深度學(xué)習(xí)視域下數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索

【摘要】文章基于深度學(xué)習(xí)的視角，從聚焦單元知識、融合實踐活動、優(yōu)化思維邏輯三個維度，探索了優(yōu)化高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的策略，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的教學(xué)模式有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)其建模意識。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的重要途徑，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用綜合思維，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并將其應(yīng)用于實踐。深度學(xué)習(xí)視域下，數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化和應(yīng)用能力的提升。本文將從多方面探討數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略，以培養(yǎng)學(xué)生的綜合思維能力。

一、聚焦單元知識，熟悉建模教學(xué)的類型

1.函數(shù)模型，描述變化規(guī)律

函數(shù)模型是通過建立自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，描述事物變化的規(guī)律。學(xué)生需要在理解函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，批判性地分析問題情境，選擇合適的函數(shù)類型，構(gòu)建函數(shù)模型，并將其應(yīng)用于實際問題的解決。

在教學(xué)“三角函數(shù)”的時候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立三角函數(shù)與現(xiàn)實問題之間的聯(lián)系。例如，教師可以提出這樣一個問題：某地的日照時間隨季節(jié)變化，如何建立數(shù)學(xué)模型來描述這一變化規(guī)律？教師引導(dǎo)學(xué)生分析，日照時間的變化具有周期性，可以用正弦函數(shù)來描述。設(shè)t為時間（以月為單位），H為日照時間（以小時為單位），則可以建立如下函數(shù)模型：H（t）=12+4sin（π（t-3）/6）。其中，12表示日照時間的平均值，4表示日照時間變化的幅度，π（t-3）/6表示日照時間變化的周期為12個月，且在第3個月達(dá)到最大值。通過這個模型，學(xué)生可以計算出任意時間的日照時間，并理解日照時間變化的規(guī)律。函數(shù)模型的建立過程體現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)下的數(shù)學(xué)建模思想，學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，將新知識與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識體系。

2.數(shù)列模型，計算利潤利率

在數(shù)學(xué)建模中，數(shù)列模型常用于描述事物的遞增或遞減規(guī)律，特別是在經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域，如利潤增長、資金積累等問題。通過構(gòu)建數(shù)列模型，學(xué)生不僅能深入理解數(shù)列的性質(zhì)，還能將抽象的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用于實際問題的解決中。

在教學(xué)“等比數(shù)列”的時候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立等比數(shù)列與利潤利率之間的聯(lián)系。例如，教師可以提出這樣一個問題：某企業(yè)投資1000萬元，年利率為8%，假設(shè)每年的利潤全部用于再投資，求10年后的總資金量。教師引導(dǎo)學(xué)生分析，每年的總資金量是前一年的1.08倍，形成了一個等比數(shù)列。設(shè)An為第n年的總資金量，則可以建立如下數(shù)列模型：An=1000×1.08n-1。其中，1000為初始資金量，1.08為等比數(shù)列的公比，n為年數(shù)。通過這個模型，學(xué)生可以計算出第10年的總資金量為A10=1000 ×1.089≈2158.92（萬元）。通過等比數(shù)列模型計算利潤利率的教學(xué)案例，學(xué)生不僅掌握了等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，更重要的是學(xué)會了如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。這一過程促進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，提升了他們的數(shù)學(xué)建模能力，還培養(yǎng)了他們的經(jīng)濟(jì)意識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的實用價值。

3.方程模型，轉(zhuǎn)化等量關(guān)系

方程模型是將實際問題中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，幫助學(xué)生深入探索問題的本質(zhì)。在解決涉及二次函數(shù)、一元二次方程及不等式的問題時，方程模型尤為重要，它使學(xué)生能夠利用數(shù)學(xué)語言精確地描述問題，并通過求解方程找到最優(yōu)解或滿足條件的解集。

在教授“二次函數(shù)與實際應(yīng)用”的課程中，教師引入了一個關(guān)于銷售利潤最大化的案例。假設(shè)某商品的銷售量Q與銷售價格p之間的關(guān)系為Q=-5p2+250p，每件商品的成本為50元。為了找到使利潤最大化的銷售價格，教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)立利潤函數(shù)L（p）=（p-50）Q=（p-50）（-5p2+250p），并展開為二次函數(shù)形式。隨后，教師沒有直接給出求解過程，而是鼓勵學(xué)生通過完成平方或求導(dǎo)等方法找到函數(shù)的極值點。學(xué)生經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)當(dāng)銷售價格為55元時，利潤達(dá)到最大。此過程不僅加深了學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)的理解，還讓他們親身體驗了如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并求解的過程。

二、融合實踐活動，拓展建模教學(xué)的途徑

1.研究性學(xué)習(xí)，理解知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)建模的核心在于通過抽象的數(shù)學(xué)理論，解釋和解決現(xiàn)實世界中的復(fù)雜問題。在研究性學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過主動探索與實際問題相結(jié)合，深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

在教學(xué)“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”的時候，教師通過實際的物理情境引入導(dǎo)數(shù)的概念，例如，教師展示了一輛車的行駛數(shù)據(jù)圖，圖中顯示了時間與汽車行駛距離的關(guān)系。教師提出問題：“如果我們想知道在某一時刻，這輛車的速度是多少，該如何求解？”在課堂上，教師讓學(xué)生觀察“距離-時間”圖像，鼓勵他們提出，速度的瞬時值其實就是我們在某一點上求的切線的斜率，而這便是導(dǎo)數(shù)的定義。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)定函數(shù)s（t）為汽車在時間t時的位移，假設(shè)汽車在t=0到t=10秒內(nèi)行駛了不同的距離，通過記錄數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)，如：s（t）=5t2。在該函數(shù)模型下，汽車的平均速度可以表示為米/秒，

瞬時速度則需要用到導(dǎo)數(shù)來求。教師引導(dǎo)學(xué)而生計

算導(dǎo)數(shù)：，在t=5秒的時候，學(xué)生可

以得到瞬時速度s＇（5）=10×5=50米/秒。通過此例，學(xué)生不僅學(xué)會了如何計算導(dǎo)數(shù)，還理解了導(dǎo)數(shù)所代表的瞬時速度的意義。通過研究性學(xué)習(xí)，教師運(yùn)用與實際問題緊密結(jié)合的案例，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念及其在生活中的應(yīng)用。學(xué)生不僅學(xué)會了如何求導(dǎo)，更重要的是，認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)在描述變化與速度中的核心作用，使他們換種思維思考如何將抽象的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實問題相結(jié)合。

2.跨學(xué)科學(xué)習(xí)，生成創(chuàng)意方案

跨學(xué)科學(xué)習(xí)可以通過實現(xiàn)各個學(xué)科之間的互動，數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，與物理、工程等其他學(xué)科緊密相連。如學(xué)習(xí)空間向量，不僅幫助學(xué)生理解空間的幾何關(guān)系，更為物理學(xué)中的力、速度等概念提供了強(qiáng)有力的模型支持。

在教學(xué)“空間向量的應(yīng)用”時，教師先讓學(xué)生回顧空間向量的基礎(chǔ)知識，包括向量的定義、加法、減法和數(shù)乘等運(yùn)算。之后，教師提出一個實際問題：假設(shè)有一艘漁船在海面上航行，已知漁船的

初始位置向量為（表示在三維空間中的坐

標(biāo)），漁船的航行速度向量為（單位是千米/

小時），并要求學(xué)生計算在2小時后，漁船的位置向量。這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下步驟：

（1）計算位移向量：教師引導(dǎo)學(xué)生先計算位移向量，即時間乘以速度得到的向量：

（2）更新位置向量：教師指示學(xué)生通過向初始位置向量添加位移向量來獲得漁船的新位置：

（3）綜合討論：與學(xué)生討論漁船到達(dá)的新位置在海面上的實際意義，引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用空間向量的方法進(jìn)行其他類似問題的求解，如運(yùn)動中的相遇問題。

通過跨學(xué)科學(xué)習(xí)，教師能夠有效地將空間向量的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活中的問題相結(jié)合，使學(xué)生在實踐活動中生成創(chuàng)新方案。在具體的教學(xué)案例中，教師通過求解漁船的位置向量，不僅展示了數(shù)學(xué)建模在實際問題中的應(yīng)用，也激發(fā)了學(xué)生的探索精神。

三、基于思維邏輯，優(yōu)化建模教學(xué)的過程

1.尋找原型，抓取關(guān)鍵信息

原型總結(jié)了問題的本質(zhì)，而關(guān)鍵信息則幫助學(xué)生在建立模型時快速把握核心概念。通過關(guān)鍵信息，學(xué)生能夠在復(fù)雜問題中找到簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)行有效建模。

在教學(xué)“復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算”時，教師選擇了關(guān)于電路的相關(guān)問題來進(jìn)行模型構(gòu)建。考慮一個交流電路，其中電壓和電流可以用復(fù)數(shù)表示。教師介紹了復(fù)數(shù)，包括形式a+bi（其中a和b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位），以及它們的四則運(yùn)算。在這里，教師強(qiáng)調(diào)了復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算：

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逐步簡化，最終得出I=A+Bi的形式，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)在電路理論中的應(yīng)用。

通過這種方式，教師展示了如何在課堂中將抽象的復(fù)數(shù)運(yùn)算與電路相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在電流和電壓計算中掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，培養(yǎng)了他們進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的思維習(xí)慣。

2.數(shù)字支持，調(diào)整關(guān)鍵數(shù)據(jù)

數(shù)字的支持使得教學(xué)過程中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)調(diào)整變得更為高效和直觀。現(xiàn)有技術(shù)的多次升級，教師在處理數(shù)據(jù)時更加順利，如Excel軟件結(jié)合了強(qiáng)大的數(shù)據(jù)計算和分析功能，教師在處理數(shù)據(jù)時就可以調(diào)用其內(nèi)置的函數(shù)功能和圖表功能。

在教學(xué)“離散型隨機(jī)變量及其分布列”的過程中，教師以數(shù)據(jù)支持和數(shù)學(xué)建模的方式開展課堂活動。設(shè)想某個班級正在進(jìn)行一次期末考試，教師希望通過這次考試成績來分析班級總體表現(xiàn)。假設(shè)班級共有30名學(xué)生，其考試成績（離散型隨機(jī)變量）為：65，70，75，80，85，90，95，100，70，80，75，85，90，95，80，75，70，65，60，95，90，85，80，75，70，100，90，70，65，100。教師使用Excel指導(dǎo)學(xué)生統(tǒng)計這組數(shù)據(jù)的頻率，構(gòu)建出離散型隨機(jī)變量的分布列。為此，先組織學(xué)生將成績分組，例如60-69：4個；70-79：9個；80-89：7個；90-100：10個。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生計算每一組的概率，并最終形成概率分布列：P（X=60-69）=4/30=0.133；P（X=70-79）=9/30=0.300；P（X=80-89）=7/30=0.233；P（X=90-100）=10/30=0.333。

完成這一過程后，教師可以通過統(tǒng)計圖形（如柱狀圖或條形圖）直觀地展示出整個班級的考試成績分布情況，也有助于學(xué)生理解隨機(jī)變量的概念。

3.聯(lián)系生活，強(qiáng)化應(yīng)用意識

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在建模教學(xué)中，聯(lián)系生活情境對于學(xué)生的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。通過真實的情境，學(xué)生能夠更好地理解這些知識的背景及意義。通過生動的實例，學(xué)生可以在實際使用中體會到基礎(chǔ)知識在生活中的應(yīng)用價值。

講解“排列與組合”時，教師選擇帶領(lǐng)學(xué)生策劃一次學(xué)校的文藝匯演。在此過程中，教師提出，假設(shè)學(xué)校此活動有4個節(jié)目：舞蹈、歌曲、小品和樂隊，現(xiàn)需要從這4個節(jié)目中選出3個進(jìn)行匯演，并在演出順序上排定次序。考慮到選出3個節(jié)目的順序問題，這實際上是一個排列的問題。教師問道：“同學(xué)們，如何計算從4個節(jié)目中排列出3個節(jié)目的不同順序呢？”在學(xué)生的討論中，教師鼓勵他們回憶排列

的公式，并給出排列公式為Anr，其中Anr表示從n個中選取r個的排列方式。然后，教師提供具體數(shù)據(jù)，n=4（節(jié)目總數(shù)），r=3（要選取并排列的節(jié)目數(shù)）。于是，教師繼續(xù)計算：

教師通過示例計算得出，選擇3個節(jié)目并排列的方式共有24種。接下來，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生考慮另一種情況，即如果不考慮節(jié)目順序，僅僅選擇3個節(jié)目的組合，則這就是一個組合問題。教師提到組合的計算公式為。此時，學(xué)生再以相同

的例子進(jìn)行計算：

因此，學(xué)生感受到，從4個節(jié)目中選擇3個節(jié)目的組合有4種方式。在這個過程中，教師不僅教授了排列與組合的基本知識，也提高了學(xué)生的實際應(yīng)用意識，使他們能夠看到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，同時增強(qiáng)了他們解決實際問題的能力和信心。

隨著社會發(fā)展對數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的日益重視，數(shù)學(xué)建模教學(xué)必將在高中數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮越來越重要的作用，成為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要途徑。

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