借助圖形旋轉巧解幾何習題

摘要：旋轉是圖形的一種變換類型，是初中數學的重要知識，可以作為解答幾何習題的一種思路.教學中，為使學生熟練運用圖形旋轉解答幾何習題，提高解題能力，教師應為學生講解圖形旋轉的特點及與其他圖形變換的區別，圍繞具體習題展示圖形旋轉在不同幾何習題中的應用，促進學生理解，幫助學生積累應用經驗.

關鍵詞：初中幾何；圖形旋轉；解答

在初中階段，圖形旋轉指圖形在平面內圍繞某一點按照一個方向轉動一個角度[1].從這一點來看，圖形旋轉是圖形整體上的變換，因此，圖形內部的角度、線段長度等關系不發生改變.但是，通過旋轉可以與其他圖形構成新的圖形，從而使得一些隱含的關系更為直觀地展現出來，可以幫助學生更快地找到解題思路.教學中，為使學生認識到這一點，并提高運用圖形旋轉解答幾何習題的能力，教師應做好運用圖形旋轉解答幾何習題的示范.

1 巧解周長問題

求周長是初中幾何中的常見問題.針對規則平面幾何圖形，使用周長計算公式計算[2].如為不規則的圖形，將各邊長相加即可.但是對于由圖形旋轉形成的不規則平面幾何圖形，求周長時應注意結合旋轉的性質，明確對應角的大小，從整體切入，通過求局部線段的長度，建立不規則平面幾何圖形各邊長與已知條件之間的聯系，實現順利求解周長的目的.

例1如圖1，四邊形ABCD為邊長為4的正方形，將其繞點A順時針旋轉45°得到正方形AB′C′D′，邊BC和D′C′交于點O，則四邊形ABOD′的周長是（）.

A.62B.72C.82D.92

解析：作出輔助線，根據旋轉角度及已知條件，求出局部圖形的邊長，最后將要求的平面幾何圖形的各邊相加即可.

連接AC′，BC′，如圖2所示.由于四邊形AB′C′D′為正方形，則AC′為對角線，且∠C′AB′=45°.由旋轉可知∠BAB′=45°，則點B在AC′上.

由正方形的的邊長為4，得AC′=42+42=42，BC′=AC′-AB=42-4.

由正方形的性質可知∠BC′O=45°，則△BOC′為等腰直角三角形，則BO=BC′=42-4，OC′=BC′cos45°=42-422=8-42，故D′O=D′C′-OC′=4-8+42=42-4.所以四邊形ABOD′的周長為2AB+BO+OD′=8+42-4+42-4=82.

綜上分析，選擇：C.

2 求解角度問題

求平面幾何圖形中的某一角度，可以通過旋轉，證明幾何圖形全等，建立角度、線段之間的相等關系，而后運用三角形內角和、外角定理、直角三角形中兩銳角互余等，通過運算求得.

例2如圖3，已知點E，F分別是正方形ABCD中BC，CD邊上的點，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°，當∠BAE=α時，∠EFC一定為.

A.2αB.90°-2α

C.45°-αD.90°-α

解析：通過旋轉構建新的圖形，找到圖形中的相等角度，借助已知條件，以及圖形中相關角度之間的關系，求出∠EFC的值.

將△ADF順時針旋轉90°，得△ABG，如圖4所示，AF=AG，∠DAF=∠BAG.

由∠EAF=45°，四邊形ABCD為正方形，得∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，則∠BAG+∠BAE=∠EAG=45°，則∠GAE=∠FAE.又AG=AF，AE=AE，則△FAE≌△GAE，所以∠AEB=∠AEF.

由∠BAE=α，可得∠AEB=90°-α，則∠BEF=2∠AEB=180°-2α，則∠FEC=180°-∠BEF=2α.在Rt△FEC中，∠EFC=90°-∠FEC=90°-2α.

3 巧解線段長度問題

在初中幾何習題中求線段長常用的知識點有：勾股定理、銳角三角函數及平面幾何圖形的邊、對角線相關性質等.但是對于部分習題，需要先通過旋轉對所給圖形進行重新組合，而后通過作輔助線，更好地運用已知條件，求出目標線段的長度.

例3在如圖5所示的四邊形ABCD中，AB，BC的長分別為5，2，且AD=CD，∠CBA=60°，∠ADC=120°，則對角線BD的長為（）.

A.433B.533

C.633D.733

解析：該題看似難以入手，實則通過旋轉可以構成等腰三角形，借助等腰三角形的性質及銳角三角函數，便可順利求解.

將△BCD繞著點D順時針旋轉120°，其中點C對應的點C′與點A重合，點B對應的點為B′，過點D作DH⊥AB于點H，如圖6，則BD=DB′，CB=C′B′.

由∠CBA=60°，∠ADC=120°，四邊形的內角和為360°，可以得到∠C+∠BAD=180°.又∠C=∠B′C′D，則∠B′C′D+∠BAD=180°，可以得到B，A，B′三點在同一直線上.

由∠ADC=120°，可得∠BDB′=120°.又由BD=DB′，則∠HBD=∠B′=12（180°-120°）=30°，BH=HB′.由AB，BC的長分別為5，2，得BB′=5+2=7，則BH=72.在Rt△BHD中，BD=BHcos∠HBD=72cos30°=733.

4 求解面積問題

在初中，求平面幾何圖形面積的方法多種多樣，如可以直接使用平面幾何圖形的面積計算公式.對于不規則的平面幾何圖形可以通過割補法，將其轉化為規則的平面幾何圖形，而后運用面積計算公式計算[3].當然，針對求面積最值類問題，可以通過旋轉，確定點、線段的特殊位置，通過構建方程求出最終結果.

例4如圖7所示的四邊形ABCD為矩形，其中BC=3AB.在矩形ABCD內部存在一點P，若點P到A，B，C三點距離之和的最小值為27，則這個矩形面積的最小值為.

解析：該題難度較大，不僅需要對△BPC進行旋轉，而且需要添加多條輔助線.解答的過程中，需要通過線段的等量代換，明確何時點P到到A，B，C三點距離之和的值最小，而后依托勾股定理構建方程.

將△BPC繞著點B順時針旋轉60°，得到△BFE，連接PF，AE，如圖8所示.

由旋轉性質可以得到PC=FE，BP=PF，BC=BE，∠PBF=60°，∠PBC=∠FBE，則△BPF為等邊三角形，從而BP=PF.

所以AP+BP+CP=AP+PF+FE，當A，P，F，E四點同在一條直線上時，點P到A，B，C三點距離之和最短，即AE.由已知條件可以得到AE=27.

由∠PBF=60°，∠PBC=∠FBE，可得∠CBE=60°.過點E向AB的延長線作垂線，垂足為點G，易得∠EBG=30°.

設EG=x.在Rt△BEG中，BE=2x，BG=3x，則BC=2x.又BC=3AB，則AB=23x3，則AG=AB+BG=23x3+3x=53x3.在Rt△AEG中，根據勾股定理可得AE2=AG2+EG2，即（27）2=53x32+x2，解得x=3，則AB=2，BC=23.故矩形ABCD面積的最小值為23×2=43.

綜上所述，解答初中幾何習題時，如采用常規的方法一時找不到思路，可以通過圖形旋轉進行突破.當然圖形如何旋轉、旋轉到何種程度，判斷起來難度較大，需要具備一定的經驗.教學中，教師可以借助多媒體技術或者使用圖片做旋轉實驗，加深學生印象，深化對圖形的理解.同時，將利用圖形旋轉解答幾何習題作為一個專題進行系統講解，使學生盡可能多地見到不同的習題情境，積累運用圖形旋轉巧解幾何習題的思路與經驗，助力其解題能力與學科素養的提升.

參考文獻：

[1]李鳴午.巧用旋轉變換妙解數學問題[J].中學數學教學參考，2024（27）：3537.

[2]楊柳.巧用“等腰與旋轉”解決幾何問題[J].數理天地（初中版），2024（3）：4142.

[3]李軍.初中數學競賽中圖形旋轉變換問題探微[J].考試周刊，2023（47）：6467.