jù)y1與y2的大小選擇區(qū)域，其原則是“誰的圖象在上方則誰大”.

再次，看數(shù)值.查看交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，以此作為取值范圍的界限.

最后，寫范圍.根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)寫出取值范圍.這里需注意兩個問題：第一，如果是一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合，如圖5中，0＜x＜1和-2＜x＜0中的0＜x和x＜0不可遺漏；第二，如果是一次函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合，如圖6中，中間區(qū)域的取值范圍的界限即為兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在的直線.

綜上所述，利用函數(shù)圖象比較大小雖然復(fù)雜，但只要掌握了方法，其實(shí)也非常簡單.筆者認(rèn)為，抓住“誰的圖象在上方則誰大”的原則和利用兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在的直線作為取值范圍的界限，是解決這一類問題的制勝法寶.

參考文獻(xiàn)：

[1]他維武.利用“蝴蝶法”求解一次函數(shù)自變量取值范圍[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（20）：8081.

[2]張曉林，左金坤.用“切割法”比較函數(shù)值的大小[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2006（12）：910.