數(shù)學(xué)大概念單元學(xué)歷案的設(shè)計(jì)路徑探究

［摘要 ］研究者深入探究數(shù)學(xué)大概念單元學(xué)歷案的設(shè)計(jì)路徑. 通過分析數(shù)學(xué)大概念的內(nèi)涵與提取路徑、單元學(xué)歷案的內(nèi)涵和設(shè)計(jì)框架，研究者結(jié)合“平行四邊形”單元學(xué)歷案的設(shè)計(jì)案例闡述了提取數(shù)學(xué)大概念的常見路徑、單元學(xué)歷案的分析框架、“大概念”單元學(xué)歷案的設(shè)計(jì)流程，力圖為大概念單元深度學(xué)習(xí)提供有益參考.

［關(guān)鍵詞］大概念；單元學(xué)歷案；設(shè)計(jì)路徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出：改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)；幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系［1］.關(guān)于結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系，呂亞軍等人提出：從結(jié)構(gòu)化的視角對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)和優(yōu)化，幫助學(xué)生建立完整的結(jié)構(gòu)化體系，達(dá)成問題解決和有效遷移應(yīng)用［2］ .這也是新課標(biāo)下素養(yǎng)導(dǎo)向的單元教學(xué)的關(guān)鍵要求.具體而言，數(shù)學(xué)大概念單元學(xué)歷案是在數(shù)學(xué)大概念的統(tǒng)攝下進(jìn)行單元整體建構(gòu)，通過先學(xué)后教、以學(xué)定教的教學(xué)方式，設(shè)計(jì)學(xué)歷案來激發(fā)學(xué)生的主動探索精神，解決學(xué)生思維發(fā)展的低階性、課時內(nèi)容的零散性和教學(xué)單元之間的割裂性等現(xiàn)實(shí)問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)大概念內(nèi)涵與提取路徑

1. 數(shù)學(xué)大概念的內(nèi)涵

關(guān)于“大概念”內(nèi)涵，常寧、胡典順在《大概念統(tǒng)攝下的數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)探析》一文中，對“大概念”的內(nèi)涵進(jìn)行了闡述.他們認(rèn)為，國內(nèi)外對“大概念”的觀點(diǎn)基本一致，只是表述上略有不同，比如布魯納提出的“基本觀念”、埃里克森的“核心概念”以及懷特利的“意義模式”等都具有“大概念”的內(nèi)涵和意義［3］．不論哪種表述，都說明大概念的內(nèi)涵是基于知識結(jié)構(gòu)體系建立的，強(qiáng)調(diào)深度理解概念的本質(zhì)，強(qiáng)化知識的應(yīng)用遷移的基本觀念.綜上所述，數(shù)學(xué)大概念是能夠反映數(shù)學(xué)本質(zhì)、統(tǒng)攝數(shù)學(xué)知識與方法的核心概念，具有概括性、基礎(chǔ)性、遷移性和持久性.

2. 數(shù)學(xué)大概念的提取路徑

劉徽總結(jié)了自上而下和自下而上的8條大概念提取路徑［4］，但在實(shí)際操作中有一定的難度.她認(rèn)為，只要是學(xué)科內(nèi)容的核心，且能夠聯(lián)通相關(guān)內(nèi)容的理解，就可以作為大概念.為了方便大概念的提取操作，筆者結(jié)合大概念的內(nèi)涵，以“平行四邊形”章節(jié)為例進(jìn)行提取路徑的分析.重點(diǎn)研究了平行四邊形的邊、角、對角線之間的關(guān)系，這是研究幾何圖形本質(zhì)的關(guān)鍵問題，所以圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)可以提取以下大概念：研究幾何圖形就是研究組成幾何圖形的基本元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；研究平行四邊形滲透的思想方法為一般到特殊.學(xué)生在研究新的幾何圖形時，往往會先回顧已學(xué)過的幾何圖形的研究方法.例如，將研究三角形所采用的一般到特殊的方法遷移應(yīng)用到研究平行四邊形上，所以圍繞思想方法可以提取出以下數(shù)學(xué)大概念：研究幾何圖形的思路可以從一般到特殊進(jìn)行；圖形的性質(zhì)主題要求學(xué)生基于直觀理解掌握幾何基本事實(shí)，以及基于基本事實(shí)認(rèn)識并證明圖形的性質(zhì)和關(guān)系.因此，圍繞核心素養(yǎng)可以提取另一數(shù)學(xué)大概念：研究幾何圖形的性質(zhì)與判定是先通過幾何直觀感知幾何圖形及其組成元素，再分析并證明其性質(zhì)與判定.通過這三個維度的分析，可以提取相應(yīng)的數(shù)學(xué)大概念.當(dāng)然，大概念的提取并不限于這三個維度，比如夏繁軍等人在《數(shù)學(xué)大概念及其提取》中提到：追問學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)問題也是提取大概念的合適路徑.比如在教學(xué)“平行四邊形”時，從追問的角度提取的大概念有：平行四邊形的概念本質(zhì)是什么？如何研究平行四邊形？為什么要研究平行四邊形？平行四邊形的研究內(nèi)容有哪些？平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關(guān)系及證明等都可以作為平行四邊形單元中的大概念［5］.基于以上分析，我們整理出四種常見的數(shù)學(xué)大概念提取路徑：圍繞數(shù)學(xué)知識、圍繞數(shù)學(xué)思想方法、圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、追問數(shù)學(xué)本質(zhì).

單元學(xué)歷案的內(nèi)涵與分析框架

1. 單元學(xué)歷案的內(nèi)涵

學(xué)歷案最早由華東師范大學(xué)崔允漷教授提出，它是一種關(guān)于學(xué)習(xí)經(jīng)歷或過程的方案，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的規(guī)范流程，明確學(xué)什么、怎么學(xué)、學(xué)到何種程度、學(xué)完結(jié)合目標(biāo)檢測自己是否達(dá)到學(xué)習(xí)要求的一種教學(xué)評一致性的設(shè)計(jì)方案［6］ .單元學(xué)歷案是以“單元”為設(shè)計(jì)單位，從期望學(xué)生“學(xué)會什么”出發(fā)，設(shè)計(jì)并展示學(xué)生“何以學(xué)會”的過程，幫助學(xué)生自主建構(gòu)單元學(xué)習(xí)過程的專業(yè)方案，它是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)的一種體現(xiàn)單元結(jié)構(gòu)化知識體系，實(shí)現(xiàn)教學(xué)評一致性的單元學(xué)習(xí)方案.通過單元學(xué)歷案，讓學(xué)生經(jīng)歷單元學(xué)習(xí)全過程，包括大概念、核心問題、單元名稱與課時、學(xué)習(xí)目標(biāo)、評價(jià)任務(wù)、學(xué)習(xí)過程（含資源與建議） 等6個要素.單元學(xué)歷案的優(yōu)勢主要在于設(shè)置了基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的單元學(xué)習(xí)活動的目標(biāo)和任務(wù).李傳貴等人指出，學(xué)歷案實(shí)現(xiàn)了從“教”到“學(xué)”再到“學(xué)會”的兩次信息轉(zhuǎn)換，最終指向?qū)W生的“學(xué)會”［7］ .崔允漷教授提出：單元學(xué)歷案設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于單元學(xué)習(xí)目標(biāo)要具體明確，體現(xiàn)素養(yǎng)落地；單元學(xué)習(xí)過程要體現(xiàn)進(jìn)階性、結(jié)構(gòu)化與實(shí)踐性特征；評價(jià)任務(wù)的設(shè)計(jì)要先于學(xué)習(xí)過程，以評促學(xué)，確保教學(xué)評的一致性［8］ .由此可見，數(shù)學(xué)單元學(xué)歷案是以學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷為中心，體現(xiàn)目標(biāo)評價(jià)、過程指導(dǎo)的單元設(shè)計(jì)方案.

2. 單元學(xué)歷案的分析框架

編制單元學(xué)歷案，需要思考在單元學(xué)習(xí)目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)下的教學(xué)評一致性問題，需要分析本單元“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎樣學(xué)”“學(xué)到何種程度”等問題［9］.下面，以“平行四邊形”為例，建立基于大概念的“平行四邊形”單元學(xué)歷案分析框架（如圖1） .

“大概念”單元學(xué)歷案的設(shè)計(jì)流程

新課標(biāo)理念下，結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求我們站在“大概念”的高度，基于“大概念”單元學(xué)歷案進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).下面，以“平行四邊形”章節(jié)為例來解析基于“大概念”單元學(xué)歷案的設(shè)計(jì)流程.

1.“大概念”教學(xué)分析

以“大概念”視角分析教學(xué)內(nèi)容是確定單元學(xué)歷案的重要環(huán)節(jié)，其基本思路如下：首先，從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，提煉“大概念”，構(gòu)建“大概念”統(tǒng)領(lǐng)下的單元知識體系；其次，引導(dǎo)學(xué)生以“大概念”為框架，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)知識體系，形成整體、聯(lián)系、結(jié)構(gòu)化的思維習(xí)慣［10］ .以人教版“平行四邊形”為例，進(jìn)行“大概念”教學(xué)分析：平行四邊形是在平行線、三角形和四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究的幾何內(nèi)容，將平行四邊形的角、邊特殊化，進(jìn)而研究矩形、菱形和正方形等特殊平行四邊形，認(rèn)識這些概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，明確它們的內(nèi)涵與外延；探索并證明平行四邊形和特殊平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，進(jìn)一步明確命題及其逆命題之間的關(guān)系，不斷提升學(xué)生的合情推理能力和演繹推理能力.可見，本章的學(xué)習(xí)流程是通過回顧三角形的研究思路類比研究四邊形，進(jìn)一步歸納幾何圖形的研究思路，由此可確定幾何圖形的研究思路就是貫穿本章內(nèi)容的一個大概念.

2. 課標(biāo)分析

平行四邊形是圖形性質(zhì)主題的重要內(nèi)容，課標(biāo)要求：理解平行四邊形和特殊平行四邊形的概念，以及它們之間的關(guān)系；探索并證明平行四邊形、特殊平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；能夠運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)與判定進(jìn)行計(jì)算和證明.學(xué)業(yè)要求：掌握平行四邊形的概念，了解圖形的特征、共性與區(qū)別.在直觀理解和掌握幾何圖形概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的論證和驗(yàn)證過程，感悟數(shù)學(xué)邏輯的傳遞性，形成幾何直觀素養(yǎng)和推理能力，發(fā)展空間觀念和抽象思維.教學(xué)啟示：引導(dǎo)學(xué)生理解歐幾里得平面幾何的基本思想，經(jīng)歷圖形的分析與比較過程，感悟基本事實(shí)的意義；經(jīng)歷幾何命題的發(fā)現(xiàn)和證明過程，以及幾何命題的確立過程；立足學(xué)生“三會”核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3. 教學(xué)內(nèi)容分析

“平行四邊形”位于人教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第十八章.教材在該章引言中提出：與三角形一樣，平行四邊形也是一種基本的幾何圖形，在現(xiàn)實(shí)世界中隨處可見.本章將進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行四邊形、矩形、正方形的概念，并在理解它們之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，利用已有的幾何知識和方法，探索并證明它們的性質(zhì)定理和判定定理；進(jìn)一步體會研究圖形幾何性質(zhì)的思路和方法，通過觀察、類比、特殊化等途徑和方法發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)，再通過邏輯推理進(jìn)行證明.章引言還指出了平行四邊形研究的三個主要方面：平行四邊形是什么？為什么要研究平行四邊形？怎樣研究平行四邊形？對于這三個問題，章引言給出了相關(guān)說明：本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平行四邊形，這是現(xiàn)實(shí)生活中的常見圖形；學(xué)習(xí)平行四邊形的原因是現(xiàn)實(shí)世界中物體形狀的研究需要；而學(xué)習(xí)平行四邊形的方法則是觀察、類比、特殊化［11］ .

4. 學(xué)情分析

一方面，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)對平行四邊形有了初步、直觀的認(rèn)識，這為初中階段平行四邊形的學(xué)習(xí)研究提供了認(rèn)知基礎(chǔ).在初中階段前期，學(xué)生學(xué)習(xí)了點(diǎn)、線、面、角，相交線與平行線，三角形等知識，通過觀察、操作等活動，積累了一定的探索經(jīng)驗(yàn)；并具備了正確分析和使用幾何圖形的初步能力，同時形成了合作和交流能力.另一方面，八年級學(xué)生自我展示意識較強(qiáng)，對新鮮事物頗具好奇心和探究欲，具備了研究平行四邊形的能力，但學(xué)生分析問題的能力稍顯不足，分析思路和書寫推理過程不規(guī)范.因此，在學(xué)習(xí)資源的選取與呈現(xiàn)以及學(xué)習(xí)活動的安排上，除關(guān)注學(xué)生掌握基本知識外，還應(yīng)設(shè)置自主學(xué)習(xí)、合作探究等活動環(huán)節(jié)，關(guān)注學(xué)生的思維展示.通過體會幾何知識的基本思想和思維模式，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合、化歸等思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力，讓學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，為將來學(xué)習(xí)研究其他平面圖形奠定基礎(chǔ).

5. 單元目標(biāo)分析

新課標(biāo)提出：“圖形的性質(zhì)”強(qiáng)調(diào)通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理.由此，“平行四邊形”一章的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：（1） 類比三角形，明確四邊形（特別是平行四邊形） 的研究對象、研究內(nèi)容、研究方法、研究路徑.理解平行四邊形和特殊平行四邊形的概念、性質(zhì)、判定及其相互關(guān)系，會應(yīng)用這些性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明，提升推理能力. （2） 經(jīng)歷平行四邊形的概念、性質(zhì)、判定的探究過程，明確研究這類圖形的基本路徑：概念—性質(zhì)—判定.圖形的概念通過屬加種差的方式得以確立；圖形的性質(zhì)包括組成圖形的基本要素（邊、角） 或相關(guān)要素（對角線） 之間的數(shù)量關(guān)系（位置關(guān)系）、圖形的整體對稱性，一般采用“觀察（測量、實(shí)驗(yàn)） —猜想—驗(yàn)證（舉反例或推理證明） ”的方法進(jìn)行研究；圖形的判定則從性質(zhì)出發(fā)，猜想基本的判定條件，并通過舉反例或推理證明進(jìn)行驗(yàn)證.（3） 通過探究特殊平行四邊形，掌握研究這類圖形的路徑和方法，提升研究幾何圖形的能力，提高學(xué)習(xí)能力.（4） 通過對特殊平行四邊形的探究，體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，積累研究四邊形和其他幾何圖形的概念、性質(zhì)、判定的經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性、一般性和一致性，培養(yǎng)理性精神，提升抽象能力、推理能力、幾何直觀等核心素養(yǎng).

6.“大概念”單元學(xué)歷案設(shè)計(jì)框架

基于課程標(biāo)準(zhǔn)及相關(guān)要素的分析，“平行四邊形”一章可分為三個教學(xué)單元：認(rèn)識平行四邊形、認(rèn)識特殊平行四邊形、總結(jié)平行四邊形的知識體系與研究方法.這三個單元的學(xué)習(xí)目的：一是學(xué)會對平行四邊形進(jìn)行元素觀察與分析；二是能夠針對相關(guān)元素進(jìn)行特殊化觀察與研究，從而掌握研究一類幾何圖形的一般方法.由此，筆者設(shè)計(jì)了基于大概念的“平行四邊形”單元學(xué)歷案框架，如前表1.

結(jié)語

“平行四邊形”是學(xué)生進(jìn)行幾何圖形對比學(xué)習(xí)、研究的關(guān)鍵內(nèi)容，也是形成研究幾何圖形基本思路的重要節(jié)點(diǎn)．通過設(shè)計(jì)大概念單元學(xué)歷案，構(gòu)建一個以核心大概念為引領(lǐng)、以學(xué)生為中心的教學(xué)評一致性的學(xué)習(xí)方案.該方案旨在引導(dǎo)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識體系，掌握研究方法，積累數(shù)學(xué)“三會”活動經(jīng)驗(yàn)，逐步養(yǎng)成“研究對象在變，思想方法不變，研究思路不變”的數(shù)學(xué)思維體系.