開啟靈活解題的“支點”

摘 要：圍繞江蘇高考數列中 “插項” 問題展開討論，深入分析插入新數列構成等差、等比以及混合情況這三種類型題的解題思路.通過具體的例題講解和方法歸納，幫助學生掌握數列“插項”問題的求解策略，提高學生的解題能力和思維靈活性.

關鍵詞：高考；高中數學；數列插項問題；解題思路

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0042-03

數列作為高考數學中的重要內容，一直是考查的熱點和難點.其中，數列“插項”問題以其獨特的綜合性，對學生的數學思維和解題能力提出較高要求.此類問題需要學生能夠準確地分析插入項與原數列之間的關系[1].

1 插入新數列構成等差數列

當插入新數列使其構成等差數列時，關鍵在于利用等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d以及等差數列的性質.在解題過程中，需要仔細找出原數列與插入數列之間的項數關系以及公差關系等重要因素，準確把握數列之間的關系，才能夠最終確定插入項的值.具體而言，就是通過分析原數列的首項、項數以及已知的項之間的差值等信息，結合等差數列的性質，建立方程或關系式來求解插入項[2].

例1 已知等比數列an的前n項和為Sn，且an+1-Sn=2，其中n∈N*.

（1）求數列an的通項公式;

分析 （1）利用數列的和與項的一般關系得到項的遞推關系，從而求得等比數列an的公比為q，在an+1-Sn=2中令n=1，并利用a2=a1q轉化，可求得a=2，進而得到等比數列an的通項公式.

解析 （1）設等比數列an的公比為q，已知an+1-Sn=2，當n≥2時，an-Sn-1=2，兩式相減可得an+1-an-（Sn-Sn-1）=0.即an+1=2an.則q=2.當n=1時，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，解得 a1=2.

故等比數列an的通項公式為an=2n（n∈N*）.

2 插入新數列構成等比數列

對于插入新數列構成等比數列的問題，要依據等比數列的通項公式an=a1qn-1和等比數列的性質來解題.其中，重點在于確定公比以及明確插入項與原數列項之間的對應關系.可以根據原數列中已知項的比值來確定公比，再利用公比和原數列的項來推斷插入項的值.同時，等比數列的性質如：m，n，p∈N*，若m+p=2n，則am×ap=a2n，也可以在解題中發揮重要作用，幫助學生建立等式關系，從而求解問題.

例2 數列an的前n項和為Sn，a1=2，a2=4.當n≥2時，3Sn-1，2Sn，Sn+1+2n成等差數列.

（1）求a3，a4的值，猜想數列的通項公式，并加以證明;

（2）在an與an+1之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列，在數列dn中是否存3項dm，dk，dp（其中m，k，p成等差數列）成等比數列，若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.

分析 （1）根據已知的3Sn-1，2Sn，Sn+1+2n三個條件，利用遞推公式，逐步計算出數列的各項值.先求出a3，a4的值，進而得出數列an的通項公式.（2）先求出數列dn的通項公式，然后利用dm，dk，dp之間的關系求出m，k，p之間的關系，即可得出結論.

解析 （1）根據已知條件n∈N*可知，在數列an中，當n≥2時，3Sn-1，2Sn，Sn+1+2n成等差數列，所以3Sn-1+Sn+1+2n=4Sn.即Sn+1-Sn+2n=3（Sn-Sn-1）.即an+1+2n=3an.即an+1=3an-2n.所以a3=3a2-22=8，a4=3a3-23=16.

猜想an=2n（n∈N*）.

證明：因為a1=2，a2=4，所以a2=3a1-21.

所以當n≥2時，an+1=3an-2n.

所以對任意正整數n，均有an+1=3an-2n.

所以an+1-2n+1=3an-3·2n=3（an-2n）.

所以an-2n=3（an-1-2n-1）=…=3n-1（a1-2）=0.

所以an=2n（n∈N*）.

即數列an的通項公式為an=2n（n∈N*）.

dm，dk，dp（其中m，k，p成等差數列）成等比數列.

3 插入新數列混合求和

此種情況相對復雜，可能既包含等差數列的插入，又包含等比數列的插入，或者插入的項之間存在其他特定的規律.在面對此種問題時，需要分別根據不同數列的性質和規律進行深入分析.首先，要找出各自的關鍵條件，比如對于等差數列部分，確定公差和項數關系；對于等比數列部分，確定公比和項之間的乘積關系等.然后，逐步確定插入項的值.需要學生具備較強的分析能力和對不同數列性質的熟練掌握，通過綜合運用各種方法來解決復雜的插入項問題.

例3 （多選）新數列規則如下：在數列的任意相鄰兩項間插入它們的和，從而生成新的數列.對新生成的數列重復此操作，不斷產生新的數列.以數列1，2為例進行構造，首次操作后得到數列1，3，2；第二次操作后得到數列1，4，3，5，2，以此類推.第n（n∈N*）次得到數列1，x1，x2，x3，xk，…，2.記an=1+x1+x2+x3+…+xk+2，數列an的前n項和為Sn，則（" ）.

分析 在處理此類數列問題時，首先需要明確的是，要依據數列的具體構造方法，按步驟逐步推導出數列的前幾項具體數值.在該過程中，需要對給定的條件進行深入分析，確保每一步的推導都具有嚴密的邏輯性.接著，要對已經推導出的數列序列進行仔細觀察，從各項數值的變化趨勢、相鄰項之間的關系等方面入手，嘗試從中發現潛在的規律.一旦找到規律，可以利用規律進行推理運算，從而推導出數列的后續項.

解析 由題意可知，第1次得到數列1，3，2，此時k=1；第2次得到數列1，4，3，5，2，此時k=3；第3次得到數列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時k=7；第4次得到數列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，

4 結束語

數列 “插項” 問題在高考中具有重要地位，其題型多樣，解題思路靈活.通過對插入新數列構成等差、等比以及混合情況的深入分析，可以發現解決此類問題的關鍵在于準確把握數列的基本性質，善于分析插入項與原數列項之間的關系，合理運用通項公式、求和公式等數學工具.在備考過程中，考生要多做此類題型，積累解題經驗，提高解題的靈活性和準確性，從而在高考數列相關內容中取得優異成績.

參考文獻：

［1］王惠蘭.一類有關數列“插項”問題的解題探究[J].中學生數學，2024（17）：46-47.

[2] 劉蘋.創新場景設置，合理變式拓展：一道數列題的探究[J].數學之友，2024（03）：64-66.