單元整體視角下的復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐與反思

Z單元整體視角下的復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐與反思課題信息：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度立項(xiàng)課題“培育學(xué)生系統(tǒng)思維的初中數(shù)學(xué)章統(tǒng)領(lǐng)課教學(xué)研究”，課題編號(hào)為D/2021/02/24；南京市重點(diǎn)教科研課題“指向?qū)W生思維生長(zhǎng)的初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)研究”，立項(xiàng)編號(hào)為2021NJJK14Z19.

南京市浦口區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校許盈盈

南京市浦口實(shí)驗(yàn)學(xué)校徐大明

摘要：復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的重要環(huán)節(jié)，不僅承載著梳理舊知的功能，還包含了舊知內(nèi)化升華的過(guò)程，既要“溫故”也要“知新”.本文中以“探索四邊形全等的條件”一課為例，在新知探索過(guò)程中復(fù)習(xí)三角形全等的內(nèi)容，創(chuàng)新性地創(chuàng)設(shè)復(fù)習(xí)課的問(wèn)題情境，以知識(shí)生長(zhǎng)、策略優(yōu)化和結(jié)構(gòu)搭建三個(gè)維度為實(shí)施路徑，引導(dǎo)學(xué)生在新知探索過(guò)程中感受知識(shí)之間的前后關(guān)聯(lián)，一脈相承.

關(guān)鍵詞：整體視角；復(fù)習(xí)課；四邊形全等；結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)整體觀就是加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)部、學(xué)科之間、學(xué)科和現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，把數(shù)學(xué)知識(shí)置身于大背景之中，先“就事論事”再縱橫捭闔.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，在教學(xué)建議部分提出教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體.在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1].

單元整體視角下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要求在教學(xué)過(guò)程中始終貫徹基本觀念、歸納基本方法，形成基本路徑.復(fù)習(xí)課中教師需彌補(bǔ)課時(shí)教學(xué)時(shí)內(nèi)容碎片化的不足，從整體上綜合協(xié)調(diào)知識(shí)各要素之間的關(guān)系，將教學(xué)活動(dòng)的各步驟和各環(huán)節(jié)，都放置到單元學(xué)習(xí)的大系統(tǒng)中加以統(tǒng)籌，加強(qiáng)核心概念的系統(tǒng)化和核心知識(shí)的結(jié)構(gòu)化.本文中以“探究四邊形全等的條件”一課為例，對(duì)整體視角下復(fù)習(xí)課的教學(xué)進(jìn)行探索，供同行研討.

1 教材分析

“全等三角形”是蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第1章內(nèi)容，本章從全等圖形的概念出發(fā)，引入全等三角形的定義，并在探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)三角形全等的條件，通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)來(lái)感悟全等三角形的性質(zhì).“全等三角形”這一章的教學(xué)重點(diǎn)是探究三角形全等的條件，學(xué)生在探索三角形全等的條件的過(guò)程中，經(jīng)歷觀察、制作、畫(huà)圖、猜想等活動(dòng)，從中體會(huì)分析問(wèn)題的方法，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).“探索四邊形全等的條件”是全等三角形知識(shí)內(nèi)容的拓展，本節(jié)課既是對(duì)所學(xué)三角形全等內(nèi)容的提升，也是對(duì)這一章知識(shí)體系的升華.

2 教學(xué)片段

2.1 重溫舊知，歸納方法

師：關(guān)于全等三角形我們研究了哪些內(nèi)容？還可以研究哪些類似的問(wèn)題？

學(xué)生：已研究了定義、性質(zhì)、判定，還可以研究特殊三角形全等，四邊形全等.

師：今天我們將眼光聚焦到四邊形全等的問(wèn)題上.你能給四邊形全等下定義嗎？

生：兩個(gè)能完全重合的四邊形是全等四邊形.

師：你是如何想到的？

生1：全等圖形的定義是“能夠完全重合的圖形叫做全等圖形”，四邊形也是圖形的一種.

生2：類比三角形全等.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧和類比，引出本節(jié)課研究主題，引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系.利用追問(wèn)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回憶全等三角形的研究過(guò)程，促使學(xué)生將已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到類似的問(wèn)題中來(lái)，延續(xù)幾何圖形的研究路徑，幫助學(xué)生初步感知知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖1）.

2.2 設(shè)問(wèn)激趣，加強(qiáng)關(guān)聯(lián)

師：請(qǐng)你借助圖2中的圖形探索四邊形全等的條件.

生1：我模仿三角形全等的研究思路從兩個(gè)四邊形中有一對(duì)元素相等開(kāi)始，然后逐個(gè)添加，看兩個(gè)四邊形全等需要幾對(duì)元素分別相等.

生2：我覺(jué)得沒(méi)有必要從一對(duì)元素開(kāi)始添加，兩個(gè)三角形全等需要三對(duì)元素分別相等，猜想四邊形全等需要四對(duì)元素，判定三角形全等可以用“SSS”，所以判定四邊形全等可以用“SSSS”.

師：這位同學(xué)借鑒了三角形全等的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，猜想出用“SSSS”可以判定這兩個(gè)四邊形全等，接下來(lái)我們一起來(lái)驗(yàn)證一下.

生1：由“SSSS”不能判定這兩個(gè)四邊形全等.我們可以給一組值，邊長(zhǎng)分別為5cm，4cm，3cm，2cm，發(fā)現(xiàn)畫(huà)出的四邊形不唯一，所以無(wú)法判定兩個(gè)四邊形全等.

生3：我們也可以尺規(guī)作圖來(lái)驗(yàn)證.如圖2，給定A′B′=AB，A′D′=AD，B′C′=BC，C′D′=CD，我們?nèi)我猱?huà)一條線段A′B′，當(dāng)以A′為圓心，AD為半徑畫(huà)弧，以B′為圓心，BC為半徑畫(huà)弧時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)C′和頂點(diǎn)D′都無(wú)法確定，因此不能判定.

生4：可以直接畫(huà)出反例.當(dāng)兩個(gè)四邊形四條邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，將其中一個(gè)四邊形“拉一拉”，它的各邊長(zhǎng)沒(méi)有改變，但是角度變了，導(dǎo)致這個(gè)四邊形形狀變了，不再與另外一個(gè)四邊形全等.

師：非常棒！我們?cè)隍?yàn)證猜想時(shí)不僅可以從操作層面驗(yàn)證，還發(fā)現(xiàn)四邊形雖然邊長(zhǎng)確定了，但是“拉一拉”就會(huì)變形，這是由于三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性.既然用“SSSS”不能判定兩個(gè)四邊形全等，那我們還可以作出怎么樣的猜想呢？

生：四個(gè)角分別相等肯定也不行，比如正方形和長(zhǎng)方形，所以四個(gè)條件不行，必須要考慮五個(gè)條件了.

師：五個(gè)條件是否能夠判定兩個(gè)四邊形全等呢？如何判定呢？請(qǐng)大家交流討論，并嘗試驗(yàn)證你的猜想.

生1：剛剛我在畫(huà)圖時(shí)候發(fā)現(xiàn)，雖然“SSSS”不能判定兩個(gè)四邊形全等，但是增加一個(gè)角就可以了，比如“SSSS+A”.這里可以通過(guò)一條輔助線進(jìn)行證明.

如圖3，連接AC，A′C′，若兩個(gè)四邊形中四組邊對(duì)應(yīng)相等且∠B=∠B′，根據(jù)“SAS”可以得到△ABC≌△A′B′C′，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=A′C′，再根據(jù)“SSS”可以得到△ADC≌△A′D′C′，因?yàn)閮山M三角形對(duì)應(yīng)全等，所以這兩個(gè)四邊形全等.

師：這位同學(xué)不僅提供了一種判定兩個(gè)四邊形全等的方法，還為我們提供了一種證明思路，連接對(duì)角線，將四邊形分成兩個(gè)三角形.那么大家參考他的想法還有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

生2：我覺(jué)得上面那種情況，角的位置可以變化，不一定是∠B=∠B′，只要四組邊對(duì)應(yīng)相等，任意給出一組對(duì)應(yīng)角相等都可以證明兩組三角形對(duì)應(yīng)全等.它們都是“SAS”＋“SSS”，因此我們認(rèn)為“SSSS＋A”一定可以判定兩個(gè)四邊形全等.

師：那么五對(duì)元素除了“四條邊＋1個(gè)角”對(duì)應(yīng)相等，還有其他情況嗎？

（教師組織學(xué)生分五組對(duì)五對(duì)元素進(jìn)行分類—猜想—驗(yàn)證，然后展示交流，分類如圖4.）

生1：在這幾種分類中，由于四邊形內(nèi)角和為360°，因此3個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就相當(dāng)于4個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等，若加上2條邊對(duì)應(yīng)相等，利用圖5，仍然可以首先通過(guò)“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=A′C′，∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)“ASA”容易得到△ADC≌△A′D′C′.

生2：根據(jù)生1說(shuō)的，如果減少一條邊是無(wú)法判定任一組三角形全等的，自然不能判定兩個(gè)四邊形全等.比如圖6，只要線段KL∥DC，則四邊形ABLK與四邊形ABCD滿足四組角對(duì)應(yīng)相等與一組邊（AB）對(duì)應(yīng)相等，但是顯然這兩個(gè)四邊形不全等.

生3：對(duì)于“3條邊＋2個(gè)角”的情況，就和前面不太一樣.如圖7，若AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，∠B=∠B′，∠BAD=∠B′A′D′，易證得△ABC≌△A′B′C′和△ADC≌△A′D′C′，則四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′.這里如果其他條件不變，只把條件∠BAD=∠B′A′D′改為∠BCD=∠B′C′D′，則結(jié)論不一定成立.再如，在圖8中，若把∠BAD=∠B′A′D′改成∠D=∠D′，那么△ADC和△A′D′C′全等的情況也是“SSA”，不能判定這兩個(gè)三角形全等，所以不能判定這兩個(gè)四邊形全等.

生5：我發(fā)現(xiàn)了，“3條邊＋2個(gè)角”的情況，這兩個(gè)角必須是相鄰邊的夾角，不能是對(duì)角，不然就會(huì)出現(xiàn)全等三角形中的“SSA”的情況，無(wú)法判定兩個(gè)四邊形全等了.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課雖然只設(shè)置了一個(gè)大問(wèn)題，即探究四邊形全等的條件，但是在探究過(guò)程中根據(jù)學(xué)生的生成不斷地追問(wèn)和引導(dǎo)，不僅讓學(xué)生回顧了全等三角形的相關(guān)知識(shí)，還讓學(xué)生在探究過(guò)程中再次感知通過(guò)逐個(gè)添加條件來(lái)分析問(wèn)題的方法，滲透轉(zhuǎn)化和類比思想.

2.3 追根溯源，總結(jié)提升

師：大家都說(shuō)得非常棒！同學(xué)們經(jīng)過(guò)今天的探索得到四邊形全等的條件有——四條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等;三條邊和兩個(gè)角（鄰邊夾角）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等;兩條邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等.（板書(shū)）

生1：老師，我發(fā)現(xiàn)其實(shí)探究?jī)蓚€(gè)四邊形全等的條件時(shí)連接AC，A′C′以后，將四邊形分成兩個(gè)三角形，只要研究什么情況下△ABC≌△A′B′C′，然后可以根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=A′C′，再研究什么條件下△ADC≌△A′D′C′全等就行了.

生2：對(duì)，我與他的想法差不多，我覺(jué)得四邊形全等的問(wèn)題可以直接轉(zhuǎn)化為三角形全等的問(wèn)題.

師：老師非常同意這兩位同學(xué)的想法，在今天學(xué)習(xí)的過(guò)程中，看似是探究四邊形全等的問(wèn)題，事實(shí)上用的都是三角形全等的相關(guān)知識(shí).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題是非常有效的解決問(wèn)題的辦法.

設(shè)計(jì)意圖：回顧和歸納本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注方法和經(jīng)驗(yàn)的積累，以知識(shí)為載體，在課堂小結(jié)中感受數(shù)學(xué)方法，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

3 教學(xué)反思

3.1 以問(wèn)題為情境，在問(wèn)題串中促進(jìn)學(xué)生自然生成

思維的發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，思維的發(fā)展蘊(yùn)含在知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程中，它離不開(kāi)特定的問(wèn)題情境.一個(gè)良好的教學(xué)情境能夠引發(fā)學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.復(fù)習(xí)課的教學(xué)尤其要重視問(wèn)題的設(shè)置，既不能是知識(shí)點(diǎn)的羅列，更不能是例題的簡(jiǎn)單疊加.教師在上復(fù)習(xí)課前應(yīng)深入鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)、教材等教學(xué)資源，挖掘教材內(nèi)容的潛在價(jià)值，設(shè)置一個(gè)適宜的問(wèn)題情境，用問(wèn)題串聯(lián)起知識(shí)點(diǎn).在問(wèn)題的引領(lǐng)中讓學(xué)生反思，是幫助學(xué)生自主建構(gòu)的一個(gè)有效方法.常見(jiàn)的復(fù)習(xí)課流程是導(dǎo)入—梳理—例題—練習(xí)—總結(jié)，比較側(cè)重于知識(shí)點(diǎn)的鞏固，而較少關(guān)注知識(shí)內(nèi)容的整體性.本節(jié)課以探究四邊形全等的條件為問(wèn)題情境，讓學(xué)生在探究過(guò)程中，鞏固三角形全等的判定、全等三角形的性質(zhì)這些知識(shí)層面的內(nèi)容，再次經(jīng)歷尺規(guī)作圖驗(yàn)證圖形全等以及通過(guò)反例證偽的過(guò)程.通過(guò)這個(gè)問(wèn)題情境，引領(lǐng)學(xué)生站在更高的角度再次審視本章的內(nèi)容，感受內(nèi)容的整體性.

3.2 以轉(zhuǎn)化為抓手，在思想上突出方法的一致性

數(shù)學(xué)教育的目的是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的基本方法，通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行一貫的思維邏輯訓(xùn)練，促使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1].因此在復(fù)習(xí)課的教授過(guò)程中，不僅要關(guān)注知識(shí)的復(fù)習(xí)還要關(guān)注方法的傳遞.在這一節(jié)課中學(xué)生在探究四邊形全等的條件時(shí)，通過(guò)添加輔助線將四邊形全等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形全等去研究，將不熟悉的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容.讓5皮亞杰（Jean Piaget）認(rèn)為“人的認(rèn)知發(fā)展是通過(guò)同化和順應(yīng)使認(rèn)知發(fā)展從一個(gè)平衡狀態(tài)向另-種較高平衡狀態(tài)過(guò)渡的過(guò)程”.這個(gè)同化和順應(yīng)的過(guò)程就是轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化不僅僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解決問(wèn)題的策略.

學(xué)生在探究四邊形全等條件個(gè)數(shù)的過(guò)程中，類比三角形全等的研究思路，從一個(gè)條件開(kāi)始逐個(gè)添加.在這樣的探究過(guò)程中，學(xué)生感受到雖然研究對(duì)象在變，但是研究方法和研究思路不變.這種喚醒已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生建立新知的固著點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)的方法就是類比，這種方法不僅對(duì)本節(jié)課四邊形全等的學(xué)習(xí)有促進(jìn)作用，對(duì)以后研究較為復(fù)雜的圖形時(shí)也會(huì)產(chǎn)生正向的遷移作用.

3.3 以小結(jié)為支點(diǎn)，在反思中促進(jìn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化

當(dāng)代建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)認(rèn)為：學(xué)習(xí)要在活動(dòng)中進(jìn)行建構(gòu)，要求學(xué)生對(duì)自己的活動(dòng)過(guò)程不斷地進(jìn)行反省、概括和抽象.日常教學(xué)中，概念需要一個(gè)個(gè)的教，定理也應(yīng)一個(gè)個(gè)的學(xué)，教師容易在局部中迷失方向，只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)整體教學(xué)，這是由學(xué)科特點(diǎn)決定的，這種整體性包括內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)，以及前后一致的由內(nèi)容反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法[2].由此可見(jiàn)，復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，不僅要重視內(nèi)容，更要關(guān)注結(jié)構(gòu)[3].這節(jié)課的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)復(fù)習(xí)，首先通過(guò)回憶給全等四邊形下定義，明確四邊形全等既是三角形全等概念的延申，也是兩個(gè)圖形關(guān)系的拓展.從橫向梳理，研究圖形的定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用是幾何圖形學(xué)習(xí)的基本脈絡(luò)；從縱向來(lái)看，線段、角的相等關(guān)系是三角形全等的源頭，而三角形全等是兩個(gè)圖形關(guān)系的起點(diǎn).從線段、角到三角形再到四邊形，這樣幾何元素之間的關(guān)系就不再分散，而是構(gòu)成了一個(gè)結(jié)構(gòu)緊密的有機(jī)整體.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]鄭錦枝.選編好的問(wèn)題情境，傳遞數(shù)學(xué)研究方法——以“探究三角形全等的條件”單元教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（18）：2930.

[3]胡素芬.復(fù)習(xí)課也是素養(yǎng)培育的陣地——以初中數(shù)學(xué)整體視角下復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)為例[J].基礎(chǔ)教育課程，2023（8）：5661.