理解概念本質(zhì)創(chuàng)設(shè)創(chuàng)新問題避免知識誤區(qū)

基本概念是基本技能的生成之本，數(shù)學(xué)思想方法的形成更離不開對數(shù)學(xué)概念的深入理解.所以，在教學(xué)過程中應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)基本概念的學(xué)習(xí).多角度理解數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)新設(shè)問規(guī)避模式化問題，讓學(xué)生少點(diǎn)“想當(dāng)然”，多些思維理解.學(xué)生常常感覺概念題\"難\"，往往是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)過程中還沒有弄清楚概念而匆匆去落實(shí)技能.沒有落實(shí)好數(shù)學(xué)概念，往往就難以應(yīng)付靈活多變的創(chuàng)新設(shè)問.所以，教學(xué)中可以通過題目的不同設(shè)問，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解[1].

1 原題呈現(xiàn)

（2023年順德區(qū)八年級期末考）關(guān)于x的分式方程x+1x-1-4x2-1=1的增根為（）.

A.1B.-1C.±1D.不存在

2 錯因溯源

2.1 答題情況

這是一道常見的關(guān)于分式方程增根的檢驗(yàn)問題，是八年級常考的一類題型.從以往分式方程的考查來看，這種題型問題不大，但和以往考查方式不同，以往常以解答題的形式出現(xiàn)，也就是先解分式方程然后對所解得的根進(jìn)行檢驗(yàn).因此，解分式方程以及檢驗(yàn)的步驟學(xué)生早已爛熟于心，但本次命題者把分式方程的考查方式轉(zhuǎn)變?yōu)檫x擇題，由主觀題變?yōu)榭陀^題，對很多學(xué)生而言難度會隨之下降，可考查的結(jié)果卻令人大吃一驚.全區(qū)參加考試的學(xué)生選擇選項(xiàng)A的占38.77%，選擇選項(xiàng)C的占46.24%，選擇選項(xiàng)B和D的也各占7%左右，正確答案是選項(xiàng)A，也就是說能做對的學(xué)生只有三分之一多一點(diǎn)，這和做解答題時的得分率天壤之別.是什么原因讓學(xué)生在解分式方程時沒有困難，檢驗(yàn)也沒有困難，但到了選擇題卻反差如此之大呢？

2.2 答題分析

為了解答心中的疑惑，考完后筆者專門找了部分做對和做錯的學(xué)生了解情況.選擇選項(xiàng)C的學(xué)生，大部分的解法是這樣的；因?yàn)榉质椒匠逃性龈苑匠虩o意義，即x2-1=0，所以x=±1，因此答案選擇了選項(xiàng)C.學(xué)生的回答是“能令分母為零的解就是方程的增根”，因此，用x2-1=0去求解.而選擇正確選項(xiàng)A的解法是這樣的：

解：方程兩邊同乘x2-1，得（x+1）2-4=x2-1，解得x=1.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時，x2-1=0，所以x=1是原方程的增根.

從學(xué)生的回答中知道解題時應(yīng)該按照老師平時的要求先解方程，得出解后再進(jìn)行檢驗(yàn)就得到選項(xiàng)A.

2.3 錯因分析

為何會選擇選項(xiàng)C呢？從這類學(xué)生的答題可以看出，學(xué)生認(rèn)為只要分母為零，就是方程的增根，本質(zhì)上是對增根的概念認(rèn)識不清晰.其實(shí)，單從概念的字面上去理解，增根首先應(yīng)是根，只不過在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中，通過等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為整式方程的根，而此根不滿足分式方程，從而有了增根.在此題中，x=-1并不是整式方程的解，因此也就不能稱之為增根.

有如此之多的學(xué)生沒理解好概念，這種因素的形成是學(xué)生對概念的理解不到位呢？還是教師上課出現(xiàn)了偏差呢？這令筆者想起了有一段時間在學(xué)校參與的幾次視導(dǎo)課活動，其中有兩節(jié)視導(dǎo)課的課題都是北師版八年級下冊第五章“分式與分式方程”的新授課“分式方程”，這兩節(jié)課在課堂知識完成后授課教師都在總結(jié)增根時出現(xiàn)了這樣的結(jié)論：令分母等于0的數(shù)是分式方程的增根.當(dāng)時評課教師指出了這樣的總結(jié)欠妥，會很容易讓學(xué)生只關(guān)注是否令分母為零，而忽略根的本身，但老師們不以為然，覺得這樣的總結(jié)適合學(xué)生理解，便于學(xué)生在解題中的應(yīng)用.很明顯，教師的總結(jié)是有問題的，既可能是教師的理解出現(xiàn)了偏差，也可能是教師只注重知識的得出而忽略了知識的來源.但無論基于上述哪一種情況，這樣的教學(xué)，對于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)而言很難不出現(xiàn)問題.

3 概念理解

3.1 概念重現(xiàn)

筆者翻閱了北師版和人教版教材的概念表述，北師版教材是這樣表述關(guān)于增根的檢驗(yàn)的：“產(chǎn)生增根的原因是我們在方程的兩邊同乘了一個使分母為零的整式，檢驗(yàn)通常只需檢驗(yàn)所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了.”人教版則是這樣去表述關(guān)于增根的檢驗(yàn)的：“將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是分式方程的解，否則這個解不是原分式方程的解.”兩個版本的概念描述雖然在文字的呈現(xiàn)上有所不同，但都可以清晰看到，要將“所得的根”或“所得的解”代入到分式的分母中，不同的是，人教版強(qiáng)調(diào)了代入到最簡公分母中，而北師版沒有強(qiáng)調(diào).很多教師在講授或?qū)W生在理解時，往往注重了是否令分母為零而忽略了“所得的根”這一重要前提.如果是在解分式方程的考查中，學(xué)生很自然會考慮把所得的解代入到分母中去檢驗(yàn)，因此錯的機(jī)會會小很多，而在選擇題中，由于給出了答案選項(xiàng)，就如本題中C選項(xiàng)就恰好都滿足了令分母為零，對概念理解的“淺層化”，錯誤就難以避免了.

3.2 增根與無解

談到分式方程，增根和無解這兩個概念是無法避開的.在很多學(xué)生看來，增根就意味著方程是無解的，那增根就是無解嗎？答案是否定的.分式方程無解是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情形：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，此解是原方程的增根，從而原方程無解.教學(xué)中，教師可以提出如下創(chuàng)新問題幫助學(xué)生理解概念：

例1若關(guān)于x的方程xx-1-1=m（x-1）（x+2）有增根，求m的值.

分析：若分式方程有增根，則只有x=1和x=-2兩種可能，是否只要分母為零就是增根呢？顯然不是的，我們還要判斷轉(zhuǎn)化后的整式方程是否有解.所以依舊按照解分式方程的步驟，先去分母，得到整式方程之后再判斷.

解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m.

化簡，得x=m-2.

情況一：當(dāng)x=1時，m=3.

將m=3代入原方程，得xx-1-1=3（x-1）（x+2），解方程得x=1.

經(jīng)檢驗(yàn)知，x=1是原方程的增根.

情況二：當(dāng)x=-2時，m=0.

將m=0代入原方程，得xx-1-1=0.

去分母得，x-（x-1）=0，化簡得1=0，所以該方程無解.

故原分式方程無增根.

綜上所述，當(dāng)m=3時，方程有增根.

通過例1可以發(fā)現(xiàn)，如果分式方程在去分母后變形而成的整式方程是一元一次方程，它的解恰能使分式方程最簡公分母為零，那么這個根就是增根，又由于一元一次方程的根往往只有一個，所以這時的原分式方程就無解；若所變形而成的整式方程是一元二次方程時，情形就不一樣了.

例2解方程：2xx+1-2x2+x=x+1x.

解：方程兩邊同乘x2+x，得2x2-2=（x+1）2.

解得x1=3，x2=-1.

經(jīng)檢驗(yàn)，知x1=3是原方程的根；x2=-1是原方程的增根.

由此例可以看出，若將一個分式方程去分母后得到的整式方程是一元二次方程，則這個一元二次方程的“解”可能是原方程的增根，也可能就是原方程的根.這意味著有增根的分式方程不一定無解.

可以想象得到，如果教師對概念的理解再深一層，在教學(xué)時多設(shè)計一些像例1例2這樣的創(chuàng)新問題，對學(xué)生理解概念一定會有更大的幫助.

4 教學(xué)啟發(fā)

4.1 深入理解概念

教師需要不斷加深對教材知識的深刻理解，研究概念的本質(zhì)屬性，教學(xué)上不要局限于概念的應(yīng)用，如本文中提及的分式方程的增根問題，不但要讓學(xué)生知道需要驗(yàn)根，還要讓學(xué)生理解為什么需要驗(yàn)根，這種驗(yàn)根并不是簡單地檢驗(yàn)計算有無粗心、錯漏，而是對解法依據(jù)的完善與檢查，它是必不可少的步驟，也是數(shù)學(xué)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w現(xiàn).上升到這樣的高度來幫助學(xué)生理解增根的概念，不只是訓(xùn)練了分式方程增根問題的求解，更是對概念的深刻理解以及學(xué)科素養(yǎng)的熏陶.

4.2 加強(qiáng)問題創(chuàng)新

很多教師對教材的研讀還停留在學(xué)生視角，問題設(shè)計停留在以知識的獲得為目的、以知識運(yùn)用為方向上.這樣的設(shè)計看似尊重了教材，實(shí)質(zhì)上這樣的問題設(shè)計和解決還停留在“淺表”層，沒有從根本上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，沒有達(dá)到核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目的.提出問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要方式，發(fā)現(xiàn)問題然后主動地解決問題，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生理性思維、價值歸屬等的重要體現(xiàn).因此，教師在教授完概念和解題后，還應(yīng)繼續(xù)深入研究，不但要探究解法，更要探究其隱藏的教學(xué)價值.如例1和例2的教學(xué)中，既鞏固了分式方程解法的基本知識，還訓(xùn)練了學(xué)生對增根、無解等概念的理解和應(yīng)用，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也鍛煉了他們整體分析問題的能力，使學(xué)生感受到知識之間的聯(lián)系，從而提升數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)涵.

4.3 善用錯誤資源

很多教師在教學(xué)上喜歡用示范性教學(xué)，希望通過示范來引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí).實(shí)際上，在教學(xué)過程中學(xué)生也會出現(xiàn)很多錯解和錯題，錯題作為一種寶貴的教學(xué)資源，教師要積極開發(fā)和利用.學(xué)生的每一個錯誤表象背后都是學(xué)生對概念理解的誤區(qū)，教師不要急著否認(rèn)和糾正學(xué)生的錯，要鼓勵他們深入思考、開展探究，從“糾錯”到“究錯”挖掘出導(dǎo)致解答出現(xiàn)謬誤背后的原因或原理.這樣不但能使他們的探究能力和思維水平得到發(fā)展，而且可以培養(yǎng)他們求真求實(shí)的科學(xué)精神，從而實(shí)現(xiàn)錯題資源教育價值的最大化[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]馬芬.理解概念抓本質(zhì) 規(guī)避刷題模式化[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021（23）：23.

[2]蒲榮飛.一道錯題引發(fā)的深入思考和拓廣探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2022（1）：3436.