經歷建模過程 提升數學能力

［摘要］數學建模是數學素養的重要組成部分，是培養學生數學能力、提升數學素養的重要載體. 在日常教學中，教師應以基礎知識為立足點，從宏觀角度出發，注重引導學生參與模型的構建和應用過程. 這種做法能夠激發學生的思維活力，深化對知識的理解，并有效地提升他們的數學能力和素養.

［關鍵詞］ 數學建模；立足基礎；過程

模型思想能夠將抽象化的數學知識歸類統一，從而獲得模型化的問題解決方案，提高學生的學習效率［1］ .在日常教學中，不少教師傾向于通過講授的方式，將自己歸納總結的數學模型直接傳授給學生，并鼓勵學生應用這些模型來解決問題，以此提升解題效率.確實，通過套用模型，學生能夠迅速得出問題的答案，但這種做法往往忽略了學生對數學模型建構過程的理解.因此，學生對模型的理解往往是膚淺的，一旦題目出現細微變化，他們很可能會感到迷茫.此外，忽略模型生成過程的教學方法，還可能抑制學生在數學抽象、數學建模等方面能力的培養，進而影響他們數學思維能力的成長和提升.在教學“相似三角形”中的“一線三等角”模型時，筆者以學生思維為出發點，引導他們經歷模型的完整構建過程，這不僅加深了學生對模型的理解，還提升了學生思維和能力.

教學設計與分析

“一線三等角”模型又稱“K型圖”，是指具有三個等角頂點排布在同一直線上的全等或相似圖形.這三個等角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.這些角可以在直線的同側，也可以在直線的異側.實際上，學生對這一模型并不陌生，他們在學習“全等三角形”時已經接觸過類似模型.同時，學生對相似三角形的判定也有了一定的理解和認識.因此，在教學過程中，我們應有意識地引導學生自主探究，讓他們自行發現其中的規律，構建數學模型，并能靈活運用這些模型解決問題. 日積月累，我們就能培養學生的建模意識，并提升他們的數學思維能力.然而，學生在處理較為復雜的直線型問題時，解題思路和方法仍然比較受限.學生遇到需要構造相似三角形的問題時，往往感到困難重重.因此，在日常教學中，教師應當注重引導學生體驗構造相似圖形的過程，幫助他們形成清晰的圖形概念.

1. 類比抽象，提取模型

問題1 如圖1，將含45° 角的直角三角板放在直角坐標系中，使其直角頂點為坐標原點.假如點A的坐標為（2，1），求點B 的坐標.

變式：如圖2，若將“含45°角的直角三角板”改為“含30° 角的直角三角板”，位置不變，點A 的坐標不變，此時點B 的坐標又是什么？

設計意圖 從低起點問題入手，引導學生通過類比發現“一線三等角”相似模型，深刻理解數學知識之間的內在聯系，從而激發他們對數學探究的熱情.

問題2 若將圖5中的直角變為銳角或鈍角，此時兩個三角形是否仍然相似呢？請大家先動手畫一畫，然后給出證明過程.

師生活動 教師預留時間讓學生操作、觀察、驗證.學生通過動手實踐發現，不論這三個角是銳角還是鈍角，只要一條直線上的三個等角保持不變，那么這兩個三角形仍然保持相似性.

設計意圖 通過變換視角，能夠拓寬學生的視野，讓他們在圖形變換中領悟恒定的本質，從而加深對基礎模型的理解，最終成功地構建“一線三等角同側模型”.

2. 簡單應用，完善模型

問題3 在正方形ABCD 中，點P，Q 分別在直線CB，DC上（點P異于點C，B），且∠APQ = 90°.已知正方形ABCD 的邊長為5，當CQ=1時，求線段BP 的長.

師生活動 問題給出之后，教師預留時間讓學生動手作圖，引導學生借助圖形尋找解題的突破口.不過動點問題一直都是難點，部分學生容易產生畏難情緒.因此，為了簡化思維過程，增強學生的參與感，教師將問題分解成以下3個小問題：

（1） 請在圖6 上畫出CQ=1的所有可能性；

（2） 根據已知條件，請在BC上確定點P的所有位置；

（3） 結合圖形，請求出滿足條件的BP的長.

在問題的引導下，學生呈現出如圖7所示的圖形，利用圖形的直觀性，問題得以輕松解決.求解完成后，教師引導學生繼續觀察并抽象圖形， 進而推導出如圖8所示的“一線三等角異側模型”.

設計意圖 通過典型練習，一方面加深學生對“一線三等角同側模型” 的理解， 另一方面為理解“一線三等角異側模型”打下基礎.在這一環節，教師通過簡化問題，增強了學生的解題信心，提高了課堂參與度.解題完成后，教師又引導學生抽象圖形，掌握“一線三等角異側模型”.通過模型完善，一步一步地培養學生的建模意識，鍛煉學生的圖形識別和應用能力，促進學生數學思維能力與素養的發展.

問題4 如果在圖8的基礎上將問題變一變，你想怎么變？可以得到怎樣的結論？

師生活動 學生根據探究經驗提出將圖8中的直角變為任意角.教師預留時間讓學生獨立證明并驗證結論.

設計意圖 將直角推廣至任意角，進一步完善了“一線三等角異側模型”.至此，在問題的引導下，學生通過探究完善了“一線三等角相似模型”的所有情況，為后續模型的應用奠定了堅實的基礎.

3. 應用模型，提升思維

問題5 如圖9，已知△ABC是等邊三角形，在BC 邊上任取一點D， 折疊△ABC， 使點A與點D重合， 其折痕為MN. 若BD/DC=2/3， 則AM/AN =____________.

變式：如圖10，在等腰三角形ABC 中，AB = AC，點D 是BC 邊的中點，且∠MDN=∠B，結合已知條件，請找出所有的相似三角形.

設計意圖 通過實際應用，一方面加強和鞏固模型，另一方面讓學生切身體會到學習模型的必要性，進而提高解題效率.

4. 歸納總結，構建體系

問題6 本節課我們重點研究了哪些內容？你有哪些收獲？

師生活動 教師預留時間讓學生歸納總結，逐漸建立起“一線三等角相似模型”體系.在此過程中，教師引導學生探究各種模型之間的差異與聯系，將孤立的模型串聯起來，進而構建起一個完整的“一線三等角相似模型”體系.

設計意圖 課堂小結是深入理解知識，建構個體知識體系的重要一環.在日常教學中，教師應安排足夠的時間，讓學生進行歸納總結，以完善知識結構，使思維條理化，為知識的應用奠定堅實的基礎.同時，教師還應引導學生經歷模型構建的各個階段，以提升他們掌握數學知識的能力、建模技巧能力以及思維能力.

5. 綜合應用，升華思維

問題7 如圖11，已知直線l₁：y =-2x+4分別與x軸，y軸交于A，B兩點， 將△AOB沿直線l₁翻折，得到△PAB.

（1） 求點P 的坐標；

（2） 過點P 作直線l2，使之與直線l₁的夾角為45°，試求l₁與l₂交點的坐標.

師生活動 略.

設計意圖 建構模型既是解題的重點，也是解題的難點.在解題過程中，教師應引導學生應用構建的模型來探究三角形的相似性或全等性，進而研究邊角關系.學生通過綜合運用函數、方程等數學知識，靈活地解決了問題.這一過程不僅有助于學生鞏固基礎知識，還能促進學生基本技能的強化，有利于提升學生的數學解題能力和數學思維能力.同時，通過應用“一線三等角相似模型”和“一線三等角全等模型”，有助于培養學生數學建模意識，進一步發展學生數學核心素養.

教學思考

在本次教學中，教師從學生的最近發展區出發，通過創設由淺入深的問題引導學生經歷模型抽象、完備、整合、應用等過程，助力學生逐漸建構起完善的“一線三等角相似模型”，培養學生用數學建模思考問題的學習習慣［2］ .同時，通過創設有效問題為學生思維搭建起進階的梯子，使學生的數學能力和思維能力螺旋式上升.

1. 以問題為主線，驅動模型生成

數學模型注重對學生邏輯思維能力和數學語言表達能力的培養，將數學模型應用于解題過程，不僅可以優化解題過程，還可以提升解題效率.由此可見數學模型對學生學習、研究數學都具有十分重要的意義.在初中數學教學中，為了讓學生能夠深刻地理解模型并靈活應用模型解決問題，筆者并未采取講授的方式直接將模型告知學生，而是通過創設層層遞進的問題引導學生經歷數學模型建構過程，通過自身體驗讓學生掌握建模方法，發展學生的建模意識.

在教學中，教師從學生熟悉的“一線三等角全等模型”出發，引導學生通過類比提煉“一線三等角相似模型”.為了進一步完善模型，建構“一線三等角相似模型”體系，教師繼續引導學生將“直角”變為“銳角”或“鈍角”，將“同側”變為“異側”，通過合理化整合與優化，幫助學生建構起完備的“一線三等角模型”體系，有效地訓練了學生的“四基”“四能”，全面提升了學生數學能力和數學素養.

2. 以學生為主體，助力思維提升

眾所周知，優秀的課堂教學應鼓勵學生主動參與.在日常教學中，教師應尊重并信任學生，根據學生的認知發展規律，設計既符合學生認知水平又具有挑戰性的問題，在解決問題的過程中，有效地提升學生的思維能力和學習能力.

例如，在抽象模型的教學過程中，教師將直角三角板置于直角坐標系內，引導學生自行構建、自主發現和自行類比，通過自主探究抽象得出“一線三直角模型”.在此基礎上，教師鼓勵學生變化角度，將直角概念推廣至任意角，讓學生運用已有的知識和經驗進行驗證，進而完善和構建同側模型.在這一過程中，教師并未機械灌輸，而是根據學生思維發展的脈絡，適時地進行啟發和指導，激發學生的主體性和積極性，促進其思維能力的發展.又如，學生在應用相關知識解決問題時，教師并非簡單地將解題步驟告知學生，而是結合獨立思考與合作交流的方式，引導學生進行思考、交流和建構，以此激發學生的潛能，幫助其思維能力和學習能力的全面提升.

總之，在初中數學教學中，教師應深入研究學生的需求，精心設計問題情境，注重引導學生經歷模型的構建、完善及應用等環節.通過讓學生在最近發展區解決問題，幫助他們構建新的知識體系和技能，從而有效地提升數學思維能力和數學學習能力.

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