搭建支架，促進(jìn)學(xué)生的思維生長

【摘要】聚焦學(xué)生的思維生長，需要教師搭建適恰的學(xué)習(xí)支架。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要搭建導(dǎo)向性支架、層次性支架、開放性支架，在學(xué)生的思維障礙處、困惑處、斷層處助力引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)階、優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)、促進(jìn)學(xué)生的思維批判。搭建思維支架，能促進(jìn)學(xué)生思維的不斷進(jìn)階，讓學(xué)生的思維不斷生長。支架是教師對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行啟發(fā)、點(diǎn)撥、引領(lǐng)的一種工具、一種手段。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；支架搭建；思維進(jìn)階

數(shù)學(xué)思維是指“從數(shù)學(xué)視角或觀點(diǎn)分析、解決問題的一種思維活動形式”。促進(jìn)學(xué)生的思維生長是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本性追求。數(shù)學(xué)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)能力、素養(yǎng)的重要表征。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維生長，讓學(xué)生的思維逐步從低階走向高階、從割裂走向關(guān)聯(lián)、從封閉走向開放、從自我認(rèn)同走向自我批判。聚焦學(xué)生的思維生長，需要教師搭建適恰的學(xué)習(xí)支架。在學(xué)生的思維障礙、困惑、斷層處助力。實(shí)踐證明，搭建適恰的學(xué)習(xí)支架，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不斷生長。

一、搭建導(dǎo)向性支架，引導(dǎo)學(xué)生思維進(jìn)階

當(dāng)下，很多學(xué)生的數(shù)學(xué)思維之所以打不開，就是因?yàn)閷W(xué)生的思維比較逼仄。在狹窄的、狹小的思維圈中，學(xué)生的思維難免受到限制。為了讓學(xué)生敢于思維、善于思維，筆者在教學(xué)中搭建導(dǎo)向性支架，鼓勵學(xué)生勇于進(jìn)行思維嘗試、思維探究。聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)思維的探究性、進(jìn)階性、邏輯性、批判性和發(fā)展性，教師要讓支架搭建在學(xué)生認(rèn)知、思維發(fā)展的“最近發(fā)展區(qū)”，不斷地引導(dǎo)學(xué)生從“現(xiàn)實(shí)性思維發(fā)展水平”過渡、發(fā)展、提升至“可能性思維發(fā)展水平”。搭建導(dǎo)向性支架，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從被動轉(zhuǎn)向主動、從消極轉(zhuǎn)向積極、從局限走向突破。聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階、發(fā)展，教師在教學(xué)中還要根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情，及時(shí)、適時(shí)地拆解支架，以便逐漸增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維發(fā)展的自主性、自能性、自覺性。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊“圓的面積”這一部分內(nèi)容的教學(xué)為例，這一部分內(nèi)容是學(xué)生在小學(xué)階段關(guān)于“圖形的面積計(jì)算”的最后一個部分的學(xué)習(xí)。其中，在三年級下學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“長方形和正方形的面積”計(jì)算，為整個小學(xué)階段圖形的面積計(jì)算奠定了知識基礎(chǔ)；在五年級上學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“多邊形的面積”（包括平行四邊形、三角形和梯形的面積）計(jì)算，為學(xué)生學(xué)習(xí)“圓的面積”計(jì)算奠定了“剪拼”等的方法基礎(chǔ)、“轉(zhuǎn)化”等的思想基礎(chǔ)。基于學(xué)生的已有知識、方法和思想經(jīng)驗(yàn)，筆者在教學(xué)中積極搭建支架，設(shè)計(jì)、研發(fā)了三個主要活動，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地思維、嘗試。

[活動1]用數(shù)方格的方法研究“圓的面積”與“半徑平方”的關(guān)系。這樣的一個活動，是從圖形面積計(jì)算的本源上來引導(dǎo)學(xué)生探究的。在這個活動中，筆者給學(xué)生提供了“方格紙”這一實(shí)物支架，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地?cái)?shù)方格，通過積極主動地計(jì)算，最終獲得初步的結(jié)論，即“圓的面積大約是半徑平方的3倍左右”。

[活動2]用觀察比較的方法研究“圓的面積”與“半徑平方”的關(guān)系。在這個活動中，筆者給學(xué)生搭建了導(dǎo)向性的支架，即“出示了圓以及它的外切正方形和內(nèi)接正六邊形”。借助于外切正方形，學(xué)生得出了這樣的一個數(shù)學(xué)結(jié)論，即“圓的面積是半徑平方的3倍多一些”；借助于圓的內(nèi)接正六邊形，學(xué)生得出了這樣的一個數(shù)學(xué)結(jié)論，即“圓的面積是半徑平方的4倍少一些”。由此，學(xué)生得出結(jié)論“圓的面積是半徑平方的3倍多一些、4倍少一些”。這樣的一個結(jié)論與“活動1”的數(shù)學(xué)結(jié)論相互支持、相互映證。

[活動3]用轉(zhuǎn)化策略研究“圓的面積”與“半徑平方”的關(guān)系。在這個活動中，筆者啟發(fā)學(xué)生思考：平行四邊形的面積是怎樣推導(dǎo)的？三角形的面積呢？梯形的面積呢？它們的面積推導(dǎo)有怎樣的共同特點(diǎn)？猜想圓的面積可以怎樣推導(dǎo)呢？你是怎樣想的？嘗試動手操作。這樣的問題導(dǎo)學(xué)支架，賦予了學(xué)生自由探究充分的可能性。有學(xué)生猜想，圓是否可以將周長展開，然后拉直，將圓看成一個三角形，三角形的頂點(diǎn)是圓心，三角形的底是圓的周長，三角形的高是圓的半徑；有學(xué)生猜想，圓是否可以平均分成四等份，然后拼成一個近似的長方形；有學(xué)生猜想，圓是否可以轉(zhuǎn)化成近似的梯形，等等。學(xué)生在自我積極主動的猜想下，展開了積極的動手操作。他們紛紛將圓平均分成4份、8份、16份等，然后將圓轉(zhuǎn)化成近似的長方形、梯形、三角形等。為了滲透、融入“極限思想”，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)“圓的面積”公式推導(dǎo)過程中的“化曲為直”的過程，筆者借助于多媒體課件，生動、形象、直觀地展示隨著圓被平均分的份數(shù)越來越多，所轉(zhuǎn)化的圖形越來越接近長方形、三角形、梯形等無限逼近的動態(tài)變化過程。由此，學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)圓被平均分成無數(shù)等份的時(shí)候，圓就能成功地轉(zhuǎn)化長方形、三角形、梯形等。借助于“活動3”，學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化成了其他相關(guān)的多邊形，并通過比較轉(zhuǎn)化前后圖形，根據(jù)“多邊形的面積公式”，自主建構(gòu)、創(chuàng)造出“圓的面積”公式。

引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)階，要求教師在教學(xué)中要打造學(xué)生思維、探究的平臺，鼓勵學(xué)生自主思考、合作交流。教學(xué)中，教師要把握學(xué)生的思維節(jié)點(diǎn)，跟進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)度、思維節(jié)奏，從而搭建助推學(xué)生思維的導(dǎo)向性支架。借助于導(dǎo)向性的支架，學(xué)生能清晰地形成思維路向、探究路向。支架不僅有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，更能有效地助推學(xué)生持續(xù)、深入地展開思維、探究。

二、搭建層次性支架，優(yōu)化學(xué)生思維結(jié)構(gòu)

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展應(yīng)當(dāng)是一個從混沌走向?qū)哟巍⒔Y(jié)構(gòu)的過程。聚焦學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)性發(fā)展，教師在教學(xué)中可以搭建層次性支架，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從片面走向全面、從單一走向多向、多維。在教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生的已知，同時(shí)還要關(guān)注學(xué)生的未知。要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的連續(xù)性。通過層次性支架的搭建，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知、學(xué)習(xí)不斷地進(jìn)階。層次性支架，能逐步促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深入理解。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”教學(xué)為例，這一課是學(xué)生初步接觸分?jǐn)?shù)，對于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念有著重要的基礎(chǔ)性作用。通過這一課的教學(xué)，不僅僅要讓學(xué)生認(rèn)識到分?jǐn)?shù)表示一個具體的數(shù)量，分?jǐn)?shù)還可以表示數(shù)量之間的關(guān)系，即認(rèn)識到分?jǐn)?shù)的“率量二重性”。為此，筆者在教學(xué)中，精心設(shè)計(jì)研發(fā)驅(qū)動性的問題、任務(wù)，從而搭建了結(jié)構(gòu)性的思維支架，促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義的自主建構(gòu)。

[活動1]比一比，平均分得每一份的數(shù)量。在這個活動中，先從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將4個蘋果平均分成2份，每一份是2個蘋果；再引導(dǎo)學(xué)生將2瓶礦泉水平均分成2份，每一份就是1瓶礦泉水；最后引導(dǎo)學(xué)生將1塊蛋糕平均分成2份，每一份就是半塊蛋糕（1/2塊蛋糕）；將1塊蛋糕平均分成4份，每一份就是1/4塊蛋糕。由此，引導(dǎo)學(xué)生聚焦于每一份的具體數(shù)量，讓學(xué)生積極主動地比較、抽象、概括，讓學(xué)生深刻地認(rèn)識到，1/2塊蛋糕和1瓶礦泉水、2個蘋果一樣，都表示一個具體的數(shù)量。但由于總量不同，盡管分成的份數(shù)是相同的，但每一份的數(shù)量不同。在此基礎(chǔ)上，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識到每一份的具體數(shù)量與總量的多少密切相關(guān)，每一份的具體數(shù)量也于平均分的份數(shù)密切相關(guān)。

[活動2]比一比，平均分得的份數(shù)之間的倍比關(guān)系。在這個活動中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，將4個蘋果平均分成2份，每一份與2份之間的關(guān)系：一方面每1份是總份數(shù)2份的1/2；另一方面一共分成的2份是每1份的2倍。同理，在引導(dǎo)學(xué)生探究礦泉水每一份與總份關(guān)系、蛋糕每一份和總份之間的關(guān)系，都是2倍和1/2的關(guān)系。在這個過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過“指一指”“圈一圈”“說一說”等活動，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知逐步從關(guān)注每一份的具體數(shù)量到關(guān)注每一份和總份之間的關(guān)系，由此引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的理智跨越。學(xué)生深刻地認(rèn)識到，分?jǐn)?shù)不僅和整數(shù)一樣，可以表示具體數(shù)量，同時(shí)分?jǐn)?shù)還可以表示數(shù)量之間的關(guān)系。不管總數(shù)量是多少，每一份的數(shù)量是多少，只要平均分的份數(shù)相同、表示的份數(shù)相同，那么表示的份數(shù)占平均分的總份數(shù)的幾分之幾就相同。這樣的一種對具體數(shù)量和分率的認(rèn)識、把握，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”中的“一個整體的幾分之一或幾分之幾”以及學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”等相關(guān)知識奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。從這個意義上說，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”的教學(xué)是具有“種子”性質(zhì)的課堂教學(xué)，是一個“教結(jié)構(gòu)—學(xué)結(jié)構(gòu)”的過程，而后續(xù)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”以及“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)則是一個“用結(jié)構(gòu)”的過程。

聚焦思維的結(jié)構(gòu)性，搭建層次性的思維支架，有助于學(xué)生對問題展開自主性分析。作為教師，要通過支架整合學(xué)生的舊知，要通過支架讓學(xué)生明晰思維、探究的方向，要通過支架，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地發(fā)現(xiàn)、嘗試、探究、解決。支架增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供了保障。支架促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)性，為學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的結(jié)構(gòu)性理解提供了保障。

三、搭建開放性支架，促進(jìn)學(xué)生思維批判

學(xué)生的思維是逐步進(jìn)階的。在不同的階段，學(xué)生的思維有著不同的對象，有著不同的內(nèi)容、形式等，因而也就具備不同的特征。作為教師，要在教學(xué)中搭建開放性支架，讓學(xué)生的思維從封閉走向開放，促進(jìn)學(xué)生思維質(zhì)疑性、批判性的發(fā)展。搭建開放性支架，還有助于學(xué)生思維的流暢性、發(fā)散性、多維性等品質(zhì)發(fā)展。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助于開放性的支架，讓學(xué)生的思維從單一走向多維、從封閉到開放，不斷開闊學(xué)生的思維、思路，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

比如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊“解決問題的策略—列舉”這一課，主要是讓學(xué)生掌握“有序列舉”的策略、要求，如“一一列舉”“分類列舉”等策略，如“不遺漏”“不重復(fù)”等要求。但在教學(xué)中，很多教師都會根據(jù)例題的一些特點(diǎn)，總結(jié)出一些固定的思維模式。這樣的教學(xué)，不利于學(xué)生的思維生長。學(xué)生的思維生長不需要過多的條條框框，而是需要一個自由的、敞亮的空間。如面對這樣的一個例題：“用24根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大”，很多教師在教學(xué)中都會總結(jié)諸如“差大積小”“差小積大”等規(guī)律。這樣的教學(xué)方式，只會讓學(xué)生套用公式速求答案，而不能有效地發(fā)散學(xué)生的思維、發(fā)展學(xué)生的思維。為此，筆者在教學(xué)中搭建開放性的支架，不斷地發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生的思維從固化走向靈動、從封閉走向開放。

[活動1]在學(xué)校后花園中間的空地上，用24根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

[活動2]在學(xué)校后花園邊上靠一面墻，用24根 1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

[活動3]在學(xué)校后花園邊上靠兩面墻，用24根 1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

[活動4]你還能提出哪些問題？

這樣的支架搭建，讓學(xué)生在問題解決過程中，不斷掀起學(xué)生的思維高潮，讓學(xué)生的思維“一波未平一波又起”。借助于“活動1”的支架，學(xué)生采用列表假設(shè)并計(jì)算的方法，有序地列出所有的可能性方案，并發(fā)現(xiàn)了圍成一個正方形面積最大的方法；借助于“活動2”的支架，有部分學(xué)生沿襲著“活動1”的探究，也采用了列舉的策略，得出了相關(guān)的結(jié)論。還有部分學(xué)生展開了想象，將一堵墻想象成一面鏡子，如此，就將“活動2”轉(zhuǎn)化成了“活動1”。同時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)利用一堵墻圍成一個長方形時(shí)，當(dāng)長方形的寬是長的一半時(shí)，圍成的面積最大，這與“活動1”的結(jié)論是一致的。在“活動3”中，學(xué)生通過列舉的方法，也得出了相應(yīng)的結(jié)論。在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一番思維的歷險(xiǎn)、探險(xiǎn)之后，學(xué)生的思維被徹底激活了。有學(xué)生提問，如果用相同周長的一段繩子，圍成三角形，圍成的正三角形面積最大嗎？如果用相同周長的繩子圍成五邊形，圍成的正五邊形面積最大嗎？用相同的繩子分別圍成三角形、四邊形、五邊形、六邊形……是不是圍成的正多邊形的邊數(shù)越多，面積越大呢？用相同的繩子圍成多邊形和圓，是否是圍成的圓的面積最大呢？這樣的一系列問題，讓學(xué)生的思維、探究處于一種開放性的狀態(tài)。

在教學(xué)中，筆者還引導(dǎo)學(xué)生深入實(shí)踐，讓學(xué)生將自身的思維活動轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο笮缘幕顒印Ｈ鐜ьI(lǐng)學(xué)生深入到學(xué)校后花園，讓學(xué)生用卷尺測量，并展開合作性的實(shí)踐。在實(shí)踐中，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“圍成的長方形不能過窄，也就是寬不能太小，那樣不利于種植”；有學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“最好不要靠著圍墻圍，因?yàn)槟菢訃幻烙^”，等等。正是筆者給學(xué)生搭建了開放性的支架，讓學(xué)生不斷突破自我的認(rèn)知、思維局限，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維超越模仿而走向創(chuàng)新，讓學(xué)生的思維、認(rèn)知不斷發(fā)展。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能過多地給學(xué)生設(shè)置“框架”，而應(yīng)當(dāng)適度地、適當(dāng)?shù)亍⑦m時(shí)地搭建支架，催生、引領(lǐng)、開發(fā)學(xué)生的思維。支架是教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)行啟發(fā)、點(diǎn)撥、引領(lǐng)的一種工具、一種手段。借助支架，引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生充分經(jīng)歷從豐富性、多樣性、開放性的思維過程，不斷優(yōu)化、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、結(jié)構(gòu)性、批判性、開放性，進(jìn)而讓學(xué)生的認(rèn)知不斷躍遷，學(xué)力不斷提升，素養(yǎng)不斷發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]許衛(wèi)兵.小學(xué)數(shù)學(xué)整體建構(gòu)[M].上海：上海教育出版社，2021．

[2]趙玉梅.建構(gòu)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)三大“真學(xué)支架”[J].教學(xué)與管理，2020（08）.

[3]郭敏.小學(xué)生情境活動支架的搭建[J].教學(xué)與管理，2021（11）.