多邊形內角和與外角和常考題型及解決方法

摘要：多邊形的內角和與外角和是初中數學幾何部分非常基礎的知識，在人教版教材中被安排在了“平行四邊形”這一章中.基礎并不意味著可以忽視，基礎也不代表學生能完全掌握，相反其中有些知識點學生容易搞混淆.本文中對多邊形的內角和與外角和常考題型進行展示，并分析其解決方法.

關鍵詞：中考；多邊形；內角和；外角和；解決方法

在初中數學的中考命題中，多邊形的內角和與外角和相對比較簡單，其考查的知識面相對比較集中[1].本文中首先介紹多邊形內角和與外角和的常考題型，并在此基礎上探析這類問題的解決方法，從而幫助學生熟練運用這些方法解決問題.

1 題型一：求多邊形的邊數

例1一個正多邊形的一個內角比其相鄰的外角大36°.求這個正多邊形的邊數.

分析：正多邊形的各個內角都相等，各個外角也都相等，而多邊形的外角和是360°，因此只需求出每個外角的度數，就可以求出該多邊形的邊數.

解：設這個正多邊形的邊數為n，它的一個外角是x°，則相鄰的內角是（x+36）°.

由題意，可得x+x+36=180.

解之，得x=72.

所以，n=360°÷72°=5.

故這個正多邊形的邊數是5.

【舉一反三】

在一個正多邊形中，一個外角的度數等于一個內角度數的27，求這個正多邊形的邊數.

解：設這個正n邊形的一個內角為x°，則一個外角為27x°

因為多邊形的一個內角與相鄰的外角互補，于是有x+27x=180.

解之，得x=140.

于是，27x=40.

所以n=360°÷40°=9.

故這個正多邊形的邊數是9.

方法總結：在解決這類問題時，應注意兩個方面.第一，多邊形的外角和等于360°，與邊數無關，所以經常把多邊形的內角問題轉化成外角問題來處理.第二，多邊形的一個內角和它相鄰的外角互補[2].

2 題型二：求不規則圖形的內角和

例2如圖1，∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F=度.

分析：可考慮轉化為多邊形的內角和進行計算.

解：如圖2所示，連接CD，得到四邊形ABCD.

∵∠E+∠F=∠1+∠2，

∴∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F=∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠1+∠2=360°.

【舉一反三】

如圖3所示，線段AB，CD相交于點O，E是△OCB內任一點，連接AE，DE，求∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠AED的度數.

解：如圖4所示，連接AD，則∠AOD=∠BOC，∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°.

∴∠B+∠C=∠OAD+∠ODA.

在△ADE中，∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，

∴∠AED+∠EAB+∠OAD+∠ODA+∠CDE=180°.

∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠AED=180°.

方法總結：在求不規則圖形的內角和時，往往需要通過轉化，將原本不規則的圖形轉化為規則圖形，再結合多邊形的內角和定理求解[3].

3 題型三：求關于角的問題

例3一個多邊形截去一個角后，所得多邊形的內角和為2 520°，則原多邊形的邊數是（）.

A.17B.16C.15D.15或16或17

解析：n邊形的內角和為（n-2）180°（n≥3且n是整數）.一個多邊形截去一個角后，它的邊可能增加了一條，可能不變，也可能減少了一條.由（n-2）180°=2 520°，解得n=16，則原多邊形的邊數是15或16或17.

故選答案：D.

【舉一反三】

一個凸多邊形除了一個內角外，其余各內角之和為2 570°，則這個內角為（）.

A.120°B.130°C.135°D.150°

解析：設這個內角為x°，這個多邊形的邊數為n，則（n-2）180°-x°=2 570°.

解得n=2 930°+x°180°.

因為n為正整數，且0＜x＜180，所以n=17.

所以x=（17-2）×180-2 570=130，則這個內角為130°.

故選答案：B.

方法總結：一個多邊形（三角形除外）截去一個角后，按不同的截法可得到邊數不同的三種多邊形，即邊數增加1或不變或減少1[4].在解題時，切勿忽略這三種情況中的任何一種，否則極易漏解致錯.這里以五邊形為例說明截去一個角后邊數變化的三種情況，如下圖5所示.

4 題型四：解決實際問題

例4某社區里面有一個五邊形的小公園，王老師每天晚飯后都要到公園里去散步.已知圖6中的∠1=95°，則王老師沿公園邊由點A經B→C→D→E一直到點F時，他在行程中共轉過（）.

A.265°B.275°C.360°D.445°

解析：應注意王老師在整個行程中沒有轉過與∠1相鄰的這個外角，所以應從五邊形的外角和中減去，即360°-（180°-95°）=275°.

所以，王老師在行程中共轉過275°.

故選答案：B.

【舉一反三】

如圖7所示，小亮從點A出發，沿直線前進10 m后向左轉30°，再沿直線前進10 m，又向左轉30°……照這樣走下去，他第一次回到出發點A時，一共走了m.

解析：因為小亮的行走路線圍成一個正多邊形，每一個外角都是30°，所以邊數n=360°30°=12，即小亮的行走路線圍成一個邊長為10 m的正十二邊形.所以，小亮一共走了120 m.

故填答案：120.

方法總結：要想解決實際問題，首先應在弄清題意的基礎上將實際問題轉化為數學問題[5]，而且要熟記熟用一些定理或公式，如多邊形的內角和定理、多邊形的外角和定理等.

總而言之，人教版“平行四邊形”這一章中的多邊形內角和與外角和，既與之前所學基礎有關，又是歷年中考命題熱點.但是，基于該知識點總體難度較低，同時又是解決相關幾何題的重要“法寶”，所以廣大一線初中數學教師不僅要注重基礎知識點的講授，而且要通過舉一反三讓學生發散思維，熟練運用解決問題的方法，以此不斷提高他們的能力.

參考文獻：

[1]仲崇輝.多邊形的內角和與外角和考題面對面[J].初中生輔導，2020（Z4）：9396.

[2]韋嫄.踐行“學講”理念 打造生本課堂———以《多邊形的內角和與外角和》教學為例[J].數理化解題研究，2020（35）：4041.

[3]丁洪.方法表征：探索從“生長”走向“生根”——以“多邊形的內角和”教學為例[J].小學教學參考，2021（11）：78，22.

[4]張振鋒.多邊形內角和與外角和拓展探究[J].中學教學參考，2020（26）：78.

[5]匡瑩萍，孔令輝.關注活動體驗 提升思維品質——“多邊形內角和與外角和”（第一課時）的再設計[J].初中數學教與學，2022（5）：57，37.