圓錐形紙杯面積有多大

溫故知新

阿盧老師 同學們，生活中你見到過圓錐形的紙杯嗎？

軒軒 我在機場的飲水處見過。

阿盧老師 是的， 在機場、火車站、大商場之類的人流密集地，會用到這種圓錐形紙杯。你們有沒有思考過，為什么要在這些地方使用圓錐形紙杯呢？

萌萌 是不是圓錐形紙杯比我們平時用的紙杯更省紙？

阿盧老師 這個猜測很不錯， 讓我們帶著這個疑問， 一起來探究圓錐形紙杯的側面積吧！

思維探究

阿盧老師 圓錐和圓柱一樣是立體圖形， 圓柱的側面積是怎樣研究的，能否給我們帶來啟發？

果果 將圓柱側面沿高剪開，展開后是長方形，根據已學的長方形面積，就能推導出圓柱的側面積。

軒軒 那圓錐也可以剪開，同樣用化曲為直的方法進行研究。

萌萌 我發現，只要從圓錐底面圓邊沿直線剪到圓錐頂點，展開之后就是一個扇形。

阿盧老師 剪開的這條線其實是圓錐形的母線， 圓錐的母線指的是圓錐頂點到底面圓邊任意一點的距離， 可以用字母L 表示。

阿盧老師 同學們既然將圓錐形紙杯轉化成扇形， 那么扇形的面積又該怎么求呢？ 回顧圓面積的研究經驗，你有沒有什么想法？

果果 圓可以轉化成近似的平行四邊形，根據平行四邊形面積推導出圓的面積。

軒軒 圓還可以轉化成三角形和梯形， 根據已學過的面積公式，推導出圓的面積。

阿盧老師 同學們真是太棒了！ 那就按照你們的方法， 把扇形轉化成學過的圖形，一起來做小實驗吧！

實驗準備：圓錐形紙杯、剪刀、雙面膠、直尺、黑筆、草稿紙。

剪一剪，拼一拼：

我把圓錐形紙杯剪開的扇形平均分成（ ）份，剪拼成（ ）形。

想一想：

剪拼后的圖形與扇形之間有什么關系？

推一推：

你能根據剪拼后圖形的面積，推導出扇形的面積，從而求出圓錐形紙杯的側面積嗎？

我發現：

不管把扇形轉化成什么圖形，最后推導出的圓錐的側面積都等于（ ） 。

通過測量，這個圓錐形紙杯的側面積大約是（ ） 。

阿盧老師 哪一組愿意來分享你們的研究成果？

萌萌組 我們組將扇形平均分成4 個小扇形，上下各2 個，拼接成近似平行四邊形的圖形。平行四邊形的底是圓錐底面周長C 的一半， 即C／2=πr， 平行四邊形的高是圓錐的母線L 。因為平行四邊形的面積＝長× 高，所以扇形的面積是周長的一半× 母線＝ π r L 。

軒軒組 我們組將扇形平均分成4 份， 上面1 個， 下面3個，能拼接成近似三角形的圖形。三角形的底是C／2，即πr， 三角形的高是2 L， 因為三角形的面積＝ 底× 高÷ 2 ， 所以扇形的面積＝C／2× 2 L ÷ 2 ＝ π r L 。

果果組 我們組將扇形平均分成8 個小扇形， 上面3 個， 下面5 個， 就能拼成近似梯形的圖形。梯形的上底是C/8， 梯形的下底是3C/8，高是2 L，因為梯形的面積=（上底＋下底）× 高÷ 2 ， 所以扇形的面積＝ （C/8+3C/8） × 2 L ÷ 2 = π r L 。

熙熙組 我們組也是將扇形平均分成4 個小扇形， 再補上4 個同樣的小扇形， 就能組成一個近似平行四邊形的圖形， 這個平行四邊形的底就是圓錐的底面周長2πr， 平行四邊形的高是圓錐的母線L。因為這個平行四邊形的面積是扇形面積的2 倍， 所以扇形的面積是周長× 母線÷ 2 ＝ 2 π r × L ÷ 2 = π r L。

阿盧老師 同學們真棒， 研究出了四種推導方法， 這些推導過程有相同點嗎？

熙熙 都是將未知的扇形面積轉化成學過的圖形面積，再根據它們之間的聯系推導出扇形的面積。

阿盧老師 所以說轉化是一種非常重要的數學思想方法。下面讓我們一起揭示圓錐形紙杯側面積的公式吧！

圓錐形紙杯側面積的研究成果：

圓錐的側面積公式是πrL，通過測量可知，這個圓錐形紙杯的底面直徑是7 厘米，母線是9.5 厘米。

根據公式可計算出這個紙杯的側面積是3.14×（7÷2）×9.5 ≈ 104.4（平方厘米），約為1 平方分米，和同學們的手掌面積差不多。所以說，手掌大小的紙就能制作出一個圓錐形紙杯，看來制作圓錐形紙杯確實更省紙。

S =πrL

=π×3.5×9.5

=33.25π（cm2）

≈ 104（cm2）

≈ 1（dm2）

升華內化：

阿盧老師 同學們， 通過剛剛的小實驗， 你們有什么收獲或感悟呢？和大家一起分享一下吧。

萌萌 通過今天的實驗， 我發現數學知識之間都是有聯系的，方法也是通用的。以后遇到新的立體圖形，我還會用化曲為直的轉化方法來研究。

熙熙 我發現數學知識并不局限于書本中， 很多時候也在我們的日常生活中。發現生活中的數學， 找尋身邊的數學，是一件非常有趣的事情。

阿盧老師 同學們說得真棒。數學的學習就是循序漸進的過程，讓我們一點一點探索，如何將課本和生活相結合，在發現和思考中迸發出新的思維火花。

自己動手試一試

生活中，除了圓錐形紙杯，更常見的是這種圓臺形紙杯，那么圓臺形紙杯的側面積又該怎樣計算呢？

同學們是不是立刻想到了化曲為直的轉化策略？你能夠將它平均分成若干份，剪拼成近似的長方形或其他已知圖形，再推導出圓臺的側面積公式嗎？

我的實驗報告：————————————————————————————————————————————————