因式分解在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

解題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的活動(dòng)，旨在檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解及掌握情況，幫助學(xué)生積累應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的重要經(jīng)驗(yàn).因式分解教學(xué)中，教師應(yīng)做好經(jīng)典題型的篩選，展示因式分解在不同問(wèn)題情境中的應(yīng)用過(guò)程，促使學(xué)生掌握相關(guān)技巧，在以后的解題中少走彎路.

1 求解三角形問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)系統(tǒng)講解了直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等方面的知識(shí)，與三角形相關(guān)的問(wèn)題在學(xué)生的作業(yè)、日常測(cè)試及中考中較常見(jiàn)[1].求解三角形問(wèn)題的方法因題而異，其中根據(jù)題意，通過(guò)因式分解可以確定三角形的三邊關(guān)系，判斷三角形的形狀，尤其當(dāng)確定或給出三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，還可以計(jì)算出三角形的面積.

例1已知三角形的三邊a，b，c都是整數(shù)，且滿足abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，則此三角形的面積為.

解析：雖然該題題干簡(jiǎn)單，但解題的過(guò)程中，既需要通過(guò)因式分解，對(duì)給出的等式進(jìn)行整理，又需要從“a，b，c都是整數(shù)”中尋找解題的蛛絲馬跡.

由abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，可得abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c+8=27，即ab（c+2）+2a（c+2）+2b（c+2）+4（c+2）=27，則（ab+2a+2b+4）（c+2）=27，即（a+2）（b+2）（c+2）=27=3×3×3.由于三角形的三邊a，b，c都是整數(shù)，則a+2=3，b+2=3，c+2=3，解得a=1，b=1，c=1，顯然這是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，故三角形的面積為34×12=34.

2 求解最值問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)的最值問(wèn)題無(wú)非是求最大值、求最小值兩種情況，考查的知識(shí)靈活多變，如不等式、函數(shù)、幾何圖形的性質(zhì)等[2].其中部分習(xí)題設(shè)問(wèn)的角度較巧妙，考查的知識(shí)較隱晦，需要通過(guò)觀察、推理進(jìn)行因式分解，結(jié)合因式分解結(jié)果及給出的已知條件作出判斷，嚴(yán)謹(jǐn)推理，才能求出結(jié)果.

例2已知a，b，c均為整數(shù)，且滿足a+b+c=10，S=（10a+bc）（10b+ac）（10c+ab）≥2 019，則S的最小值是.

解析：該題設(shè)問(wèn)巧妙，難度較大，需要先運(yùn)用已知條件對(duì)S的表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)因式分解判斷出S是一個(gè)平方數(shù)且是偶數(shù)，而后結(jié)合其值不小于2 019來(lái)確定S的最小值.

由a+b+c=10，可得a=10－b－c，b=10－a－c，c=10－a－b，則S=（10a+bc）（10b+ac）（10c+ab）=（100－10b－10c+bc）（100－10a－10c+ac）（100－10a－10b+ab）.又100－10b－10c+bc=（b－10）（c－10），100－10a－10c+ac=（a－10）（c－10），100－10a－10b+ab=（a－10）（b－10），故S=（b－10）（c－10）5（a－10）（c－10）（a－10）（b－10）=（a-10）25（b-10）2（c-10）2.

由此確定S為一個(gè)平方數(shù).由a+b+c=10，且a，b，c均為整數(shù)，可知a，b，c至少有一個(gè)是偶數(shù)，于是S為偶數(shù).又因?yàn)镾≥2 019，則S≥462=2 116，即S的最小值是2 116.

3 求解坐標(biāo)問(wèn)題

坐標(biāo)問(wèn)題一般與平面直角坐標(biāo)系有密切的關(guān)系，在求解的過(guò)程中通常需要進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算、坐標(biāo)與線段之間的轉(zhuǎn)化等[3].當(dāng)然，對(duì)于部分初中數(shù)學(xué)習(xí)題，坐標(biāo)運(yùn)算、坐標(biāo)與線段之間的轉(zhuǎn)化只是基礎(chǔ)，在解答的過(guò)程中還需要通過(guò)因式分解求出參數(shù)具體的值，對(duì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)綜合分析問(wèn)題的能力要求較高.

例3如圖1，點(diǎn)A為拋物線的焦點(diǎn)，其有一種特殊的性質(zhì)：拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)A的距離AM，等于點(diǎn)M到一條平行于x軸的直線l的距離MN.若拋物線的表達(dá)式為y=12x2+3，那么此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

A.（0，3）B.（0，4）

C.0，72D.0，92

解析：該題情境新穎，結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)進(jìn)行設(shè)問(wèn)，要求拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，能很好地考查學(xué)生的理解及靈活運(yùn)用所學(xué)解決問(wèn)題的能力.解題的過(guò)程中需要吃透題意，大膽設(shè)出參數(shù)，結(jié)合拋物線圖象的特點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)的計(jì)算，結(jié)合焦點(diǎn)的性質(zhì)構(gòu)建方程.

如圖2，設(shè)拋物線y=12x2+3與y軸的交點(diǎn)為C，直線l與y軸的交點(diǎn)為B.設(shè)其焦點(diǎn)A（0，a），Mm，12m2+3，則OA=a.

由拋物線的焦點(diǎn)的性質(zhì)，得AC=BC，AM=MN.由于C為拋物線的頂點(diǎn)，容易得點(diǎn)C（0，3），則OC=3，于是AC=BC=a－3，OB=6－a，所以得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，6－a）.AM2=m2+12m2+3－a2，MN2=12m2+a－32.由AM=MN，得AM2=MN2，即m2+12m2+3－a2=12m2+a－32，移項(xiàng)得到m2=12m2+a－32－12m2+3－a2=12m2+a－3+12m2+3－a×12m2+a－3－12m2－3+a=m2（2a－6），則m2（2a－7）=0，故2a－7=0，解得a=72.所以此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，72.故選：C.

4 求解材料類問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)材料類問(wèn)題，往往給出一些材料，要求在閱讀材料的基礎(chǔ)上完成給出的問(wèn)題.該類問(wèn)題在測(cè)試中較常見(jiàn)，考查學(xué)生學(xué)習(xí)、理解與應(yīng)用新知識(shí)的能力.在求解所給的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真閱讀材料，從材料中提煉有用信息，尤其是材料中給出例題時(shí)應(yīng)分析例題展示的解題方法及相關(guān)的解題細(xì)節(jié)，特別是材料中涉及因式分解相關(guān)的例題時(shí)，應(yīng)注意觀察、思考，把握解題精髓，在求解問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用.

例4配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或者求代數(shù)式的最大值、最小值等.

例如：分解因式x2+2x－3=（x2+2x+1）－4=（x+1）2－4=（x+3）（x－1）.

又如：求代數(shù)式2x2+4x－6的最小值，由2x2+4x－6=2（x2+2x－3）=2（x+1）2－8，可知當(dāng)x=－1時(shí)，2x2+4x－6有最小值－8.

根據(jù)閱讀材料使用配方法解決下列問(wèn)題：

（1）分解因式：m2－6m－16=；

（2）若a，b滿足a2+b2－4a+6b+13=0，求ba的值；

（3）已知P=715m－1，Q=m2－815m（m為任意實(shí)數(shù)），比較P，Q的大??；

（4）當(dāng)x，y為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2－2xy+2y2+4x－10y+29有最小值？并求出這個(gè)最小值.

解析：材料主要介紹了配方法.在解題的過(guò)程中應(yīng)注意從所給的材料中獲得靈感，并注重聯(lián)系解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)所給的問(wèn)題進(jìn)行靈活變形、轉(zhuǎn)化，以達(dá)到順利求解的目的.

（1）易得m2－6m－16=（m2－6m+9）－25=（m－3）2－25=（m+2）（m－8）.

（2）由a2+b2－4a+6b+13=0，得（a2－4a+4）+（b2+6b+9）=0，即（a－2）2+（b+3）2=0，則a－2=0，b+3=0，顯然a=2，b=－3，故ba=（－3）2=9.

（3）由P=715m－1，Q=m2－815m，可得Q－P=m2－815m－715m+1=m2－m+1=m2－m+14+34=m－122+34≥34gt;0.則Qgt;P.

（4）x2－2xy+2y2+4x－10y+29=x2－2xy+4x+y2－4y+4+y2－6y+9+16=x2－2x5（y－2）+（y－2）2+（y－3）2+16=（x－y+2）2+（y－3）2+16≥16.

當(dāng)x－y+2=0且y－3=0時(shí)，x2－2xy+2y2+4x－10y+29有最小值16，此時(shí)x=1，y=3.

綜上所述，因式分解既是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具和方法.教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)結(jié)合例題為學(xué)生展示因式分解的常用方法，提高學(xué)生因式分解的靈活性.同時(shí)，做好運(yùn)用因式分解求解不同問(wèn)題的示范，激活應(yīng)用思維，促進(jìn)學(xué)生解題水平的有效提升.

參考文獻(xiàn)：

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[3]林勝梅.基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)因式分解問(wèn)題的解答研究[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2024（14）：78.