創真實情境 建數學模型 促學科融合

［摘要］文章以“設計遮陽篷”為例，設置問題鏈，創設真實情境，以解決實際問題為導向，抽象出三角函數數學模型；結合實際需求，引導學生從不同角度審視、調整、驗證模型，從而促進學科融合，提高學生的實踐能力.

［關鍵詞］真實情境；數學模型；學科融合

教學背景

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下稱“新課標”） 指出：綜合與實踐是數學學習的重要領域. 學生將在實際情境和真實問題中，運用數學和其他學科的知識與方法， 經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，感悟數學知識之間、數學與其他學科知識之間、數學與科學技術和社會生活之間的聯系， 積累活動經驗，感悟思想方法，形成和發展模型意識、創新意識，提高解決實際問題的能力， 形成和發展核心素養［1］ .“設計遮陽篷”是北師大版數學九年級下冊教材的最后一個綜合與實踐課題， 通過“ 做一做”“議一議”“想一想”等環節有效提升學生的初中數學知識認知能力，幫助學生完善數學知識體系.

學情分析

“綜合與實踐”課題具有問題性、綜合性、實踐性、過程性、現實性等特征，教學活動的設計與實施難度較大，因此課前的學情調研尤其重要.基礎知識方面，學生已經掌握了直角三角形邊、角關系的相關知識，包括測量物體的高度、三角函數的有關計算等；生活技能方面，九年級作為義務教育階段的最高年段，學生收集、整合資料，以及總結反思能力都處于較高水平，因此更適宜開展“綜合與實踐”課題的教學；心理認知方面，新時代的學生對學習的要求不僅限于課本和課堂，他們渴望真實的、完整的、有意義的學習體驗，加上此年齡段的學生自我認同感較強，因此迫切地想將所學知識應用于生活實際，在真實情境中探尋解決實際問題的方案；時代要求方面，數字時代的到來促進了不同學科之間的交叉與融合，本課題的實施不僅需要數學知識，還需要物理、地理、美術等學科相關知識.學生在解決數學問題和現實問題的過程中，應注意提升觀察、判斷、理解、思考、表達、反思等能力，培養數學核心素養.

教學目標

1.走上街頭，觀察生活中的遮陽篷并收集相關圖片，將收集到的遮陽篷抽象成數學模型.

2.在利用三角函數解決數學問題的過程中，體會其應用價值，增強數學應用意識，積累數學活動經驗.

3. 親歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養模型觀念，激發創新意識，同時從多學科、多角度出發分析問題，形成多元、縝密的思考方式，發展數學核心素養.

教學過程

1. 實地走訪拍攝，發現“煙火氣”的遮陽篷

課前，要求學生以小組為單位，收集社會生活中常見的遮陽篷照片.每組派一名代表匯總照片并制成PPT進行展示分享，讓學生初步感受數學源于生活.課中，要求學生總結不同類型的遮陽篷的異同，并思考這些異同背后的原因.

教學說明 收集遮陽篷照片是本節課的必要環節.學生在利用數學知識解決實際問題時，需要具備發現數學問題的能力.收集遮陽篷照片后，學生通過對比發現遮陽篷的異同，初步感知設計遮陽篷需要考慮場景、成本、形狀等因素.拍攝并分享照片，可以彌補數學課堂中美育環節的缺失.

2. 創設真實情境，感受“數學味”的遮陽篷

教師引導學生從最簡易的平面形遮陽篷入手，感受其中蘊含的數學知識，加深對遮陽篷相關問題的理解.

問題1 如圖1，小明想在一個小亭子的墻上安裝一個平面形遮陽篷.經測量，安裝遮陽篷的墻高3 m，安裝后遮陽篷與水平面平行，展開后可使正午時刻房前能有2m寬的陰涼處供人納涼.請計算此遮陽篷展開后的長度.（正午時刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，參考數據：sin63.4° ≈0.89， cos63.4° ≈ 0.45，tan63.4°≈2.00）

問題2 請同學們把實際問題抽象成數學問題，并構建相應的數學模型.

教學說明 問題1 中的遮陽篷形狀、安裝方式比較簡單，教師應鼓勵學生獨立進行抽象作圖.在提升學生的抽象能力的同時，培養學生的幾何直觀素養.學生之間通過交流各自的構圖想法，發現存在兩種不同的模型（見圖2、圖3），從而引發了認知沖突.

問題3 小組討論、分析產生兩種模型的原因，并作出最優選擇.

教學說明 引導學生從不同學科角度分析問題，融合學科知識、學習經驗和社會價值來綜合分析和處理問題.具體而言，從數學學科角度來看，角的兩邊為射線，兩條直線相交會形成對頂角和鄰補角；從地理學科角度來看，南北半球的日照角度有差異；從社會價值來看，圖3的安裝方式更符合社會需求.

問題4 請同學們在圖3的基礎上標注條件并完成計算.

教學說明 通過此次探究，學生不僅理解了遮陽篷中蘊含的數學知識，還掌握了設計所需要的關鍵數據——墻高、影長以及光線與地面的夾角.

3. 立足社會需求，設計“實用型”遮陽篷

問題5 生活中，遮陽篷不僅可以遮陽，還可以避雨.不過，當遮陽篷垂直于墻面安裝時，容易積水不易排水.你們認為可以從哪些方面進行改進？

通過課前調研，我們了解到：一部分學生認為可以考慮使用電動遮陽篷，但成本會提高，且可延展的長度需要控制合理；另一部分學生則指出傾斜遮陽篷可以排水，但傾斜角度不能太大；還有學生提出可以選擇輕便、吸水、易蒸發的化學材料來制作遮陽篷.

教學說明 學生已經了解了設計遮陽篷所需要的數據，但數學模型的應用還需考慮實際生活中的多種因素，如安全、成本、環保、審美、地域等.教師應引導學生將不同學科與不同領域的知識、思想、經驗相融合.

問題6 采用第二種方案（設計傾斜遮陽篷） 進行設計，具體條件是遮陽篷與水平面的夾角為10°，其余數據與問題1相同.請計算此時滿足條件的遮陽篷長度. （參考數據：sin10°≈0.17，cos10° ≈0.98，tan10°≈ 0.18，tan63.4°≈ 2.00）

在研究了問題1的基礎上，學生快速地作出了示意圖.

還有一部分學生重新作圖，如圖6，過點F 作AB 的平行線，分別交AG，BC于點G，H，易知∠G = ∠H =90°，∠FAG = 10°，∠FCH = 63.4°. 設AF = x，則GF = 0.17x，AG=0.98x，所以HF=3-0.17x，CH = AG-BC =0.98x - 2.根據三角函數知識建立方程3-0.17x=2×（0.98x -2） ， 解得x =700/213.

另一部分學生在圖4的基礎上作出圖7，并過F作FG⊥AD于G，利用AD=3.5求解△ADF，相對來說計算量較小.

教學說明 此問題的設置旨在解決并采用第二種方案，原因有兩點：一是第二種方案計算難度較大，可以鍛煉學生的運算能力；引導學生利用問題3的結論解決后續問題，以鍛煉他們的遷移能力.二是第一種方案中電動遮陽篷延展范圍的設置涉及復雜物理知識，課堂中時間有限難以詳解，可以鼓勵學生在課后查閱相關資料或咨詢物理教師再進行探究.

問題7 據研究，若遮陽篷外端到地面的距離小于2.3 m，則人進出時會覺得沒有安全感，往往會低

下頭或用手護著頭.請通過計算，判斷此遮陽篷是否會讓人在進出時具有安全感.

教學說明 學生在圖6 的基礎上計算HF 的長度，便能快速得出答案.此問題的設置旨在打造充滿人情味的數學課，既保有思考熱度，又形成春風化雨般的溫馨氛圍.

4. 建立數學模型，編寫“程序化”遮陽篷

人工智能時代，社會生產方式發生了翻天覆地的變化.在設計遮陽篷并投入生產時，為了節省成本和時間，我們將具體問題一般化，編寫了符合生產需求的程序.

問題8 如圖8，某地居民想在窗戶上安裝一個直角形遮陽篷.

（1） 在炎熱的夏天，為了保持室內涼爽，應如何設計直角形遮陽篷，使其恰好在正午時分能把太陽光全部擋在室外？（設窗戶高為h，夏天正午時分太陽光與地面的夾角為β）

（2） 在寒冷的冬天，為了保持室內溫暖，應如何設計直角形遮陽篷，使其恰好在正午時分能讓太陽光全部直射進室內？（設窗戶高為h，冬天正午時分太陽光與地面的夾角為α）

如圖9 和圖10，抽象出幾何圖形，AB為窗戶，折線A—C—D為直角形遮陽篷，∠ACD=90°. 如圖9，夏天正午時分直角形遮陽篷恰好把太陽光全部擋在室外，此時光線正好經過B，D兩處，∠CDB= β.根據示意圖列出方程tanβ =h+AC/CD，該方程表示直角形遮陽篷的兩邊AC和CD需要滿足的等量關系. 如圖10，冬天正午時分直角形遮陽篷要使太陽光全部直射進室內，此時光線應恰好經過A，D兩點，∠CDA =α.根據示意圖列出方程tanα=AC/CD，該方程表示直角形遮陽篷的兩邊AC和CD需滿足的等量關系.

問題9 若居民想在窗戶上安裝一個直角形遮陽篷，使其既能在夏天正午時分把炎熱的太陽光全部擋在室外，又能在冬天正午時分讓溫暖的太陽光全部直射進室內，該如何設計這個遮陽篷？

學生發現，由問題8 得到的兩個方程實質上是關于AC和CD的不定方程.解決問題9只需聯立兩個方程即可.

教學說明 在探究過程中，教師引導學生分析題目條件，準確作圖，并將問題8分設的兩個問題組合成問題9.這實質上是將特殊問題一般化的過程，旨在培養學生建構數學模型來思考問題的習慣，讓學生親身體驗數學模型在解決問題中的優勢.

5. 獲取真實數據，輸出“程序化”遮陽篷

設計的遮陽篷即將投入生產并

在重慶地區銷售，需要知道相應的α，β值，除了查閱資料，還可以通過測量獲得數據.

問題10 應選擇哪一天進行測量？應選擇在一天中的什么時刻進行測量？

不同地區選擇的日期不同.北回歸線以北地區（北極點除外），正午日影全年朝北，冬至日日影最長，夏至日日影最短；南回歸線以南地區（南極點除外），正午日影全年朝南，夏至日日影最長，冬至日日影最短；南北回歸線之間的地區，正午日影在夏至日朝南、冬至日朝北，當太陽直射該地區時日影最短（等于0）；正午太陽高度最高，與地面夾角最大，日影最短，此時測量可以得到較為準確的角度極值.

結合地理知識可知，在重慶地區銷售遮陽篷需要測量夏至日和冬至日正午時刻的日照數據.

問題11 在實際操作中如何獲取需要的數據？

除查閱資料外，教師還可以引導學生實際操作來求α，β的值.學生根據北師大版數學教材九年級下冊第一章第六節“利用三角函數測高”聯想到“立竿見影”的方式：如圖11，AB為建筑物，BC為正午時刻建筑物的影長，∠ACB為所需數據，利用tan∠ACB=AB/BC和反三角函數可求得∠ACB的值.在實際操作中，學生測量同學身高和影長即可.

教學說明 本題引導學生小組合作獲取模型分析需要的數據.此題對學生地理學科知識的要求較高，教師應鼓勵學生相互討論并將結果應用于實際生活.

問題12 直角形遮陽篷設計方案初步成形，除涉及數學、物理、地理知識外，還可從哪些方面進行改進？

學生從成本、美觀和材料等方面進行了討論，并計劃課后咨詢化學教師和美術教師.課末，教師展示了一些特殊的遮陽篷圖片供學生欣賞.

教學反思

1.創設真實情境，聚焦深度學習

數學學習情境是為了特定教學目標設計的，包含學習元素和背景信息的數學學習任務、活動或問題場景. 設置的情境應是學生未來學習和生活中可能遇到的，能引起聯想，啟發思考，傳授方法. 本節課課前，要求學生走進社會，用鏡頭捕捉生活中的遮陽篷，確保所有學生都對遮陽篷有基本了解，激發學生的學習興趣和參與動機.

教師創設的問題情境應貼近真實生活，以激發學生的學習興趣.本節課通過不斷對遮陽篷的設計提出新的要求，展現世界的復雜性和多樣性，引導學生深入思考，實現有效學習和深度學習，從而發展學生的數學核心素養.

2.建立模型觀念，培養科學精神

新課標指出：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.而用數學的語言表達現實世界，離不開數學建模.模型觀念是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識.本節課以設計遮陽篷為背景， 層層遞進地引導學生經歷“問題情境—簡化分析—建立模型（找數量關系） —求解驗證—優化模型”的過程，深化對數學知識本質的理解，掌握運用數學知識解決問題的思路與方法，促進學生學習能力和數學核心素養的提升.

本節課在建立數學模型后，通過設置問題鏈引導學生解釋數學結論的現實意義.多數情況下，模型中的參數或重要指標都與問題背景有關. 例如，設計遮陽篷需要考慮排水、日照以及地理位置等因素.引導學生分析模型與現實是否吻合，以便調整模型至合理狀態. 在此過程中，培養學生“重事實、講道理”的科學精神.

3.積累活動經驗，促進學科融合

數學是研究數量關系和空間形式的科學，是自然科學的基礎，并在社會科學中發揮著重要作用.數學融合其他學科，能夠突破學科界限，進行多視角的思考和研究，利用多學科知識解決現實問題.本節課以解決遮陽篷設計過程中的實際問題為切入口，通過設置問題鏈，整合數學與其他學科的知識和思想方法.這不僅讓學生感受到數學與物理、地理等學科的融合價值，而且引導學生從其他學科中汲取知識營養，從而提高學生的數學學習興趣和綜合素養.

本節課雖然采用了學科融合的方式，但數學仍然處于主導地位，目的是讓學生在更好地掌握數學知識的同時發散思維，豐富知識體系，拓寬視野.課末，結合地理知識完成了跨學科實踐活動，提升了學生的應用意識和創新意識. 在實際教學中，教師還可以加入遮陽篷圖案設計，實現與美術等學科的融合，或者鼓勵學生調查不同人群對遮陽篷的需求，引導學生從更全面的角度思考問題.