高中數學解析幾何解題策略淺析

摘要：文章利用平面直角坐標系將幾何圖形與代數方程結合，幫助學生直觀理解幾何圖形的特征，準確計算中點弦的長度和斜率等.介紹如何用直接法求解軌跡方程問題，通過幾何變換尋找答案，發展學生的邏輯推理、直觀想象、數學運算素養等.闡述曲線問題的定義法教學策略，引導學生掌握曲線的定義和幾何性質，推導軌跡方程的一般方法.此外，提出了將曲線問題轉化為直線問題的簡化方法，以及將陌生問題轉化為熟悉問題的策略，幫助學生找到解決問題的途徑.

關鍵詞：高中數學；解析幾何；解題策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0071-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：朱文禮，本科，一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

解析幾何是高中數學課程的核心組成部分，通過將幾何圖形與代數方程相結合，從坐標系來研究幾何問題.要求學生掌握運算技能，運用幾何知識來理解問題的本質.解決這些問題需要扎實的數學基礎，還需要靈活的思維和創新的解題方法.學習解析幾何是培養學生數學思維品質非常重要的載體，通過幾何圖形的分析學生可以直觀地理解相關概念和規律，從而拓寬和強化學生的解題思路.

1中點弦問題——幾何與代數相結合

在探討解析幾何中涉及中點和弦的問題時會發現，利用平面直角坐標系，能有效地將幾何圖形的性質與代數方程的運算結合起來.通過這種方式能直觀地觀察到幾何圖形的特征，還能通過代數方法精確地計算出中點的位置和弦的長度和斜率等關鍵信息.將抽象的數學概念與直觀的幾何圖形相結合，學生能理解問題的本質，準確地解答問題，從而在解析幾何的學習中取得好成績[1].

例1橢圓E：x24+y23=1內有一點P（1，1），求經過點P并且以點P為中點的弦所在的直線方程.

分析這個問題牽涉到中點弦的概念.可以借助代數方法來求解直線的方程.雖然這個過程相對復雜，但教師可以引導學生將幾何直觀與代數計算相結合，通過這種方法學生能掌握如何求解直線方程，還能理解中點弦與直線方程之間的內在聯系.通過采用代數與圖形相結合的思考方式，學生能學會數學知識，還能培養空間想象和邏輯推理能力.

解析設以點P為中點的弦的直線與橢圓相交于C（x1，y1），D（x2，y2），聯立

x214+y213=1，x224+y223=1，兩式相減，得

（x1+x2）（x1-x2）4+（y1+y2）（y1-y2）3=0.

因為x1+x2=2，y1+y2=2，

所以k=y1-y2x1-x2=-34.

所以所求直線方程為

y-1=-34（x-1）.

即3x+4y-7=0.

2軌跡方程問題——直接法

在解析幾何軌跡方程問題中，包括直線與曲線的位置關系和滿足特定條件的移動點形成的圖形問題，還包括滿足基本條件的點集問題，這些都是軌跡方程問題所涉及的范疇.解決這類問題可以通過幾何變換來尋找答案.引導學生使用直接法來求解軌跡方程的問題，通過這種方法學生能直觀地理解動點的運動規律，能依據幾何條件直接寫出軌跡方程.直接法的優勢是簡潔性和直觀性，學生可以直接利用已知的幾何條件來推導出軌跡方程，無須再進行復雜的操作[2].

例2古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現：平面上到兩定點A，B距離之比為常數λ（λgt;0且λ≠1）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓被稱為阿波羅尼斯圓.已知△ABC中，A（-3，0），C（3，0），|AB|=2|BC|.求△ABC的頂點B的軌跡方程.

分析通常情況下求解軌跡方程問題可以采用直接的方法來逐步解析問題，直接法的一般步驟：建立平面直角坐標系——根據題意設點坐標——列出等式——把設的點代入等式——化簡求值并驗證，此過程培養學生會用規范的數學語言表達問題，在解答過程中培養學生的數學運算素養.同時，在解決問題時要驗證所提出的方程是否是一個滿足特定條件的動態點軌跡，這涉及將方程與已知條件進行對比，保證方程能準確反映動點的運動規律，培養學生嚴謹的數學思維品質.通過這種方式可以保證解法是正確的，并且能適用于類似的問題.此外，在有些題中已經明確了某對象的定義，如本例題已經給出阿波羅尼斯圓定義，只需讀懂定義，即可直接將研究的對象翻譯為數學符號語言，然后代入定義進行求解.特別是在求解某些解答題時，這樣的方法不僅直接而且會極大提高解題效率.

解法1設頂點B（x，y）（y≠0），則

|AB|2=（x+3）2+y2，|BC|2=（x-3）2+y2.

故（x+3）2+y2=4（x-3）2+4y2.

化簡得點B的軌跡方程為

（x-5）2+y2=16（y≠0）.

解法2由阿波羅尼圓的定義，頂點B的軌跡為圓，圓心在直線AC上.

設圓與x軸的交點為Q（m，0），根據|AQ|

=2|QC|，得|m+3|=2|3-m|，解得m=1或9.

故當Q1（1，0）或Q2（9，0）時，都滿足|AQ|=2|QC|.

所以頂點B的軌跡是以Q1Q2為直徑的圓，其方程為（x-5）2+y2=16（y≠0）.

3曲線問題——定義法

在解析幾何領域，學生常面臨各種曲線問題的挑戰，這些曲線問題的基礎條件相當復雜，涉及多種不同類型的曲線.為幫助學生理解和解決這些曲線問題，可以用定義法這一有效的教學策略.引導學生對動點的軌跡進行細致的探索.通過這種方法學生能掌握曲線的定義，還能理解曲線的幾何性質，靈活運用這些知識解決實際問題.逐步引導學生通過代數運算來驗證曲線的定義，加深學生對曲線概念的理解.通過計算相關參數的數值，學生能夠逐步推導出題目所需的軌跡方程，這種方式使學生能清晰地理解各種曲線的內在屬性，從而在解決具體問題時能得心應手[3].

例3已知△ABC的底邊長為12，其中點B（-6，0），C（6，0），其他兩邊AB，AC上的中線之和為30，求三角形重心G的軌跡方程.分析在研究這個數學問題時，主要目標是推導出點的軌跡方程，這個方程能詳盡地描繪出三角形重心在幾何空間中移動的路徑.在解決問題過程中，學生有多種方法可以選擇，其中一種有效的方式是采用定義法.通過定義法學生可以深入探究三角形重心這一動點在平面中運動的軌跡，從而獲得對重心運動規律的深刻理解.首先要清楚地理解三角形重心這一動點的運動軌跡是否遵循某種特定曲線的定義條件.學生可以利用題目中給出的條件，逐步推導出這個特定曲線的方程.

解析設邊AB，AC的中點分別為D，E，故|CD|+|BE|=30.

所以|CG|+|BG|=20gt;12=|BC|.

所以點G的軌跡為橢圓，且其兩個焦點分別為點B和C.

所以軌跡方程為x2100+y264=1且x≠±10.

4化曲線為直線因曲線問題比直線問題復雜，教師在教學中可以教授學生解題的方法，即將曲線問題轉化為直線問題.將曲線近似為直線或線段來簡化問題，使問題的解決過程直觀和易于理解，這樣一來，學生可以很容易就找到解決問題的路徑.因此，探討如何利用曲線運動的規律能輔助學生有效地解答解析幾何問題.教師在教學過程中應當熟練掌握并靈活運用各種方法，將曲線問題巧妙地轉化為直線問題.如此，學生在面對解析幾何難題時，就能明確解題的方向和計算的步驟[4].

例4如圖1，圓錐的母線AB長為2，底面圓的半徑為r，若一只螞蟻從圓錐的點B出發，沿表面爬到AC的中點D處，則其爬行的最短路線長為5，則圓錐的底面圓的半徑為多少？

分析通過掌握問題解決的策略和方法，學生能靈活運用相關的數學公式，根據題目要求繪制出相應的圖形.通過實際操作，學生能體驗和觀察內在聯系.教師還應引導學生通過將曲線轉換為直線的方法，實現將復雜的曲線問題簡化為直線問題的目標.這種轉換使學生能直觀地理解問題，進而認識到變量的局限性.在繪圖時選擇恰當的角度尤為關鍵，直接關系到能否準確地表達和解決數學問題.

解析如圖2，這是半圓錐的側面展開圖，連接BD1，則BD1的長為螞蟻爬行的最短路線長，設扇形展開圖的圓心角為α，根據題意得

BD1=5，AD1=1，AB=2.

在△ABD1中，AB2+AD21=BD21，

所以∠D1AB=π2.

所以扇形弧長為l=π2×2=π.

所以圓錐底面圓的周長為2l=2π.

即2πr=2π，得r=1.

5化陌生為熟悉在解析幾何中會遇到一些復雜的問題.這些問題與課本上學習的知識點有聯系，但難度超出常規題目的范疇.面對這樣的挑戰教師可以運用一種巧妙的轉化策略，引導學生將那些看似陌生或難以預測的問題，轉化為已經掌握并能熟練解決的題型.這種轉化策略與解析幾何試題的基本特性是相輔相成的.通過這種策略，學生能較好地理解和掌握解析幾何的核心概念和解題技能.鼓勵學生在課后進行練習，通過實踐來鞏固轉化策略的應用.通過這種創新的教學方法，學生能學會找到解決問題的途徑，還能在這一過程中增強自己的自信心[5].

例5已知動圓C經過點F（0，1）并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點，則圓的面積（）.

A.有最大值為π

B.有最小值為π

C.有最大值為4π

D.有最小值為4π

分析動圓C經過點F（0，1）并且與直線y=-1相切，說明動圓C的圓心到點F的距離等于圓心到直線y=-1的距離，根據拋物線的定義，圓心的軌跡是拋物線.在解決涉及圓錐曲線的數學問題時，教師應教會學生運用轉換思維，在面對復雜問題時能適當地調整和變換問題中的定義和條件.通過這種方式，學生可以將原本可能看起來模糊或難以理解的題目條件變得清晰和具體，從而找到解決問題的有效方法和策略.

解析由已知可得圓心的軌跡為拋物線，其標準方程為x2=4y.

設圓上的點的坐標（x，x24），因為圓C過點F，所以半徑

r=（x-0）2+（x24-1）2=x24+1.

直線3x-4y+20=0和動圓C之間有公共點，轉化為點（x，x24）到直線3x-4y+20=0的距離，|3x-4x2/4+20|5≤x24+1.

解得x≥103或x≤-2.

所以圓C半徑是r=x24+1≥2.

所以動圓C最小面積是4π，故選D.

6結束語

高中數學解析幾何是知識體系中的一個核心組成部分，解析幾何內容涵蓋代數、幾何等多個數學知識，其內容有高度的綜合性和邏輯性.為讓學生能充分地理解和掌握解析幾何的理論知識，教師需要進行詳盡講解，這包括對基本概念、定理和公式的闡釋和對這些知識的靈活運用.教師通過營造實際問題情景，讓學生真正經歷解析幾何問題的解決過程，可以幫助學生掌握解題策略，培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，為學生將來的學習和生活奠定堅實的基礎.

參考文獻：

［1］丁有源.高中數學解析幾何定點定值問題的難點剖析與突破[J].數理天地（高中版），2024（23）：64-65.

[2] 任捷.基于STEAM理念的高中數學項目式學習開展策略：以“解析幾何”為例[J].數學學習與研究，2024（31）：126-129.

[3] 丁瑤.“雙微”機制引領下高中數學解析幾何教學策略研究[J].教師，2024（28）：39-41.

[4] 黃文根.高考數學試題中解析幾何的解題策略探討[J].數理化解題研究，2024（24）：27-29.

［5］ 馮開紅.基于運算視角的高中數學解題策略研究：以一道解析幾何題為例［J］.數理化解題研究，2024（06）：50-52.

［責任編輯：李慧嬌］