基于“推理能力”發展的數學實驗教學探索

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，數學推理能力屬于數學核心素養的范疇，是學生在數學學習過程中必須具備的能力，且貫穿于學生學習的整個過程.在課堂教學中如何發展學生的推理能力顯得尤為關鍵.而數學實驗教學作為一種新穎的教學方式，具備工具性、操作性、情境性、探究性等特點，能夠更好地助力學生推理能力的發展.

關鍵詞：數學實驗；推理能力；圓

1 問題提出

2014年，我國教育部在《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》里首次提出“中國學生發展核心素養”，其中涵蓋了邏輯推理素養.推理能力作為關鍵能力的一種，在數學核心素養的落實過程中發揮著一定的作用[1].由于數學具有獨特的抽象性和嚴謹性，當前部分學生的推理能力較為薄弱，合情推理能力與演繹推理能力相較更為薄弱，二者能力的發展并不平衡[2].數學實驗教學是指在明確的問題情境之中，學生借助實物或者計算機所提供的教學技術來進行數學實驗.在實驗工具的輔助下，學生通過發現問題、探究問題以及解決問題，經由研究性學習的方式，從而獲得數學知識[3].與傳統教學相比，數學實驗教學具有工具性、操作性、情境性、探究性的特點[4]，如何結合數學實驗的特點來發展推理能力是值得思考的問題.因此，本文中以數學實驗教學為載體，研究如何通過數學實驗教學來培養學生的數學推理能力.

2 基于推理能力的數學實驗教學設計

2.1 實驗情境

硬幣是日常生活中的常見物件，當它在桌子上沿著直線滾動時，用數學的眼光來看，可將其看成圓沿直線滾動.若將兩枚相同的硬幣放在桌面上，固定硬幣1不動，硬幣2繞著硬幣1滾動一周，那么在這個過程中硬幣2自轉了幾周？這個問題容易產生誤解，以為硬幣2在滾動過程中也會自轉一周.然而，經過嚴謹的數學分析可以發現，這個問題并非如此簡單.硬幣滾動過程中所涉及的數學知識及結論，值得深入思考與探討.

問題1硬幣繞硬幣滾動的過程，用數學的眼光來看，是什么幾何圖形進行怎么樣的運動？

問題2數學問題的探究過程通常由易到難，圓繞圓的運動路徑比較難，那么圓在什么圖形上的運動更簡單？如何設計研究思路？

思路設想：為了解決上述問題，本文中先設置了實驗一、實驗二作鋪墊，然后進行圓在圓外滾動實驗三的探究.這樣由日常生活中的現象引入，通過問題串的引領將其梯度“數學化”，轉化為圓的運動軌跡問題，將圓沿圖形無滑動的滾動分為三種情形——直線、正多邊形、圓，分析探究滾動過程中不同情形的滾動路徑、路程問題.其中，圓在直線上滾動是較為簡單的一種情形，對此類情形的探究為后面兩種情況的探究作好了鋪墊，降低了探究圓沿正多邊形外部滾動時的難度.同時，由探究圓沿正多邊形外部滾動的情況聯想到圓沿圓外部滾動的情況，培養學生直觀想象與合情推理能力.

2.2 兩個輔助實驗探究

數學實驗一：圓在直線上滾動.

（1）實驗工具：圓在直線上滾動的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實驗任務：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿直尺運動，觀察圓心運動路徑.

②用GeoGebra軟件進行驗證，將圓的半徑設置為r=1 cm，觀察圓的運動路徑，并記錄圓滾動1周、2周時圓心的運動軌跡長度.

③用GeoGebra軟件進行驗證，將圓的半徑設置為r=2 cm，重復上述步驟②.

④請你猜想圓繞直線運動時圓心運動路徑長度的計算公式.

⑤將圓的半徑設置為任意數值，觀察圓心的運動路徑并記錄圓滾動任意周時圓心的運動軌跡長度.

（3）實驗現象分析：

①當r=1 cm或r=2 cm時，圓的運動路徑和圓心的運動路徑均為一條直線，則可用圓心的運動路徑來代表圓的運動路徑.

②當r=1 cm時，圓滾動1周時圓心的運動路徑長度大約為6.28 cm，滾動2周時圓心的運動路徑長度大約為12.4 cm.當r=2 cm時，圓滾動1周的路徑長度大約為12.5 cm，滾動2周的路徑長度大約為24.12 cm.由此可猜想，圓在直線上滾動的路徑即為圓的周長乘圓滾動時自轉的圈數，若等式成立，則可以由圓心運動路徑長度來推得圓自轉的圈數.

實驗分析：（i）硬幣實物操作，學生分組合作完成（操作中無滑動的滾動較難做到，數據記錄誤差較大）.（ii）通過GeoGebra軟件引導學生直觀地探究圓沿直線運動的規律.其中通過任務①②發現圓的運動路徑的形狀與圓心運動路徑形狀一致，通過任務③④，探究圓半徑與圓心運動路徑長度之間的關系，并猜想圓心運動路徑長度的計算公式；任務⑤讓學生自己嘗試設置不同的圓半徑長與滾動圈數（了解軟件應用過程及原理、會分析實驗數據并作出合情推理，似乎少了物理實驗實物操作的味道）.

（4）實驗成果：

結論：如圖1，設圓的半徑為r，圓在直線上滾動時，直線與圓相切，則圓心到直線的距離為定長r，圓心滾動的路徑CC1等于線段AB的長度，即CC1=AB，故圓自轉的圈數a=CC12πr.

數學實驗二：圓在正多邊形外部滾動.

（1）實驗工具：圓在正多邊形外部滾動的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實驗任務：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿三角形尺子、正方形尺子外部運動，觀察圓心運動路徑.

②用GeoGebra軟件進行驗證，將正三邊形的邊長設置為3 cm，圓的半徑設置為r=1 cm，觀察圓繞正三角形外部滾動一周圓心的運動路徑，并觀察其路徑形狀的特點，計算出圓繞正三角形外部滾動一周圓心運動路徑長度和圓自轉圈數.

③用GeoGebra軟件進行驗證，將圓的半徑設置為r=2 cm、正三邊形的邊長設置為4 cm、正方形的邊長設置為4 cm，重復上述步驟②.

④用GeoGebra軟件進行驗證，將正多邊形的邊數、邊長和圓半徑設置為任意數值，重復上述步驟.

（3）實驗現象分析：

①通過分析實驗過程的圖示（如圖2、圖3）可知，圓在正多邊形上運動時，其圓心軌跡為正多邊形的形狀加上圓弧，圓弧部分加起來正好能拼成一個圓形.

②通過對運動軌跡的分析，可知圓在正多邊形頂點處滾動自轉合起來的部分為一周，根據實驗一的結論再計算出直線部分的自轉圈數，相加即可得出圓在正多邊形外滾動的自轉圈數.

實驗分析：在實驗中運用的GeoGebra軟件能夠更好地幫助學生直觀感受運動路徑，分析路徑構成部分，測量圓心路徑長度，并以此發現規律.

（4）實驗成果：

結論：圓在正多邊形外部滾動，設正n邊形的周長為m，當圓沿正多邊形邊滾動時，圓與邊相切，圓心路徑即為線段和，路徑長即為周長m.

如圖4，單獨分析圓在頂點處的滾動情況.設∠NOP=α°（0lt;αlt;180），O為圓與邊的切點，∠CON=∠C1ON=90°，易得∠COC1=（180-α）°，圓心滾動的路徑長度等于以O為圓心，OC為半徑的圓弧CC1的弧長，即CC1=（180-α）180π×OC.

設圓的半徑為r，則圓繞正n邊形公轉一周圓心所經過的路徑l=m+2πr，圓自轉的圈數a=m2πr+1.

更一般地，設凸n邊形的周長為m，圓的半徑為r，則圓繞凸n邊形公轉一周圓心所經過的路徑長為l=m+2πr，圓自轉的圈數a=m2πr+1.

2.3 問題實驗探究

數學實驗三：圓在圓外部滾動.

（1）實驗工具：圓在圓外部滾動的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實驗任務：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿圓形尺子外部運動，觀察圓心運動路徑.

②用GeoGebra軟件進行驗證，將滾動圓的半徑分別設置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設為R=1 cm，觀察滾動圓繞定圓公轉一周的圓心運動路徑并觀察其路徑形狀的特點，計算出滾動圓繞定圓公轉一周圓心路徑長度.當r=1 cm時，觀察滾動圓繞定圓公轉一周時，自轉了幾周.

③用GeoGebra軟件進行驗證，將滾動圓的半徑分別設置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設為R=1.5 cm，重復上述步驟②.

④用GeoGebra軟件進行驗證，將滾動圓的半徑分別設置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設為任意數值，重復上述步驟②.

（3）實驗現象分析：

①通過對實驗現象的觀察可知，圓心在圓外運動的軌跡仍為圓.

②通過對運動軌跡的分析，可以看出圓繞圓一周自轉的圈數與滾動圓、定圓的半徑相關，即自轉圈數=定圓半徑滾動圓半徑.如圖5、圖6.

圓在圓外滾動情形一：

圓在圓外滾動情形二：

實驗分析：實驗三是在實驗二的基礎上進行的，當正多邊形的邊數趨向無窮時，正多邊形趨近于圓，則圓繞定圓滾動的路徑可看作線段部分趨近于無，只剩下圓.通過GeoGebra軟件幫助學生進行抽象與直觀之間的順利轉化，加深印象.

（4）實驗成果：

結論：設滾動圓圓心為點O1，半徑為r，定圓圓心為O，半徑為R.

方法一：根據實驗二的推論，當正n邊形邊數趨向于無窮大時，這個正凸n邊形就無限趨向于一個圓，則圓繞圓形公轉一周圓心所經過的路徑l=m+2πr，其中m=2πR，則圓心的路徑l=2π（r+R），圓自轉的圈數a=2π（r+R）2πr=r+Rr.

方法二：當滾動圓繞定圓公轉一周時，兩圓之間保持相切的位置關系，則兩圓心之間的距離保持r+R不變，滾動圓圓心運動路徑即為一個以定圓圓心O為圓心，r+R為半徑的圓，故滾動圓圓心路徑長為l=2π（r+R），圓自轉圈數為a=2π（r+R）2πr=r+Rr.

因此，從數學的角度進行計算可以發現，有兩枚相同的硬幣，即它們的半徑相同，此時固定硬幣1不動，硬幣2繞著硬幣1轉動一周，那么在這個過程中硬幣2自轉的周數a=2π（R+R）2πR=R+RR=2.

3 實驗延伸

任務：利用GeoGebra軟件探究圓在圓的內部滾動時圓心路徑形狀及長度、自轉圈數.

開放性問題：在圓繞定圓滾動過程中，滾動圓上的一點到定圓圓心之間的距離變化有何規律？

提示：利用GeoGebra軟件，以滾動圓上一點與定圓圓心構造線段，以時間為x軸、線段長度為y軸建立平面直角坐標系，繪制圖象.

實驗分析：在上述實驗探究中，運用了特殊到一般的方法.經過一系列嚴謹的實驗步驟和深入的分析思考，最終得出了圓在正多邊形外滾動圈數與路徑長度的普遍結論.學生完完全全地親歷了一個完整的探究過程，從問題的提出，到實驗的設計與實施，再到數據的收集與分析，以及最后的結論得出，每一個環節都讓學生深度參與其中.通過再一次對實驗延伸的問題的探究，促使學生獨立完成整個體驗過程.這樣的方式能夠極大地促進學生解決問題能力的發展，使他們在面對各種復雜問題時，能夠更加從容地運用所學知識和方法去分析、去解決.

4 實驗反思

4.1 數學實驗能降低學習數學復雜知識的難度

初中階段的學生雖然已經具備了一定的抽象能力，但是對數學上一些更為抽象的概念、定義、性質等的認識還是需要借助一定的實物.相比于傳統教學，數學實驗的教學更大的優勢體現在可以使抽象的數學知識借助直觀的數學工具體現出來.通過操作直觀工具，不斷嘗試，將抽象的數學具體化，降低學習難度.對探究過程而言，每一次嘗試都是為得出最終的結論作鋪墊.通過數學實驗將推理任務中的對象直觀展現出來，能更好地辨析各個對象之間的相互關系，將復雜的數學任務轉化為簡單的數學任務，于是可以認為數學實驗教學能有效降低邏輯推理過程中的難度和復雜性.由此，讓學生體驗到數學探究過程并沒有想象中的那么難，增加推理的信心，繼而在未來的學習中積極主動地去進行推理.

4.2 數學實驗能幫助學生積累數學探究活動的經驗

數學推理能力的培養過程中，在教學活動中逐步形成基本活動經驗至關重要.數學實驗教學獨具感知性與體驗性特征，與理性范疇的數學推理能力緊密相連.基本活動經驗是數學素養生長和發展的基石，其來源除了教師的間接經驗傳授，更多的是學生通過親身實驗所積累的直接經驗.學生需運用多種感官參與數學探究過程，不光動腦，更要動手，在“做數學”的過程中主動體驗數學內部存在的邏輯性和數學知識的生長過程，并在不斷實踐中積累數學探究活動的經驗，為推理能力的提升提供經驗基礎.

參考文獻：

[1]孔凡哲，史寧中.中國學生發展的數學核心素養概念界定及養成途徑[J].教育科學研究，2017（6）：511.

[2]嚴卿，喻平.初中生邏輯推理能力的現狀調查[J].數學教育學報，2021，30（1）：4953，78.

[3]曹一鳴.數學實驗教學模式探究[J].課程·教材·教法，2003（1）：4648.

[4]喻平，董林偉.初中數學實驗的本質解析[J].課程·教材·教法，2016，36（8）：8995.