例析衛星運動的兩類問題

【摘要】衛星運動問題是高中物理“萬有引力與宇宙航行”板塊的重要題型.解答此類問題需要綜合運用萬有引力定律、牛頓運動定律和角速度與線速度關系等知識點，對學生的物理素養要求較高.本文結合實例探究衛星運動的兩類問題，以供讀者參考.

【關鍵詞】高中物理；萬有引力；解題技巧

1 衛星的變軌問題

如圖1，在赤道上發射衛星到圓軌道Ⅰ上，衛星先在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，此時向心力大小等于地球對衛星的引力大小.接著衛星在A點加速，向心力變大，地球引力不變，故衛星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ.最后在B點再次加速進入圓形軌道Ⅲ.

速度關系：在A點加速時，vⅡA＞vⅠ；在B點加速時，vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB.

加速度關系：aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ.

周期關系：TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.

機械能：EⅠ＜EⅡ＜EⅢ.

例1 天舟六號貨運飛船發射成功并與中國天宮空間站對接，為航天員送去所需的服裝、食物、水、實驗設備等物資.現將其發射對接過程進行簡化，如圖2，圓軌道1為中國天宮空間站的運行軌道，天舟六號在運載火箭的托舉下沿軌道PA運動至A點“船箭分離”，飛船進入與圓軌道1相切于B點的橢圓軌道2運行，最后與空間站對接.下列說法中正確的是（" ）

（A）飛船由P點運動至B點的過程中機械能持續增大.

（B）飛船沿橢圓軌道2的運行周期要小于空間站的運行周期.

（C）飛船由P點運動至B點的過程中，飛船內的物資始終處于超重狀態.

（D）飛船沿橢圓軌道2的運行速度始終小于與空間站對接后在軌道1上的運行速度.

解 飛船在AB段只受引力，只有引力做功，機械能守恒，故（A）錯誤；由開普勒第三定律R3T2=k得，軌道半長軸越小周期越小，飛船在軌道2的半長軸比軌道1的小，所以飛船在軌道2運動的周期比空間站的運動周期小，故（B）正確；飛船由P點到A點獲得外界提供的動力，加速上升，處于超重狀態，飛船從A點到B點，只受地球引力，處于完全失重狀態，故（C）錯誤；飛船在軌道2運動到B點要經歷點火加速才能進入軌道1運動，所以飛船在軌道2的B點運動速度比與空間站對接后在軌道1上的運行速度要大，故（D）錯誤.

評析 在解答衛星的變軌問題時，首先要明確衛星的運動過程，接著要理解向心力和衛星軌道變化之間的關系，同時要注意角速度和線速度的變化情況，最后根據相關定律即可實現問題的求解.

2 天體中的追及相遇問題

相距最近問題 如圖3，以地球和行星“相遇”為例，某時刻行星與地球相距最近，此時行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉方向相同.從初始時刻到之后再次“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有以下兩種解決方法.

（1）角度關系：ω1t－ω2t=n·2π（n=1，2，3，…）；

（2）圈數關系：tT1－tT2=n（n=1，2，3，…），解得t=nT1T2T2－T1（n=1，2，3，…）.

相距最遠問題 如圖4，行星處在地球和太陽連線的延長線上，三者共線，行星和地球的運轉方向相同，有關系式ω1t－ω2t=（2n－1）π（n=1，2，3，…）或tT1－tT2=2n－12（n=1，2，3，…）.

例2 2022年12月8日，出現了一個特殊的天文現象——“火星沖日”，即地球、火星和太陽幾乎在同一直線上排列，且地球位于火星和太陽之間.火星與地球以相同的方向圍繞太陽進行圓周運動.如圖5，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2.則下列關于“火星沖日”現象說法正確的是（" ）

（A）火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8.

（B）當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大.

（C）火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4.

（D）下一次將出現在2023年12月8日之前.

解 已知火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，由開普勒第三定律得r3火r3地=T2火T2地，則T火T地=r3火r3地=3232，選項（A）錯誤；當火星與地球相距最遠時，兩者速度方向相反，且地球和火星繞著太陽運動的速度大小一定，故此時兩者相對速度最大，選項（B）正確；在星球表面GMmR2=mg，火星和地球的質量比和半徑比未知，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度之比，選項（C）錯誤；ω火=2πT火，ω地=2πT地，要發生“火星沖日”則2πT地－2πT火t=2π，得t=T火T地T火－T地gt;T地，故將出現在2023年12月8日之后，選項（D）錯誤.

評析 在追及相遇問題中，首先要準確分析各個天體之間的相對運動關系，然后根據題目要求建立有關角速度和線速度的運動方程，從而解出答案.

3 結語

通過對上述兩道例題以及相應物理模型的分析，學生對衛星運動中的兩類問題有了初步的理解.總的來說，解決此類問題需要學生深入理解萬有引力定律的本質，并能夠合理運用角速度分析天體或衛星在做圓周運動時的相對運動情況.

參考文獻：

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