初中數(shù)學直角三角形試題情境分析及教學啟示

摘要：情境是試題研究的重要內(nèi)容之一.文章以近三年江蘇省淮安市中考數(shù)學直角三角形試題為研究對象，對試題情境進行分析和比較，得出三點教學啟示來優(yōu)化現(xiàn)有教學.

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學；情境分析；教學啟示

研究近三年江蘇省淮安市中考數(shù)學直角三角形試題情境分析及教學啟示的意義在于，通過深入分析具體試題情境，可以揭示學生在實際應用中的理解和運用能力，同時為教師提供針對性的教學策略，幫助他們更好地引導學生掌握直角三角形的相關(guān)知識，提升解題能力和數(shù)學素養(yǎng).這種研究不僅有助于優(yōu)化教學內(nèi)容和方法，還能為學生的學習提供更具針對性的支持，從而促進其綜合素質(zhì)的發(fā)展.

1 湖邊觀景棧道的測距問題

（2022年江蘇省淮安市中考數(shù)學第23題）如圖1，湖邊A，B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計算A，B兩點之間的距離，經(jīng)測量得∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80 m，求A，B兩點之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60.）

試題分析：該題通過實際情境中的觀景棧道，要求學生運用幾何知識解決日常生活中常見的距離測量問題.題目涉及角度和邊長的測量，促使學生結(jié)合三角函數(shù)及直角三角形的特性進行分析.該題不僅考查學生對三角函數(shù)的掌握程度，也考查他們將幾何與實際相結(jié)合的能力，強調(diào)了數(shù)學在生活中的應用價值.

本題考查了學生的空間想象能力和推理能力.在解決問題的過程中，學生需理解并運用直角三角形的性質(zhì)，通過已知的角度和邊長，靈活運用三角函數(shù)求解.在解析過程中，學生還需具備一定的圖形繪制能力，能夠準確構(gòu)建輔助線和相關(guān)三角形，從而明確各邊之間的關(guān)系.此外，題目設置了多層次的解題步驟，要求學生不僅能計算出單條邊的長度，還要綜合考慮整個結(jié)構(gòu)的完整性.這種多步驟的解題過程，有助于培養(yǎng)學生的分析和綜合能力，使他們在面對復雜問題時能夠理清思路，靈活運用數(shù)學工具進行解決.

2 古塔測高與底面圓半徑的實際測量問題

（2023年江蘇省淮安市中考數(shù)學第23題）根據(jù)以下材料，完成項目任務.

項目：測量古塔的高度及古塔底面圓的半徑；測量工具：測角儀、皮尺等；說明：如圖2，點Q為古塔底面圓圓心，測角儀高度AB=CD=1.5 m，在點B，D處分別測得古塔頂端的仰角為32°，45°，BD=9 m，測角儀CD所在位置與古塔底部邊緣距離DG=12.9 m.點B，D，G，Q在同一條直線上.參考數(shù)據(jù)：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625.

項目任務：（1）求出古塔的高度；（2）求出古塔底面圓的半徑.

試題分析：本題通過測量古塔高度和底面圓的半徑，體現(xiàn)了數(shù)學知識在實際測量中的重要性.通過設定測量工具的高度和測角儀的角度，學生能夠直觀地理解三角函數(shù)在高程測量中的應用.題目中包含的具體測量數(shù)據(jù)和仰角信息，要求學生運用三角函數(shù)進行計算，展示了數(shù)學與工程技術(shù)的結(jié)合.與2022年試題的情境相比，2023年的題目更側(cè)重于動態(tài)測量和多點觀察，增加了復雜性和實踐性.2022年的題目主要關(guān)注單一高度的計算，而2023年的題目不僅需要學生考慮高度，還要結(jié)合底面半徑的測量，使得問題更綜合，提升了對學生幾何知識的應用能力以及解決實際問題的能力要求.

本題考查了學生的邏輯推理能力和綜合應用能力，要求學生分析多點測量數(shù)據(jù)，建立三角函數(shù)關(guān)系來解決實際問題.任務分為兩部分，首先是求出古塔的高度，然后是底面圓的半徑，這一過程不僅考驗學生的計算能力，還需要他們理解高度與仰角之間的關(guān)系.相較于2022年，2023年的題目更加注重從多個角度獲取信息，促使學生培養(yǎng)全面分析問題的能力.這種多維度的解題策略鼓勵學生在不同條件下靈活運用數(shù)學知識，提升他們的思維深度和解決問題的能力.通過對仰角和測量距離的結(jié)合，學生能夠理解數(shù)學概念在實際生活中的應用，增強了學習的趣味性和實用性，為今后的學習打下堅實基礎.

3 拉桿箱高度調(diào)節(jié)的幾何問題

（2024年江蘇省淮安市中考數(shù)學第23題）拉桿箱是外出旅行的常用工具.某種拉桿箱（如圖3）示意圖如圖4和圖5所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形BCDE，BC的長度為60 cm，兩節(jié)可調(diào)節(jié)的拉桿長度相等，且與BC在同一條直線上.如圖4，當拉桿伸出一節(jié)（AB）時，AC與地面的夾角∠ACG=53°；如圖5，當拉桿伸出兩節(jié)（AM，MB）時，AC與地面的夾角∠ACG=37°.兩種情況下拉桿把手點A距離地面高度相同.求每節(jié)拉桿的長度.（參考數(shù)據(jù)：sin 53°≈45，sin 37°≈35，tan 53°≈43，tan 37°≈34.）

試題分析：本題通過拉桿箱這一普遍使用的旅行工具，引入拉桿的調(diào)節(jié)機制與角度變化，展示了數(shù)學在日常生活中的應用.題目設定了拉桿的長度和傾斜角度，要求學生計算相同高度下的不同拉桿狀態(tài)，體現(xiàn)了幾何知識的實用性.箱體的矩形截面與角度變化結(jié)合，使學生能夠在實際情境中理解三角函數(shù)的應用，培養(yǎng)了他們的空間思維能力.與2023年和2022年相比，本題更加關(guān)注動態(tài)調(diào)整，要求學生在變化的條件下進行分析，增加了題目的復雜性和趣味性.2022年的古塔測量側(cè)重于靜態(tài)高度，而2023年的題目則引入了角度和高度的綜合分析，提升了對學生解決實際問題的能力要求.

本題不僅考查了學生的邏輯推理能力，也強調(diào)了綜合應用數(shù)學知識的重要性.學生需設定未知量，分別計算不同情況下的高度，建立等式以求解每節(jié)拉桿的長度.這一過程要求學生熟練運用三角函數(shù)，理解并運用幾何模型來進行有效的推理和計算.相比于2023年的題目，2024年在情境設定上更具挑戰(zhàn)性，涉及多個角度和拉桿的伸縮變化，促使學生更加靈活地思考解決方案.在應對復雜的動態(tài)情境時，學生不僅需要提高計算能力，也要培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.這樣的綜合考查有助于學生加深對數(shù)學概念的理解，提升實際應用能力，為他們未來的學習和生活提供了寶貴的實踐經(jīng)驗，同時強化了數(shù)學與現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系.

4 試題情境分析下的教學啟示

4.1 情境導入與生活實際的緊密結(jié)合

2022年至2024年的江蘇省淮安市中考數(shù)學第23題題都緊扣生活中的實際情境，展現(xiàn)了數(shù)學與日常生活的密切關(guān)系.這種情境設計不僅使學生能夠看到數(shù)學的實用價值，還能激發(fā)他們的學習興趣.在實際教學中，教師應當利用身邊的實際問題進行情境導入，讓學生在真實場景中學習數(shù)學［1］.這樣的教學策略將有效提升學生對數(shù)學的認知，使他們意識到數(shù)學不僅存在于書本上，更是解決實際問題的工具.

4.2 空間思維與幾何理解的提升

2023年和2024年的試題強調(diào)了空間幾何的理解與應用，尤其是對幾何圖形的構(gòu)造與空間關(guān)系的把握.在2024年的拉桿箱問題中，學生需要分析不同拉桿位置對高度的影響，這直接考驗了他們的空間想象能力.因此，教學中應注重提升學生的空間思維，通過動手實踐和視覺化工具幫助他們理解幾何關(guān)系.這種教學方法不僅增強了學生的幾何直觀，還培養(yǎng)了他們的合作意識和探究精神，使他們能夠更自信地應對復雜的幾何問題.

4.3 綜合思維與跨學科聯(lián)系的培養(yǎng)

2022—2024年的試題均體現(xiàn)了綜合思維的重要性，學生不僅需要掌握單一的數(shù)學知識點，還需將多個知識結(jié)合起來應用.例如，2023年測量古塔高度的問題，要求學生結(jié)合三角函數(shù)和實際測量，這樣的考查促使學生進行邏輯推理和多角度思考.在教學中，教師應引導學生培養(yǎng)跨學科的聯(lián)系，通過設計綜合性項目，讓他們在解決實際問題時運用多種知識.例如，可以組織一個項目，要求學生利用數(shù)學知識和物理知識共同測量學校的某一高度或距離，培養(yǎng)他們的綜合分析能力和創(chuàng)新思維.此外，通過這種項目化學習，學生能夠在真實情境中鍛煉思維的靈活性和適應性，提升解決復雜問題的能力，從而為他們的全面發(fā)展奠定基礎［2］.

參考文獻：

[1]顧敏敏.中考試題情境分析及教學啟示[J].中學數(shù)學，2024（16）：8485.

[2]金雯雯，張宗余.數(shù)學情境化試題的特征分析與教學啟示——以2023年浙江省部分初中學業(yè)水平考試試題為例[J].中國數(shù)學教育，2024（13）：3438.