違反直覺(jué)的概率問(wèn)題

一個(gè)周末的下午，我和爸爸一起看電視，一個(gè)有趣的游戲節(jié)目吸引了我們的注意：舞臺(tái)上有三扇關(guān)著的門(mén)，其中一扇門(mén)的后面有一輛跑車(chē)，另外兩扇門(mén)后面則是山羊。選手要在三扇門(mén)之間進(jìn)行選擇，如果選中有跑車(chē)的門(mén)，選手就贏得跑車(chē)大獎(jiǎng)；如果選中有山羊的門(mén)，只能空手而歸。

游戲的規(guī)則很簡(jiǎn)單：主持人會(huì)先讓選手從三扇門(mén)里面選擇一扇門(mén)。選手做好選擇后，主持人并不會(huì)先將選手選擇的門(mén)打開(kāi)，而是從選手沒(méi)選擇的兩扇門(mén)中打開(kāi)一扇沒(méi)有跑車(chē)的門(mén)（主持人知道跑車(chē)在哪扇門(mén)后）。接下來(lái)，主持人會(huì)問(wèn)選手是否要換門(mén)。

這時(shí)候，大部分選手都會(huì)覺(jué)得，剩下的還沒(méi)打開(kāi)的兩扇門(mén)，中獎(jiǎng)概率都是1/2，換不換門(mén)是沒(méi)有區(qū)別的。

是啊，已經(jīng)打開(kāi)的那扇門(mén)后面是山羊，絕不可能中獎(jiǎng)。剩下的兩扇門(mén)里，一定有一扇門(mén)的后面有跑車(chē)，隨便選哪一扇，中獎(jiǎng)概率都是1/2 啊。

那為什么主持人還要多余問(wèn)換不換門(mén)這個(gè)問(wèn)題呢？

爸爸說(shuō)，空想不如動(dòng)手，我們可以自己來(lái)試試看。

爸爸找來(lái)了3 個(gè)一模一樣的有蓋子的盒子，分別標(biāo)為盒子1、盒子2、盒子3，來(lái)代表3 扇關(guān)閉的門(mén)，用1 條項(xiàng)鏈代表跑車(chē)（獎(jiǎng)品）。

做好準(zhǔn)備后，按照節(jié)目的規(guī)則，由爸爸來(lái)扮演主持人，我來(lái)扮演選手。

爸爸將項(xiàng)鏈放在其中一個(gè)盒子內(nèi)，然后讓我在3 個(gè)盒子中任選1 個(gè)。

我只能憑感覺(jué)隨便選啦。我選好后，爸爸就打開(kāi)剩下的兩個(gè)盒子中沒(méi)有獎(jiǎng)品的那個(gè)盒子，然后讓我選擇是否用手里的盒子和他手里的盒子進(jìn)行交換。

我的答案只有兩種：是或否。

我做出選擇后，爸爸就會(huì)公布答案。

每次揭示完答案之后，爸爸都會(huì)重新將獎(jiǎng)品隨機(jī)放進(jìn)三個(gè)盒子中的一個(gè)，并且打亂盒子的順序，讓我重新選擇。

為了讓實(shí)驗(yàn)更接近真相，我們將這個(gè)游戲反復(fù)進(jìn)行了30 次。

游戲結(jié)束后，我將收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

在這30 次實(shí)驗(yàn)中，有15 次我選擇了“換門(mén)”，其中10 次中獎(jiǎng)，5 次沒(méi)中獎(jiǎng)。

沒(méi)“換門(mén)”的15 次，中獎(jiǎng)結(jié)果是否與“換門(mén)”的15 次一致呢？

結(jié)果讓我大吃一驚！沒(méi)“換門(mén)”的15 次中，只有5 次中獎(jiǎng)，而沒(méi)中獎(jiǎng)的次數(shù)多達(dá)10 次！

爸爸查詢了一些資料，然后告訴我，這個(gè)違反直覺(jué)的概率問(wèn)題就是有趣的“三門(mén)問(wèn)題”，也叫“蒙提霍爾問(wèn)題”。在這個(gè)問(wèn)題里，換門(mén)的中獎(jiǎng)概率確實(shí)是不換門(mén)的兩倍。

因?yàn)檫x手第一次選擇的門(mén)，中獎(jiǎng)概率始終是1/3，另外兩扇門(mén)的中獎(jiǎng)概率是2/3。當(dāng)主持人從選手沒(méi)選的兩扇門(mén)中打開(kāi)了一扇沒(méi)有獎(jiǎng)的門(mén)后，就等于排除掉了2/3 概率里的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，讓原本兩扇門(mén)加起來(lái)2/3 的中獎(jiǎng)概率都集中在了其中那扇還沒(méi)打開(kāi)的門(mén)上。

我點(diǎn)點(diǎn)頭，有些明白了。

這時(shí)，爸爸又給我放了一個(gè)“大招”—他拿出6 個(gè)盒子！

他問(wèn)我：“如果像剛才3 個(gè)盒子時(shí)那樣，你選擇了1 個(gè)盒子后，我打開(kāi)了4 個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的盒子。這時(shí)候，你一開(kāi)始選擇的那個(gè)盒子和我這邊剩下的最后一個(gè)沒(méi)有打開(kāi)的盒子的中獎(jiǎng)概率各是多少？”

我思考了一下，自信地回答：“我選的盒子中獎(jiǎng)概率是1/6，你剩的盒子中獎(jiǎng)概率是5/6 ！”

爸爸笑著說(shuō)：“看來(lái)你是真的搞懂了這里面的道理，真棒！”

爸爸還告訴我，概率學(xué)在我們生活中還有很多用處。比如與我們的生活密切相關(guān)的天氣預(yù)報(bào)，它的準(zhǔn)確性就受到許多因素的影響，如氣象觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量、氣象模型的精度、天氣變化的不確定性等。因此，天氣預(yù)報(bào)通常會(huì)給出一個(gè)概率范圍。

概率學(xué)的相關(guān)知識(shí)還可用于：計(jì)算疾病的發(fā)病率，為診斷疾病提供理論依據(jù)；提高生產(chǎn)效率，降低壞品率，減少生產(chǎn)過(guò)程中危險(xiǎn)事故的發(fā)生次數(shù)；幫助投資者評(píng)估不同金融投資品種的風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)，并選擇最合適的投資組合；等等。

數(shù)學(xué)真好玩，我要學(xué)習(xí)更多有關(guān)概率學(xué)的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)更多的概率奧秘！

（指導(dǎo)老師：楊淑婷）