促進深度學習 提升運算素養

摘"要：在教師的引導下促進學生深度學習，是有效提升學生運算素養的一種行之有效的教學方法.本文以一道典型的解三角形習題教學為例，展示基于數學深度學習的數學運算素養培養的教學方法，以提升學生運算素養為出發點，提出開展深度學習的四個教學策略：加深概念理解，明晰運算對象；揭示知識聯系，拓展運算思路；倡導解題反思，優化運算方法；加強深度訓練，提升運算品質.

關鍵詞：深度學習；運算素養；教學案例；教學策略

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.^［1］在日常教學中，教師抱怨現在的學生運算能力越來越差，稍微復雜一點的運算就無法得到正確結果.究其原因，筆者認為當前的教學普遍存在著急功近利的情況：急于進行解題訓練，忽視基本概念和原理的教學；解題教學中盲目加大題量，忽視學生對數學知識的理解；教學方法又過于簡單直接，忽視學生的獨立思考及反思的過程.

筆者認為在教師的引導下促進學生深度學習，是一種能夠有效提升學生運算素養的教學方法.深度學習是相對于淺層學習而言的，淺層學習是停留在知識和方法的記憶層面，簡單機械地模仿學習，而且知識是孤立的，難以形成系統.深度學習是學生在教師引領下，圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與學習過程，發現學習內容的價值，體驗學習成功的感受，獲得核心素養發展的有意義的學習過程.數學課堂如果僅停留在淺層學習，對于數學運算素養的提升，無異于隔靴搔癢，起不到真正的作用.

下面筆者以一道典型的解三角形習題教學為例，展示基于數學深度學習的數學運算素養培養策略.

1"基于深度學習的教學案例

例題"在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b=acosC+33csinA.

（Ⅰ）求A的值.

（Ⅱ）若a=3，點D在邊BC上，且BD=2DC，求AD的最大值.

本題的（Ⅰ）容易得到結果A=π3，下面主要介紹（Ⅱ）的教學過程.

1.1"立足三角，固本培元

解法1：從解三角形角度，直接運算.

在△ABD中，由余弦定理可得cosB=AB²+BD²-AD²2AB·BD=c²+4-AD²4c.

在△ABC中，由余弦定理可得cosB=BA²+BC²-AC²2BA·BC=c²+9-b²6c.

c²+4-AD²4c=c²+9-b²6c，整理得AD²=23b²+13c²-2.由正弦定理可得b=23sinB，c=23sinC，AD²=23（23sinB）²+13（23sinC）²-2=8sin²B+4sin²C-2=4-4cos2B-2cos2C=4-4cos2B+2cos（π3-2B）=4+3sin2B-3cos2B=4+23sin（2B-π3）.

當sin2B-π3=1，即B=5π12時，AD²取得最大值4+23，此時AD取得最大值1+3.

本解法盡管運算過程不算簡單，但運算方法局限于三角函數范疇，無論是兩次余弦定理的使用，還是邊轉化為角、降冪公式和合一變形，對于大部分學生來說，還是熟悉的運算思路，只要多加訓練，不難正確得到運算結果.

從學生的角度來說，上述運算過程大部分是機械化、套路式的，不需要很多關聯的數學知識，屬于淺層學習.如果學生的學習到此為止，教師也不加以引導深化，那么學生的運算只能停留在一個較低的水平上，提升運算素養也無從談起.

這時注意到部分學生有一些不同的運算思路，也許并不成熟，還沒有形成確切的運算程序，教師要鼓勵學生積極發表自己的見解，在關鍵之處還可以給出適當的提示，幫助學生完善自己的解題思路，直至得到正確的運算結果.

1.2"代數變形，百花齊放

部分學生有如下思考過程.

因為BD=2DC，所以AD=13AB+23AC，

｜AD｜²=19｜AB｜²+49｜AC｜²+49AB·AC=19c²+49b²+49bccosA=49b²+19c²+29bc，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=9.問題轉化為在b²+c²-bc=9條件下，求49b²+19c²+29bc的最大值.由于無法使用常規的方法消元，也很難轉化為熟悉的三角函數問題，學生束手無策.此時，教師應發揮引導作用，鼓勵學生打破三角函數背景的桎梏，從不同角度去觀察運算對象，探究運算思路.

窮則思變，在沒有運算思路的情況下，必須對運算對象作出合理的變形，轉化成相對比較熟悉或者更為簡單的運算對象.本題的關鍵是怎樣把條件（二元二次方程）和目標（二元二次函數）結合起來，擦出火花.

1.3"從次數角度觀察，齊次變形

注意到條件與目標二元函數均為關于b，c的二次式，可以將條件轉為“1”，放到目標函數的分母上，使分子、分母齊次化，然后整體換元，可以在無法消元的情況下實現“減元”，達到簡化函數（運算對象）的目的，為后續求最值鋪平道路.

解法2：因為b²+c²-bc=9，

所以｜AD｜²=49b²+19c²+29bc=49b²+19c²+29bc19（b²+c²-bc）=4b²+c²+2bcb²+c²-bc=4bc²+2bc+1bc²-bc+1，

設t=bc（tgt;0），｜AD｜²=4t²+2t+1t²-t+1=4（t²-t+1）+6t-3t²-t+1=4+6t-12t²-t+1，

令u=t-12，則｜AD｜²=4+6uu+12²-u+12+1=4+6uu²+34=4+6u+34u≤4+6234=4+23，

當且僅當u=32，即t=bc=3+12時，｜AD｜²取得最大值4+23，此時AD的最大值為1+3.

1.4"從系數角度觀察，配湊定值

解決條件等式下求二元函數的最值問題的一個重要方法是基本不等式法，運用基本不等式求最值的一個關鍵所在是湊“定值”.本題根據不等式將條件中的bc項放縮成含b²與c²的項，與原來的項合并，再考慮系數和目標函數中的2b²+c²成正比，即可得到2b²+c²為定值.在無法直接觀察出b²和c²項系數的情況下，可以使用“待定系數法”來確定如何分解系數.

解法3：由λb²+c²≥2λbc（λgt;0），得bc≤λ2b²+12λc²，

所以b²+c²-bc≥1-λ2b²+1-12λc²，令1-λ21-12λ=2，解得λ=3-1，于是9=b²+c²-bc≥3-32b²+3-34c²=3-34（2b²+c²），所以2b²+c²≤6（3+3），當且僅當bc=3+12時，等號成立，所以AD²=13（2b²+c²）-2≤2（3+3）-2=4+23，AD²取得最大值4+23，此時AD的最大值為1+3.

1.5nbsp;從項的角度觀察，旋轉變換

條件b²+c²-bc=9中含有bc項，比較復雜，如果利用旋轉變換b=x+y，

c=x-y，消去bc項，則運算對象變得更為熟悉，從軌跡的角度來看實質就是一個橢圓，接著利用橢圓的參數方程（三角換元），同樣可以達到“減元”的效果，運算思路就十分明顯了.

解法4：設b=x+y，

c=x-y，則b²+c²-bc=（x+y）²+（x-y）²-（x+y）（x-y）=x²+3y²=9，

設x=3cosθ，

y=3sinθ，則AD²=23（x+y）²+13（x-y）²-2=x²+y²+23xy-2

=9cos²θ+3sin²θ+23·3cosθ·3sinθ-2=3sin2θ+3cos2θ+4

=23sin（2θ+π3）+4，當θ=π12時，AD²取得最大值4+23，此時AD取得最大值1+3.

1.6"回歸圖形，洞若觀火

上面的幾種解法不僅需要具備很強的轉化變形能力，還具有較大的計算量.這時，教師可以追問學生“有沒有更好的處理方法？能不能避免如此煩瑣的運算過程”.上述解法更多的是從“數”（計算）的角度考慮，可以引導學生再次觀察運算對象，從“形”的角度來思考.發現這個問題的前提條件是三角形的一邊及其對角確定，由此聯想到三角形的外接圓也可以確定.

解法5：從解析幾何角度，減少運算.

以△ABC的外接圓圓心O為原點，BC的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系（如圖1）.由正弦定理得△ABC外接圓直徑為2r=asinA=23，則圓的方程為x²+y²=3，B-32，-32，C32，-32，D12，-32，設A（3cosθ，3sinθ），則AD²=3cosθ-12²+3sinθ+32²=3sinθ-3cosθ+4=23sinθ-π6+4，當θ=2π3時，AD²取得最大值4+23，此時AD的最大值為1+3.

善于在事物的變化中找出不變性，這樣才能發現問題的本質.本題中△ABC的頂點A的位置在變化，但由于邊BC長度和對角A的大小不變，得到其外接圓不變，即頂點A的軌跡是圓，這就是問題的本質.在明確運算對象本質的情況下，可以更好地利用其變化規律，選擇合適的運算方法（圓的參數方程），大大減少了運算過程.

解法6：從平面幾何角度，直觀觀察.

作出△ABC的外接圓O（如圖2），△ABC外接圓直徑為2r=asinA=23，點A在圓周上運動，當線段AD經過圓心O時，AD最大，圓心O到直線BC的距離為r²-12BC²=（3）²-32²=32，OD=12²+32²=1，此時AD=AO+OD=1+3.

在發現頂點A在圓上，由于點D是邊BC上的一個定點，運算對象轉化為圓上一動點到圓內一定點的距離，根據幾何直觀，顯然是當兩點連線經過圓心時距離最大，這樣的方法幾乎沒有什么運算量，整個過程沒有用到什么運算方法和技巧，可以說是“無招勝有招”.

2"基于深度學習的教學策略

上述例題的各種運算方法百花齊放，精彩紛呈，都是建立在具備較高的數學運算素養基礎之上.數學運算方法眾多，思路各異.要想達到信手拈來、爐火純青的地步，學生的學習就不能徘徊在低水平的淺層學習.教師在教學活動中需要采用合理的方式，促進學生的深度學習，不斷提升學生的運算素養.

2.1"加深概念理解，明晰運算對象

深度學習是理解性的學習，反對機械化的記憶.在概念教學過程中，教師要舍得花時間，讓學生經歷識別、比較、感悟、歸納、抽象等一系列過程，才能實現對基本知識、概念、原理等的深入理解，從而對概念的內涵和外延有全面的認識.這樣，學生在運算過程中才能更快地明晰運算對象，進一步探究運算思路.

例如，在等差數列教學中，對于等差數列的前n項和公式S_n=na₁+n（n-1）2d，教師應引導學生用函數的觀點來觀察，可以將S_n=d2n²+a₁-d2n=An²+Bn視為關于n的函數，它是常數項為0的二次函數.學生熟悉這一特征后，在將來的解題中，如果遇到形如S_n=An²+Bn的數列，就會很快明確這是一個等差數列.

2.2"揭示知識聯系，拓展運算思路

深度學習是體系化的學習.數學知識之間存在很多的聯系，有數與形的聯系，有特殊與一般的聯系，有函數與方程的聯系，有數學與現實生活的聯系.教師將這些聯系揭示出來，并在原有知識的基礎上，對新獲取的信息進行整合，形成知識的網絡體系，有利于學生在一種運算思路受阻的情況下，及時轉變方向，探索可行的運算方法.例如，根據向量的數量積a·b=|a||b|cos〈a，b〉，可以得到不等式|a·b|≤|a||b|，用坐標來表示即可得到柯西不等式（x₁x₂+y₁y₂）²≤（x²₁+y²₁）（x²₂+y²₂）.在教學過程中，教師揭示這種聯系，可以使學生掌握向量的一個重要應用，也強化了學生對柯西不等式的幾何認識，從而使學生對這兩個知識的理解更加豐滿，為提升數學運算素養奠定基礎.

2.3"倡導解題反思，優化運算方法

深度學習是反思性的學習，在得出運算結果后，應該倡導解后反思.教師不僅要對學生的運算方法和運算結果及時點評，還應創設學生之間積極交流、互相評論的課堂氛圍，將不同的運算方法進行比較、分析，甚至辯論，以尋求最優的運算方法.上文展示的各種運算思路，單憑一己之力，學生很難想得那么全面，正是在師生積極交流的過程中不斷涌現出來的，這一過程使學生開闊眼界，打開思路，還可以培養反思的習慣，為提升數學運算素養提供助力.

2.4"加強深度訓練，提升運算品質

良好的運算品質，表現在運算前沒有畏懼心理，在運算過程中遇到簡單問題不輕視，遇到復雜問題不急躁，始終保持平和的心態，運算受阻時有調整思路的轉化意識，一旦確認運算程序后有不得運算結果不罷休的強大意志.這些良好的運算品質不是與生俱來的，需要通過科學訓練來逐漸提升，一般的淺層訓練，作用僅限于促進數學知識的掌握和運算方法的熟練.深度學習，并不是實行題海戰術，而是教師通過選擇高質量、有代表性和挑戰性的問題，給學生提供一定的獨立思考的時間和空間，并及時組織評價和反思交流.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.