捕捉生長契機 落實核心素養

［摘要］文章以“數軸上的動點問題”為例，在分析問題時，抓住學生的生長契機，引導學生多角度思考并采用分類討論的方法解決問題，培養學生數形結合的思想，落實對學生抽象能力和模型觀念等核心素養的培養.

［關鍵詞］生長契機；數學素養；動點問題

背景分析，思辨之始

“數軸上的動點問題”橫跨代數和幾何兩大數學領域，融合了方程模型和數形結合的思想.這類問題要求學生從動態的視角和聯系的觀點出發，分析、掌握動點的運動規律.動點問題的抽象性與多變性容易使部分學生在解題時望而生畏，于是這類問題便成為他們學習路上的攔路虎，導致方程模型、抽象能力等數學素養以及分類討論和數形結合的數學思想難以形成［1］.

設計施教，思想之旅

（一） 設計框架

筆者以諸暨市2024學年上學期數學期末考試的一道考題為切入點，進行變式教學，通過引導學生進行分類討論、多角度思辨以及類比遷移，落實對其抽象能力和模型觀念的培養.教學設計框架如圖1所示.

（二） 教學實施

1. 考題拆解，基礎顯現

預習任務：

如圖2，點A，B在數軸上表示的數分別為-2與4，若數軸上A，B兩點之間存在點C，使得AC=2BC.

（1） 點C所表示的數為______ .

（2） 動點Q從點B出發，以每秒1 個單位長度的速度向右運動，假設運動時間為t 秒，求：①當t 為何值時，QC = 3.

設計意圖 通過增加基礎題型，對考題進行拆解，引導學生從線段和點這兩個不同的角度用代數式刻畫研究對象，既列出方程解決問題，又復習回顧知識點，起到“以題知理”的效果，同時為后續分類討論奠定基礎.

學生反饋 不難求得點C 所表示的數為2.對于第（2） 題第①問，學生均能列出方程，且有兩種解法.

生1 （線段和差角度） 根據動點Q的運動狀態可知QB=t，則QC=QB+ BC=t + 2.所以根據QC =3，可列方程t +2=3，解得t = 1.

生2 （兩點間距離角度） 根據點Q的運動狀態可知，當運動時間為t 秒時，點Q 表示的數為4 + t，不難發現點Q永遠都在點C 的右側，所以可得QC =（4 + t）-2 = t + 2，同樣可列方程t +2=3，解得t = 1.

教學反思 雖然兩種解法均有學生作答，但基礎較差的學生未想到用方程模型解題.因此，可對預習題目進行改進，專門為基礎較差的學生增加特別提示：用包含時間t 的代數式表示QC的長度和點Q的位置關系.

2. 契機捕捉，素養生成

如圖3，在預習題中增加動點P：從點A出發，以每秒3個單位長度的速度向右運動.求：②當t 為何值時，PC = 3；

③當QC =2PC 時，求t 的值.

設計意圖 通過變式，逐步完善，直至期末考題呈現.在課堂中采用動畫演示，引導學生分析題意，從中抓住生長契機，引導學生分類討論.

學生反饋 對于第②問，可從動畫中直接觀察到點P 隨著時間發生變化，并且可從兩點間距離的角度進行刻畫，具體反饋如下：

生 根據點P的運動狀態可知，當運動時間為t 秒時，點P表示的數為-2+3t. 而PC有兩種情況：點C的坐標減去點P的坐標和點P 的坐標減去點C 的坐標.

此時，教師應抓住生長契機追問：為何有兩種情況？

生 有時候點P在點C的左邊，有時候點P在點C的右邊.

師 有時候…… 有時候…… ，能否用代數式明確有時候是什么時候？并求出t 的值.

實踐表明，從兩點間距離的角度解答，思路較為煩瑣；若改用線段和差的角度，從繪圖中直接分析也可得到PC 長度的表達式. 此時，抓住兩個角度作比較這一生長契機，引導學生辨析兩個角度的區別，如表1.

教學反思 通過變式，抓住學生對兩個角度解答的難易程度不同這一感受的契機，引導學生結合研究對象和所需要素辨析兩者的適用情況，達到“以題知理”的目的.

變式2 動點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度向右運動，當點P與點Q相遇時立即改變方向，向左運動，速度不變；同時，動點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向右運動，假設運動時間為t秒，求當t 為何值時，QC=2PC.

設計意圖 通過對原題進行再次變式，增加臨界點的分類討論.同時，利用信息技術進行演示，引導學生畫圖并分析相應情況，強化正在形成的分類討論思想.

教學反思 通過例題和變式1的動態演示輔助解題，大多數學生都能在變式2中自主地進行分類討論并作圖分析.因此，可以在學生解答完題目并點評之后，展示變式2的演示，以此進行驗證并增強學生的成就感.變式3 動點P 從點A 出發，以

每秒3個單位長度的速度向右運動，同時，動點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度向右運動，假設運動時間為t秒，求：

①當t 為何值時，點C 為PQ 的中點；

②當t 為何值時，C，P，Q中任意一點是其他兩點的中點.

設計意圖 通過對所求條件進行變式，發現此時用點的位置來解答較為簡便.引導學生辨析應當根據所求的對象來選取解答角度，從而完成“角度選取”這一自然生長.

教學反思 所求條件變動過大，導致基礎較差的學生未能聯想到中點公式.因此，可以在第①問前增加問題，降低難度，例如：當t = 2時，點C為PQ的中點，求點C表示的數.

3. 學習類比，遷移應用

如圖8-1，已知點O 在直線AB上，射線OD，OC 分別在直線AB 的上、下兩側且∠COD = 80°，OE 始終是∠AOD的平分線.

（1） 若∠AOE = 10°， 求∠COE的度數；

（2） 如圖8-2，設∠AOD = n°，已知∠DOE =2∠AOC，求n 的值；

（3） 如圖8-3，在滿足（2）的條件下，射線OP從OB出發繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，射線OQ 從OE出發繞點O 以每秒2°的速度順時針旋轉，射線OP，OQ同時開始旋轉，記旋轉時間為t 秒（0 ≤t≤45） . 當∠QOD和∠EOP互余時，求旋轉時間t 的值.

設計意圖 從數軸上的動點，到角的動射線，引發學生進行“類比學習”的自然生長，強化分類討論、數形結合的思想，以及方程的模型觀念.

教學反思 此題作為課后練習，已有絕大部分學生進行了分類討論、作圖分析并列方程解決問題.由此可見，學生已逐步學會透過題目認識數學本質，從而自然發展數學素養.

沉淀啟示，思索之燈

（一） 語言之芽，契機之土

在教學過程中，教師需時時處處留意學生的日常用語，尋找那些根植于日常生活的教學契機，從而有效地引導學生進行分類討論和數形結合的深入思考.這不僅促進了學生的自然成長，還巧妙地種下了數學素養的種子，讓它們在學生的腦海里生根發芽、茁壯成長.

（二） 科技助航，理解之橋

面對抽象難懂的數學難題，信息技術的運用猶如架設在理解河流之上的橋梁，能使學生輕松跨越理解的鴻溝.通過動態演示，學生能夠在自主描繪的過程中，逐步深入到問題的核心，從而在深刻理解的基礎上解析問題.因此，除了在課堂內應用信息技術，課后教師還應盡可能地安排一系列同類題目的練習，以此鞏固和深化學生通過技術獲得的理解，讓技術在學生的心中留下深刻的印記.

（三） 多角探索，思維之翼

在教學過程中，引導學生從多個角度審視和思考問題，是拓展其思維和視野的關鍵.教師應鼓勵學生多角度地對問題進行探索和思考，這樣的教學策略，不僅能夠增強學生的問題分析和解決能力，而且能夠為他們的思維插上翱翔的翅膀，讓他們在數學的天空自由地飛翔，探索未知的領域，從而在多樣化的思考中找到屬于自己的路徑和答案.