從原型向中考拓展

摘要：通過近年來各地中考數學試卷的對比分析可以發現，注重教材原型并在此基礎上拓展依然是中考復習的重要方法.這就意味著，一線教師在中考復習時仍應以課本原型例題、練習作為思維拓展的基礎，并謹遵新課程標準.為此，本文中以北師大版教材為準，以平行四邊形的性質與判定為例，從兩道課本習題出發談一談與之對應的中考熱點及解題策略.

關鍵詞：平行四邊形；思維；變式；解題策略

一線教師在進行中考復習時都有過這樣的體驗，很多中考題其實是在課本例題、練習的基礎上通過變式等方法得到的[1].這為教師更高效地進行中考復習提供了良好的思路或方向，即從原型向中考拓展.基于此，本文中先呈現兩道中考題，然后分別挖掘它們在教材中的原型，并在此基礎上采用變式的方法進行拓展，以達到訓練思維、探尋解題策略的目的.

1 呈現真題，展示熱點

題1（四川瀘州中考）四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O.下列四組條件中，一定能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）.

A.AD∥BC

B.OA=OC，OB=OD

C.AD∥BC，AB=DC

D.AC⊥BD

題2（青海中考）如圖1，在ABCD中，點E，F在對角線AC上，且AE=CF.求證：（1）DE=BF；（2）四邊形DEBF是平行四邊形.

2 剖析真題，探析原型

2.1 剖析真題

首先，真題1是一道關于平行四邊形的判定的題目.這種題目學生容易做錯，因為他們可能會將性質和判定混淆，也可能會將幾個判定的條件相互混淆，如“對角線相等的四邊形是平行四邊形”就是非常典型的錯誤類型.下面是對真題1的解析：

解析：對于選項B，由OA=OC，OB=OD，可知四邊形ABCD是平行四邊形，所以選項B正確.而其余幾個選項都不能判定四邊形ABCD是平行四邊形.

其次，真題2也考查到了平行四邊線性的性質與判定，利用了“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這條判定.當然，真題2還利用了全等三角形.由此可見，掌握一些基礎知識是解決綜合性問題的重要前提[2].下面是對真題2的解析：

證明：（1）連接BD，與AC相交于點O，如圖2所示.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以OA=OC，OB=OD.因為AE=CF，所以可得OE=OF.由于∠DOE和∠BOF是一組對頂角，所以∠DOE=∠BOF.于是，證得△DOE≌△BOF.最后，根據全等三角形的性質得到DE=BF.

（2）由（1）易得OB=OD，OE=OF，所以根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可證得四邊形DEBF是平行四邊形.

2.2 真題原型及其解析

從這兩道中考真題不難發現它們的共同點，就是都對平行四邊形的性質與判定進行了比較基礎的考查.同時，這兩道真題在北師大版教材中都能找到原型.原型及其分析如下：

2.2.1 真題1的原型及其解析

真題1的原型是北師大版數學八年級下冊第148頁習題6.5的第1題，內容及解析過程如下：

已知：在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：如圖3所示，連接AC.

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA.

又AC=CA，

∠D=∠B，

∴△BAC≌△DCA.

∴AB=CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

2.2.2 真題2的原型及其解析

真題2的原型是北師大版數學八年級下冊第144頁的例2，內容及解析過程如下：

已知：如圖4所示，E，F是ABCD對角線AC上的兩點，且AE=CF.

求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

證明：如圖5所示，連接BD，交AC于點O.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD.

∵AE=CF，

∴OA-AE=OC-OF.

∴OE=OF.

∴四邊形BFDE是平行四邊形.

3 變式拓展，訓練思維

緊抓課本基礎原型從而高效解決中考真題固然重要，但適當進行變式拓展，讓學生的思維得到訓練也非常重要[3].所以，結合以上兩道真題及它們的原型題在考點方面體現出來的特點，筆者將之進行如下的變式：

變式如圖6所示，M，N是ABCD對角線BD上的兩點.

（1）若BM=DN，求證：四邊形AMCN為平行四邊形；

（2）若M，N為對角線BD上的動點（均可與端點重合）.設BD=12 cm，點M由點B向點D勻速運動，速度為2 cm/s，同時點N由點D向點B勻速運動，速度為a cm/s，運動時間為t s.若要使四邊形AMCN為平行四邊形，求a的值及t的取值范圍.

分析：本題第（1）小題與真題2原型題解法類似，故不過多展開；對于第（2）小題，需在平行四邊形ABCD的基礎上根據其性質得到對角線互相平分，然后要使得四邊形AMCN為平行四邊形，也只需根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來實現，進而得到BM=DN，于是a=2.當點M，N重合于點O，即t=BDa+2=124=3時，點A，M，C，N在同一條直線上，此時不能組成四邊形;當點M由點B運動到點D時，t=122=6.所以，當0≤t＜3或3＜t≤6時，四邊形AMCN為平行四邊形.

4 反思與總結

中考試題中有些知識點之所以會成為命題熱點，主要有以下幾個方面的原因：

首先，知識點比較基礎，便于考查，能讓數學思維和課標理念得到充分體現；

其次，以新課標及“雙減”政策的導向作用為主的綜合性問題會層出不窮，但整體偏向于低難度；

再次，知識點與知識點之間的融合點更多，在形成知識網絡的前提下，利用像“變式”這樣的綜合性問題考查能達到一舉多得的效果.

基于此，筆者認為教師在進行中考復習時應注意以下幾點：

第一，以新課標和“雙減”政策作為導向，優化課時設計，精簡作業設計，構建更高效的數學課堂[4].特別要注意學生的錯題訂正，不放過任何一處“短板”，彌補漏洞，夯實基礎.

第二，注重基礎知識的同時，也要重視思維拓展.本文建議一線教師要重視課本例題中所蘊含的方法與思想的滲透，不拘泥于解題數量，大膽嘗試將題中某個條件改變，從而以變式激發學生的思維，培養學生更好的學習品質.

總之，很多中考真題是教材例題或練習的變式.教師的教和學生的學、練要結合起來，讓學生有更多機會深入思考和分析.這樣一來，教師的教法更高明、高效，學生的學習更有效、有動力.

參考文獻：

[1]韓建.逆向思考探新知，殊途同歸求簡化——以“平行四邊形的判定”教學為例[J].中學數學，2016（18）：68.

[2]雒相維.立足教材原型 創新試題命制 一道中考模擬試題的命制過程與啟示[J].青少年日記（教育教學研究），2015（1）：139.

[3]孫海波.從教材練習題到中考題——兼談中考復習[J].試題與研究（教學論壇），2012（6）：36.

[4]許小燕.平面幾何命題建議：回歸教材與堅守課標——從2018年北京中考卷第27題說起[J].中學數學，2018（16）：2728.