巧構(gòu)相似妙建方程

摘要：以蘇州市2022年中考第26題為例，利用目標(biāo)角直接構(gòu)造或轉(zhuǎn)化角等方式構(gòu)造三角形相似，建立參數(shù)方程，產(chǎn)生多種解法.通過分析解法的自然生成過程，形成一類問題的解題路徑，凸顯試題價(jià)值導(dǎo)向功能.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造相似；含參方程；解題研究

含參問題通常是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的一個(gè)難點(diǎn)，也是中考?jí)狠S題中的一類熱點(diǎn)問題，往往通過構(gòu)建含參的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型解決問題.若一個(gè)角的三角函數(shù)可以用含參代數(shù)式來表示，則不妨定義此類角為含參角.面對(duì)這類幾何問題，學(xué)生往往覺得看似簡(jiǎn)單，但又無從下手.蘇州市2022年中考第26題就是這樣一道典型的構(gòu)造相似處理含參角的綜合問題，具有一定的試題導(dǎo)向價(jià)值.

1 試題呈現(xiàn)

（2022年蘇州中考第26題）如圖1，二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F.連接AC，BD.

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求∠OBC的度數(shù)；

（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；

（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象上，始終存在一點(diǎn)Q，使得∠ACQ＝75°，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的取值范圍.

2 解法賞析

“含參”是本試題設(shè)計(jì)的一條明線.第（1）小題，對(duì)于y=-x2+2mx+2m+1，可以分別令y=0，x=0，即可解得A（-1，0），B（2m+1，0），C（0，2m+1）.再由點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)可知OB=OC，所以∠OBC=45°.第（3）小題，由∠ACQ＝75°得到∠ACB大于75°，將其轉(zhuǎn)化為∠ACO大于30°，再將角度取值轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的取值，從而求得參數(shù)取值范圍.本文中重點(diǎn)對(duì)第（2）小題中含參角的處理進(jìn)行探究.

2.1 利用角直接構(gòu)造相似

思路一：鎖定∠ACO所在的△ACO為模塊，利用“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)直接構(gòu)造含∠CBD的三角形與其相似.

解法1：如圖2，過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作MN⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥MN于點(diǎn)N，易得△DNP∽△PMB.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，0），則DN＝NP＝m-n，BM＝PM＝2m＋1-n.由tan∠DBC=12m+1，可得DPBP=NDPM=12m+1，由PN+MP＝DF，可得（m-n）+（2m+1-n）=（m+1）2，所以可以列出方程組m-n2m+1-n=12m+1，

（m-n）+（2m+1-n）=（m+1）2，解得m=1.

解法2：如圖3所示，過點(diǎn)C作CP⊥BC交直線BD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PN⊥y軸、PM⊥x軸于點(diǎn)N，M，容易得到△PNC∽△COB.由tan∠DBC=12m+1，得CPBC=NPCO=CNBO=12m+1，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2m＋2）.由點(diǎn)B，D，P三點(diǎn)共線，圖4得DFPM=FBMB，列出方程m2+2m+12m+2=m+12m，解得m=1.

解法3：如圖4，過點(diǎn)E作EP⊥BC交BD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PN⊥DF，PM⊥x軸于點(diǎn)N，M，易得△PNE∽△EFB.由tan∠DBC=12m+1得PEBE=NPEF=12m+1，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為m+m+12m+1，m+1+m+12m+1.根據(jù)B，P，D三點(diǎn)共線，可得到PMDF=MBFB，列出方程m+1+m+12m+1（m+1）2=2m+1-m+m+12m+1m+1，解得m=1.

思路二：鎖定∠CBD所在的△EDB為模塊，直接構(gòu)造含∠ACO的三角形與其相似.

解法4：如圖5，在y軸取一點(diǎn)P，使得OP＝OA，則∠CPA=∠DEB＝135°，易得到△ACP∽△DBE，則CPBE=APDE，列出方程2m2（m+1）=2（m+1）2-（m+1），解得m=1.

思路三：依托x軸（一線）及∠CBD，利用“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)，直接構(gòu)造兩個(gè)三角形相似.

解法5：如圖6，在x軸正、負(fù)半軸各取一點(diǎn)M，N，使得∠CNO＝∠DMF＝∠ACO.

由tan∠ACO=12m+1，易得N（-（2m+1）2，0），M（m+（m+1）2（2m+1），0），于是根據(jù)△NCB∽△MBD，可得NBCB=DMDB，列出方程（2m+1）2+（2m+1）2（2m+1）=（m+1）2（2m+1）2+1（m+1）（m+1）2+1，解得m=1.

評(píng)析：此題在求解過程中，先拋開“函數(shù)”的外衣，借助各種圖形結(jié)構(gòu)，直接利用含參角構(gòu)造三角形相似，結(jié)合相似的性質(zhì)構(gòu)建含參方程，但所列方程的繁易程度大相徑庭.譬如，思路一中的3種解法，看似都是利用含參角直接構(gòu)造“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)，列出含參方程，從繁易程度看，顯然解法2較為簡(jiǎn)單.巧在哪？原來在構(gòu)造“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)時(shí)最好以已知坐標(biāo)的點(diǎn)（點(diǎn)C）為直角頂點(diǎn)作垂線.思路二則巧妙利用圖形中隱藏的135°特殊角（∠DEB），直接構(gòu)造一個(gè)含∠ACO及135°角（∠APC）的三角形與△DEB相似，這也是處理角構(gòu)造相似三角形的常見解法.思路三中，利用更一般的“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)，直接構(gòu)造三角形相似，思路清晰，但計(jì)算量較大，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高要求.

2.2 轉(zhuǎn)化角構(gòu)造相似

思路四：錨定與∠DBE相鄰的45°角（∠EBF），得到∠DBF所在的△DBF，以C為頂點(diǎn)，∠ACO的一邊向外構(gòu)造一個(gè)45°的角，產(chǎn)生以下兩種方法.

解法6：如圖7，連接AE，由拋物線的對(duì)稱性易得∠AEC＝90°，易證得∠ACE=∠DBF.根據(jù)tan∠DBF=m+1及tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1m，列出方程m+1m=m+1，解得m=1.

解法7：如圖8所示，以C為頂點(diǎn)，AC為邊作∠PCA＝45°，過點(diǎn)A作AP⊥CA交CP于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PN⊥y軸、PM⊥x軸于點(diǎn)N，M，易得△PMA≌△AOC，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)（-2m-2，1）.由tan∠DBF=m+1及tan∠PCN=PNCN=m+1m，列出方程m+1m=m+1，解得m=1.

評(píng)析：這一思路是通過原題中隱含一個(gè)45°角（∠EBF），通過角度相加把∠DBC轉(zhuǎn)化為∠DBF，鎖定Rt△DBF，構(gòu)造一個(gè)與其相似的三角形.解法6借助圖中45°角（∠OCB），結(jié)合拋物線的對(duì)稱性構(gòu)造Rt△ACE∽R(shí)t△DBF，利用相似的性質(zhì)構(gòu)建的含參方程相對(duì)簡(jiǎn)便，但這主要依賴于題目數(shù)據(jù)的特殊性.解法7恰好彌補(bǔ)了這一缺陷，先利用“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)（Rt△ACO≌Rt△PAM），直接構(gòu)造出Rt△PCN∽R(shí)t△DBF，構(gòu)建含參方程，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)便.由此看來，在轉(zhuǎn)化角的過程中，要充分借助水平或豎直的線為邊，結(jié)合“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)，以便于用含參代數(shù)式表示相關(guān)線段，這是處理此類含參角問題的一種通性通法.

思路五：通過作平行線轉(zhuǎn)化含參角，構(gòu)造“母子型”相似圖形結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生以下兩種方法.

解法8：如圖9，過C作CM∥BD交x軸于點(diǎn)M，由tan∠CMO=COOM=m+1得M2m+1m+1，0，易證△CAM∽△BAC，得AC2=AM·AB，列出方程12+（2m+1）2=2m+1m+1+1·（2m+2），解之得m=1.

解法9：如圖10，過B作BN∥AC交DF延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則有∠FBN＝∠CAO，所以tan∠FBN=FNFB=2m+1，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-（2m+1）·（m+1））.易證△BDE∽△NDB，可得BD2=DE·DN，可列出方程（m+1）2+（m+1）4=［（m+1）2-m-1］·［（m+1）2+（2m+1）·（m+1）］，解得m=1.

思路六：通過作平行線轉(zhuǎn)化含參角，利用“一線三等角”圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)建含參方程.

解法10：如圖11，過B作BP∥AC，過點(diǎn)D作DP⊥BD交BP于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PN⊥DF，PM⊥x軸于點(diǎn)N，M，易證△PND≌△DFB，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+（m+1）2，（m+1）2+m+1），易證△CAO∽△PBM，則COOA=PMBM，即2m+11=（m+1）2+m+1m+（m+1）2-（2m+1），解得m=1.

評(píng)析：這一思路主要借助作平行線轉(zhuǎn)化角，聯(lián)想常見的基本圖形，構(gòu)造相似三角形.解法8借助圖中45°角（∠CBA），通過作BD∥CM，對(duì)∠CBD進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖形的特殊性產(chǎn)生了一個(gè)45°角（∠ACM），利用“母子型”相似圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)建含參方程.這種構(gòu)造方式主要依賴于題目中45°特殊角，而解法9就彌補(bǔ)了這一缺陷，通過作BN∥AC，對(duì)∠ACO進(jìn)行轉(zhuǎn)化，仍舊巧秒利用“母子型”相似圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)建含參方程.解法10是通過作BP∥AC，對(duì)∠ACB進(jìn)行轉(zhuǎn)化產(chǎn)生一個(gè)新的45°特殊角（∠DBP），借助“一線三等角”全等圖形結(jié)構(gòu)得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)相似（△CAO∽△PBM）構(gòu)建含參方程.在利用平行線轉(zhuǎn)化角這一視角下，以上幾種解法所列方程看似較為復(fù)雜，但若在運(yùn)算過程中會(huì)用整體的眼光觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，巧妙運(yùn)用因式分解、約分等技巧，則能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.總之，解法9與解法10也是解決含參角問題的一種通性通法.

3 變式拓展

變式如圖12，二次函數(shù)y=-34（x+1）（x-4m）（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F.連接AC，BD.

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求tan∠OBC的值；

（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值.

設(shè)計(jì)意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在實(shí)際情境中，能夠把握研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征，感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，能夠在解決相似問題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法［1］.通性通法是解決一類問題的基本方法，往往具有很強(qiáng)的通用性、普適性.在處理含參角問題的過程中，可以通過直接構(gòu)造或轉(zhuǎn)化角等方式構(gòu)造相似三角形，構(gòu)建含參方程.原題中隱藏了45°特殊角（∠CBO，∠OCB），前文中解法6與解法9正是借助45°特殊角構(gòu)造基本相似形，而此變式問題中，將∠CBO=∠OCB=45°改變?yōu)閠an∠OBC=34，

特殊角消失了，這樣以上兩種解法中的輔助線顯然無法構(gòu)造三角形相似，但其他解法仍舊適用，尤其解法7的構(gòu)造最為簡(jiǎn)便通用，如圖13所示.通過這種圖形一般化變式下的解法分析，可以得到處理此類含參角問題的通性通法.

4 結(jié)束語

波利亞的數(shù)學(xué)教育思想中包含這樣一個(gè)基本觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)具有雙重性——數(shù)學(xué)既是演繹科學(xué)，又是歸納科學(xué).數(shù)學(xué)解題過程中，常常以“基礎(chǔ)知識(shí)（概念、定理等）、基本圖形（特殊幾何模型）、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”為立足點(diǎn)，自然生成解題策略.本文在處理角的過程中，從角的存在性條件出發(fā)，借助于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)直接利用角或轉(zhuǎn)化角等方式構(gòu)造“一線三等角”“母子型”相似等圖形結(jié)構(gòu)，通過演繹推理自然生成多種解題思路，形成處理含參角問題的一般路徑（如圖14），歸納出解決此類問題的通性通法.

總之，在解題過程中，盡可能從基礎(chǔ)條件出發(fā)，借助基本圖形直觀想象，探尋解題思路，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，運(yùn)用演繹推理進(jìn)行驗(yàn)證，歸納通性通法，形成一般規(guī)律，積累和豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力，以達(dá)到做一題，會(huì)一類，通一片.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.