合理開展題根教學,提升學生數學核心素養

摘要：題根教學旨在通過不斷變化的數學問題讓學生理解問題的本質，幫助學生擺脫“題海”的束縛，提升知識遷移能力，提升數學素養.在實際教學中，教師應認真研究教材、考綱、學生，創造性地應用教材，以題根為主線進行有效的變式，有效提高學生的數學應變能力和創新能力，發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：題根教學；應變能力；數學素養

隨著時代的進步，現代社會對人才的要求越來越高，作為基礎學科的數學教學不僅要強調知識的學習，更要強調學生應變能力和創新能力的培養.傳統教學中，大多數教師習慣采用“題海戰術”，試圖通過大量的練習幫助學生積累豐富的解題經驗，提高學生的解題能力.然而實踐證明，“題海”會增加學生的課業負擔，占用學生獨立思考和合作探究的時間，不利于學生學習能力的提升和創新能力的發展，因此教師必須帶領學生走出題海，學會從教學效益上下功夫，以此促進“減負增效”教學目標的達成.題根教學是指在教學中，針對題根是“一個題族的根祖、題系的根基、題群的代表”這一特點，通過對題根所涉及的知識和解法進行研究拓展，引領學生掌握題族的基礎知識，解決題族的基礎問題的教學方法.在初中數學教學中，基于題根教學，不僅可以極大地提升數學教學質效，更能培養學生良好的思維品質，發展學生的數學核心素養［1］.

1 教學案例

題根的種類是多種多樣的，可以以概念、公式、定理等基礎知識為根向不同角度、不同層次進行有效的變化，也可以以典型例題或中考試題為根進行有效的變化.題根一般具有生長性、可接受性、滲透性等特性，教學中教師要充分利用好這些特性，以此調動學生學習的積極性，提高課堂教學效益.

1.1 巧用題根的可接受性，提升教學效益

眾所周知，課堂教學的主體是學生，只有題根的內容、思想、方法、難度等是學生可以接受的，才能讓學生真正地參與到課堂教學中來，從而為“減負增效”教學目標的落實提供保障.為了達到這一要求，教師要充分了解學生，了解考綱，結合教學實際精心挑選題根.另外，教師在挑選題根時還應該關注其趣味性和科學性，以此增強學生與學生之間、學生與數學之間的黏合度，使枯燥的課堂變得更加活潑生動，有效提高教學效益.

例如，在教學“軸對稱與幾何作圖的變化”時，教師以一道典型例題為根，開展題根教學.

題根如圖1，為了便于給A，B兩地居民輸送燃氣，燃氣公司準備在燃氣管道l上修建一個泵站，泵站建在何處，可以使輸氣管線最短？

分析：該題為經典的“將軍飲馬”模型，是學生非常熟悉且易于理解和接受的.管道l可看成直線，A，B兩地可以分別看成兩點，則問題轉化為“在直線l上找一點C，使得AC+CB取最小值”.

點評：對于此類求最短距離問題，一般分為兩種情況.（1）若兩點在直線的同側，則需要找到其中一點的對稱點，然后將另外一點與該對稱點相連；（2）若兩點在直線的異側，直接連接兩點即可.

變式1如圖2，牧馬人選擇在小河和草地中間的M處安營扎寨.牧馬人每天按照“營地—小河—草地—營地”的路線往返，為了節省路上時間，你能給牧馬人設計一條最短路線嗎？

分析：如圖3，將小河、草地看成直線，分別以小河和草地為對稱軸作營地M的對稱點，連接兩對稱點，則其與小河和草地的交點即為所求.

變式2如圖4，在△ABC中，點E，F分別是邊AB，AC上兩定點，點M為BC上一點，當點M在何位置時，可以使△MEF的周長最短？

分析：以BC為對稱軸，作點F的對稱點F′，連接EF′，EF′交BC于點M，則點M為所求.

點評：教學中以經典的“將軍飲馬問題”為題根，通過對這一典型問題的拓展延伸將一個問題拓展至一類問題，通過對變式題的深入探究，幫助學生形成求解此類問題的思路與方法，提升學生的數學素養.以上題目難度適中，符合學生的認知水平，有利于調動學生參與課堂的積極性，從而實現教學收益的最大化.

1.2 巧用題根的生長性，提升教學效益

數學學習的過程是一個不斷積累、不斷發展的過程.在數學教學中，教師既要引導學生認清知識的本源，又要引導學生學會用發展的眼光看待數學，有效提升學生的數學能力.教學中，教師要重視引導學生挖掘題根，充分利用題根的生長性將相關知識有效地串聯起來，以此拓寬學生的視野，提高學生分析和解決問題的能力.

題根如圖5，AB，BC，CD為圓O的切線，切點分別為E，F，G.若AB∥CD，BO=6 cm，CO=8 cm，求BC.

分析：該題難度不大，但是內容豐富.該題融推理和計算于一體，是一道非常典型且有價值的好題.借助這一簡單的基礎練習可以幫助學生復習平行線的性質、切線長定理、角平分線定理、勾股定理、三角形內角和定理等基礎知識，促進學生邏輯推理能力的提升和數學計算能力的發展.

變式1已知條件不變，求圓O的半徑.

變式2原已知條件不變，且M和N為AB和CD上的動點，MN∥OB，，求證：△CMN∽△COB.

點評：這樣在原有題根的基礎上逐漸增添知識點，逐漸增加思維難度，既讓學生夠得著，又讓學生跳一跳，使學生的思維螺旋式上升.以上教學中，教師通過低起點、小坡度的問題緊緊吸引學生的注意力，從知識、思想、方法等多方面發展學生的思維能力，提高學生的數學綜合素養.

1.3 巧用題根的滲透性，提升教學效益

眾所周知，數學知識是緊密聯系的，題根與題根也不是孤立存在的.在題根教學中，教師要關注不同題根之間的聯系，通過有效的變式為不同題根搭橋鋪路，通過不同題根的相互交叉與滲透引導學生自主地將多個知識點串聯起來，逐步完善學生的認知體系，增強題根的教育功能，提升教學收益.

題根關于x的方程x2+kx+4-k=0有兩個整數根，求k的值.

分析：設方程x2+kx+4-k=0的整數根分別為x1，x2，則x1+x2=-k，

x1x2=4-k.兩式作差，得x1x2-x1-x2=4，即（x2-1）（x1-1）=5，可解得k=-8或k=4.

變式1已知關于x的方程x2+mx-m+1=0有兩個不相等的正整數根，求m的值.

變式2在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC，BC的長是整數，且是方程kx2-2x-k+1=0的根，是否存在滿足條件的三角形？你判斷的依據是什么？

點評：在以上題組中，以“方程整數根的求法”為主線，通過一系列變式促使學生對方程整數根的問題形成清晰的認識.在此過程中，教師應重視引導學生思考與探究，并預留時間讓學生歸納總結，以此優化學生的認知結構，增強學生解題的信心.

2 教學思考

談起中考試題，很多學生會用“題多、題難、題新”來評價.為了提高中考成績，大多數學生常常選擇“題海戰術”，以期通過多做來積累解題經驗，以此提高解題速度和解題信心.但是認真分析不難發現，其實“題海”中很多題是重復的，若盲目地應用“題海戰術”，不僅會增加學生的課業負擔，而且容易固化學生的思維，因為學生在解題時可能不去思考該題考查哪些知識、方法、思想，而是急于去模仿和套用，因而不利于思維能力的發展和解題能力的提升.其實認真分析不難發現，很多題其實都是教材原題的變形，因此教師應用好教材資源，精心挑選典型例題，充分挖掘典型例題、習題的方方面面，并對其進行有效的拓展延伸，以此逐漸加強其綜合性，提升學生的綜合應用能力［2］.

實踐證明，應用題根教學可以有效規避機械重復的練習，為學生提供更多的思考與探究時間，有利于深度教學的開展和學生數學核心素養的落實.在題根教學中，教師不僅要精心挑選題根，還要結合教學實際進行有效拓展和延伸，引導學生多角度、多渠道、多側面思考問題，讓學生在探究中獲得深刻的認識，形成正確的解題策略，提升邏輯思維能力，發展數學素養.

總之，在初中數學教學中，教師要關注學生發展，多創造機會讓學生去探究、去思考、去發現，以此鍛煉學生的數學思維能力，培養學生的創新意識和應變能力，落實學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］張歡.雙減教育政策下初中數學減負增效策略研究[J].中文科技期刊數據庫（全文版）教育科學，2023（4）：5558.

［2］胡小平.題根教學法在初中二次函數復習中的妙用[J].中學教學參考，2014（26）：4546.